【精品】高考数学深化复习 命题热点提分专题07导数及其应用理

专题07 导数及其应用
1．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象的大致形状是( )
解析：由f (x )图象先降再升后趋于平稳知，f ′(x )的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.
答案：D
2．曲线y ＝e 2x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.92
e 2 B ．4e 2 C ．2e 2
D ．e 2 解析：∵y ′＝12e 2x ，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12
e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12
×2×|－e 2|＝e 2. 答案：D
3．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )
A ． (－∞，－1)∪(0,1)
B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
答案：D
4．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －43 B ．32b －23
C ．0
D ．b 2－16
b 3
5．函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．
解析：函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝2－1x ≥0，解得x ≥12
，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 答案：⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 6．已知f (x )＝ax ln x ＋1(a ∈R)，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ＝2.
答案：2
7．已知函数f (x )＝(λx ＋1)ln x －x ＋1.
(1)若λ＝0，求f (x )的最大值；
(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，证明：f x x －1>0. 解析：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，
当λ＝0时，f (x )＝ln x －x ＋1.
则f ′(x )＝1x
－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0<x <1时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)上是增函数；
当x >1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，＋∞)上是减函数．
故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.
(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x
－1. 由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1.
∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.
由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．
当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0， f x x －1
>0.。