河南省息县第一高级中学2018届高三上学期第五次阶段测

数学试题（理）
命题人：吕凤 审题人：孙玉
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|20A x x x =--<，(){}
|11B x y n x =-，则()R
A
B =ð（
）
A ．()12，
B ．[)12，
C ．()11-，
D ．(]12， 2.已知复数()1z ai a R =+∈（i 是虚数单位），
34
55
z i z =-+，则a =（ ） A ．2 B ．2- C ．2± D ．
1
2
3.设函数()()22cos 10f x x ωω=->，将()y f x =的图象向右平移3
π
个单位长度后，所得图象与原图角重合，则ω的最小值等于（ ） A ．1 B ．3 C ．6 D ．9
4.设31log 4a =，0.3
13b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，(22log log c =，则（ ）
A ．b c a <<
B ．a b c << C.c a b << D ．a c b << 5.在AB
C ∆中，1AB =，3AC =，60B =︒，则cos C =（ ）
A ．56-
B ．5
6
C. D
6.已知数列{}n a 满足11a =，()122n n a a n n N -+=≥∈，
，则数列{}n a 的前6项和为（ ） A ．63 B ．127 C.
6332 D ．12764
7.已知函数()53353f x x x x =---+，若()()26f a f a +->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1-∞，
B ．()3-∞， C. ()1+∞， D ．()3+∞， 8.已知()3226f x x x m =-+（m 是常数）在[]22-，上有最大值3，那么些函数在[]22-，上的最小值为（ ）
A ．37-
B ．29- C.5- D ．11-
9.已知平形四边形ABCD 的对角线分别为AC BD ，，且2AE EC =，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则（ ）
A ．151212FE A
B AD =-- B ．15
1212
FE AB AD =- C. 511212FE AB AD =
- D ．51
1212
FE AB AD =-- 10.下列函数中，在区间()01，上单调递增的有①()32x f x x =-；②()2
ln x f x x =；③
()2243f x x x =-++．
（ ） A ．0个 B ．1个 C.2个 D ．3个 11.下列命题中是真命题的为（ ）
A ．“存在02000sin 1x x R x x e ∈++<，”的否定是“不存在02
000sin 1x x R x x e ∈++<，”
B ．在AB
C ∆中，“222AB AC BC +>”是“ABC ∆为锐角三角形”充分不必要条件 C.任意31x x N ∈>，
D ．存在002x π⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，，000sin cos tan x x x +=
12.若偶函数()y f x x R =∈，，满足()()2f x f x +=-，且[]02x ∈，时，()23f x x =-，则方程()sin f x x =在[]1010-，
内的根的个数为（ ） A ．12 B ．8 C.9 D ．10 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.()1
sin 7
πα-=
，α是第二象限角，则tan α= ． 14.数列{}n a 的前n 项和n S ，12a =，13n n a a +-=，若57n S =，则n = ． 15.已知函数()31x f x ae x =-+的图象在点()()00f ，处的切线方程为y x b =+，则b = ．
16.已知函数()()()ln 02ln x x e f x x x e ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若a b c ，，互不相等，且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，660S =，且1a ，6a ，21a 成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n N ++-=∈，且13b =，求数列{}n b 的通项公式．
18.（本小题满分12分）已知函数()()21
cos cos 042
f x x x x ωωωω=⋅-<<且13f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若在26
3ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，内函数()y f x m =+有两个零点，求实数m 的取值范围．
19.（本小题满分12分）已知函数()22f x x ax b =++，[]11x ∈-，． （Ⅰ）用a b ，
表示()f x 的最大值M ； （Ⅱ）若2b a =，且()f x 的最大值不大于4，求a 的取值范围．
20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a b c ，
，分别为内角A B C ，，的对边，AM 是BC 边上的中线，G 是AM 上的点，2AG GM =．
（Ⅰ）若ABC ∆的内角A B C 、、满足sinA :sinB:sinC 2=，求sin C 的值
（Ⅱ）若222b c bc a ++=，ABC S ∆=AG 取到最小值时，求b 的值 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln f x x a x =+ （Ⅰ）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()()2
g x f x x
=+
，在[)1+∞，
上是单调函数，求实数a 的取值范围． 22. （本小题满分12分）已知函数()ln m
f x x x
=+，()32g x x x x =+-． （Ⅰ）若3m =，求()f x 的极值；
（Ⅱ）若对于任意的s ，122t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，都有()()110f s g t ≥，求m 的取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:BBBDD 6-10:CAACC 11、12：DD 二、填空题
13.6 15.5 16.2122e e e ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，
【解析】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查考生的数形结合思想、转化与化归思想
及观察能力，重在考查特殊与一般数学思想方法的应用，作出函数()()()ln 02ln 0x x e f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩的
大致图象，如图所示．由题意，若a b c ，
，互不相等，且()()()f a f b f c ==，可知不妨设a b c <<，则01a <<，1b e <<．双()
()()ln 01lnx 12ln x x x e x x e -<<⎧⎪≤≤⎨⎪
->⎩，所以ln ln a b -=，即1ab -，1
b a =，
同理ln 2ln a c -=-，即
2e a =，
2c ae =．所以()2211
1a b c a ae e a a a
++=++=++，
又01a <<，1b e <<，1b a =，所以11a e <<，令函数()()21111g x e x x x e ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭，显然在区间11e ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
上单调递增，所以()()11g g x g e ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭
，从而2122e a b c e e +<++<+
三、解答题
17.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d 则()()12
11161560
205a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得125d a =⎧⎨=⎩ ∴
23n a n =+．……………………………………………………………………………………………
5
（Ⅱ）由1n n n b b a +-=,所以()112n n n b b a n a N +---=≥∈， 当2n ≥时，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+
()()()121111432n n a a a b n n n n --=++
+=--++=+……………………………………………
…9
故
()2233x kx k Z ωππ+=+∈，()22233
x kx k Z ωπ
=+∈，故()13k k Z ∈=+∈． 因为04ω<<，用户1ω=，即()()c o s 2s i n 236x f x x f x x π⎛⎫
⎛
⎫⎛⎫=+=- ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
或，……………………6分
（Ⅱ）由()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知()y f x m =+在63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在233x π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是增函
数，……9分
又6x x =-时，1y m =+，3x π=时，1y m =-+，23x x =时，1
2y m =+．
由题意知1
102
m m -+<≤
+，∴112m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，……………………………………………………………………12分
19.解：（Ⅰ）()()2
2f x x a b a =++-图角关于直线x a =-对称． 且增区间为[]a -+∞，
，减区间为(]a -∞-，，又[]11x ∈-， …………………………………………3分
∴0a -≤，0a ≥时，()112M f a b ==++ 当0a ->，0a <时，()112M f a b =-=-+ ∴
120120.a b a M a b a ++≥⎧=⎨-+<⎩
，，，……………………………………………………………………………
………6分
（Ⅱ）当0a ≥时，2124M a a =++≤，2230a a +-≤，01a ≤≤．……………………………………9分
当0a <时，2124M a a =-+≤，2230a a --≤，10a -≤≤．…………………………………………11分
∴11a -≤≤，即
[]11a ∈-，．………………………………………………………………………………12分
20.解：（Ⅰ）∵sinA :sainB:sinC 2=，∴由正弦定理得::2a b c = ∴222c a b =+，故
sin 1C =……………………………………………………………………………………1分
（Ⅱ）依题意，2AG GM =，故2
3
AG AM =，故3
AB AC
AG +=
…………………………………………5分 由2
2
2
b c bc a ++=，得2221
cos 22b c a A bc +-==-，故
sinA =
6分
又1
sin 2
ADC S bc A ∆==12lx =；………………………………………………………………………7分
因为2AG GM =，3
AB AC
AG +=． 故
()
2
22
2
22224124
9
9
9
93
AB AC AB AC AB AC
AB AC AB AC
AG +++⋅+⋅-=
=
≥
=
=…………………10分
当且仅当b c ==立；…………………………………………………………………………11分 故当AG 取到最小时，b 的值为
．………………………………………………………………………12分
21.（Ⅰ）()2
'2f x x x
=-
，令()'0f x >，得1x >；令()'0f x <，得01x <<，
所以()f x 的单调递增区间是()1∞，，()f x 的单调递区间是()01，． 若函数()g x 为[)1+∞，上的单调增函数，则()'0g x ≥在[)1+∞，上恒成立， 即222a x x ≥
-在[)1+∞，
上恒成立，设()22
2x x x
ϕ=-， ∵()x ϕ在[)1+∞，上单调递减， ∴()()max 10x ϕϕ==，∴0a ≥；
②若函数()g x 为[)1+∞，上的单调函数，则()'0g x ≤在[)1+∞，上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围[)0+∞，．
22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为()0+∞，，3m =时，
()3ln f x x x =
+，()22313
'x f x x x x
-=-+=，()'30f =， ∴3x >，()'0f x >，()f x 是增函数，03x <<，()'0f x <，()f x 是减函数．
∴()f x 有极小值()31ln3f =+，没有极大值．……………………………………………………5分
（Ⅱ）()32g x x x x =+-，()2'321g x x x =+-
当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()'0g x >，∴()g x 在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上是单调递增函数，()210g =最
大，………………7分
对于任意的s ，122t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，．
()()110f s g t ≥恒成立，即对任意122x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，()lnr 1m f x x =+≥恒成立，∴
ln m x x r ≥-，…………9分
令()ln h x x x r =-，则()'1ln 1ln h x x r =--=-． ∴当1x >时，()'0h x <，当01x <<时，()'0h x >， ∴()h x 在(]01，
上是增函数，在[)1+∞，上是减函数， 当122x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()h x 最大值为
()11h =，…………………………………………………………………11分
∴1
m≥即
[)
，． (12)
1
m∈+∞
分。