高考文科数学一轮复习练习-解三角形

§4.4 解三角形探考情悟真题【考情探究】
考点内容解读
5年考情预测
热度考题示例考向关联考点
正弦定理与余弦定理①理解正弦定理与
余弦定理的推导过
程;②掌握正弦定
理、余弦定理,并能
解决一些简单的三
角形的度量问题
2019课标全国Ⅱ,15,5分正弦定理的应用同角三角函数基本关系
★★☆2018课标全国Ⅰ,16,5分
正弦定理与余弦定理的
应用
三角形的面积公式
2017课标全国Ⅰ,11,5分正弦定理的应用诱导公式,两角和的正弦公式
2019课标全国Ⅰ,11,5分
正弦定理与余弦定理的
应用
—
解三角形及其应用能够运用正弦定
理、余弦定理等知
识和方法解决一些
与测量和几何计算
有关的实际问题
2018课标全国Ⅲ,11,5分解三角形及三角形的面积—
★★★2019课标全国Ⅲ,18,12分
解三角形及三
角形的面积
二倍角公式及诱导公式
2016课标全国Ⅱ,15,5分解三角形同角三角函数基本关系
分析解读
从近几年的高考试题来看,本节内容一直是高考考查的重点和热点,命题呈现出如下特点:1.利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题时,要能在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再利用数形结合法求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式之间的联系,会用方程和函数思想解决三角形的最值问题,常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值为5分或12分.
破考点练考向
【考点集训】
考点一正弦定理与余弦定理
1.(2020届四川成都摸底考试,7)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,√2b-c),且m·n=0,则角A的大小为()
A.π
6 B.π
4
C.π
3
D.π
2
答案B
2.(2019河北衡水中学三调,7)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc,若sin Bsin C=sin2A,则△ABC的形状是()
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案C
3.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若B=2A,a=1,b=√3,则c=()
A.1
B.√2
C.2
D.2√3
答案C
考点二 解三角形及其应用
答案 C
2.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13
BC,则sin A=( )
A.310
B.
√10
10
C.√5
5
D.
3√10
10
答案 D
3.(2019广西南宁二中高三第一次月考,17)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,m =(cos B,2a-b),n =(cos C,c),且m ∥n .
(1)求角C 的大小;
(2)若c=1,当△ABC 的面积取得最大值时,求△ABC 内切圆的半径. 答案 (1)由m ∥n 得c ·cos B=(2a-b)·cos C,
由正弦定理得sin C ·cos B=2sin A ·cos C-sin B ·cos C,(2分) 得sin(B+C)=2sin A ·cos C,
在△ABC 中,sin(B+C)=sin A,且sin A ≠0, ∴cos C=12,又C ∈(0,π),∴C=π3
.(4分) (2)由余弦定理知c 2
=1=a 2
+b 2
-2abcos π3
, 即1=a 2+b 2
-ab,
∵a 2
+b 2
-ab=1≥2ab-ab,∴ab≤1, 当且仅当a=b 时,等号成立,(7分) S △ABC =12
absin C=√3
4
ab ≤√3
4
.(10分)
当S △ABC =√3
4
时,△ABC 为等边三角形,
设△ABC 内切圆半径为r 内,则S △ABC =12
(a+b+c)r 内, ∴√34=3
2
r 内,
∴r 内=√36
,即当△ABC 的面积取得最大值√34
时,△ABC 内切圆半径为√3
6
.(12分)
炼技法 提能力 【方法集训】
方法1 利用正、余弦定理判断三角形形状的方法
1.(2020届皖南八校第一次联考,6)在△ABC 中,cos 2B
2=
a+c
2c
(a,b,c 分别为角A,B,C 的对边),则△ABC 的形状为( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
答案B
2.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为()
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案D
3.给出下列命题:
①若tan Atan B>1,则△ABC一定是钝角三角形;
②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;
③若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC一定是等边三角形.
以上正确命题的序号为.
答案②③
方法2 求解三角形实际问题的方法
1.(2020届吉林第一中学第一次调研考试,7)某船从A处向东偏北30°方向航行2√3千米到达B处,然后朝西偏南60°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为()
A.√3千米
B.2√3千米
C.3千米
D.6千米
答案B
2.(2019宁夏顶级名校联考,17)风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树,记作A,B,P,Q,湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近.欲测量P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离,现可测得A,B两点间的距离为100 m,∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,如图所示,求P,Q两棵树和A,P两棵树之间的距离各为多少.
答案在△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,
由正弦定理得AP
sin60°=100
sin45°
⇒AP=50√6.
在△QAB中,∠ABQ=90°,AB=100,∠QAB=45°,
∴AQ=100√2,又知∠PAQ=75°-45°=30°,
则由余弦定理得PQ2=(50√6)2+(100√2)2-2×50√6×100√2·cos 30°=5 000,
∴PQ=50√2.
因此,P,Q两棵树之间的距离为50√2 m,A,P两棵树之间的距离为50√6 m.
3.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3√3 km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.
(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;
(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.
答案 (1)在△OAB 中,因为OA=3,OB=3√3,∠AOB=90°,所以∠A=60°. 在△OAM 中,由已知及余弦定理得OM 2
=AO 2
+AM 2
-2AO ·AM ·cos A=7,
所以OM=√7,所以cos ∠AOM=
OA 2+OM 2-AM 22OA ·OM =2√7
7
.
在△OAN 中,sin ∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=2√7
7
. 在△OMN 中,由
MN sin30°=OM
sin ∠ONA
得MN=√7
2√77
×12=74
.
故点M,N 之间的距离为74
km. (2)设∠AOM=θ,0<θ<π3
. 在△OAM 中,由OM sin ∠OAB =OA
sin ∠OMA 得
OM=3√3
2sin (θ+π
3).
在△OAN 中,由
ON sin ∠OAB =OA
sin ∠ONA
得
ON=
3√3
2sin (θ+π2)
=3√32cosθ. 所以S △OMN =12
OM ·ON ·sin ∠MON =1
2
·3√3
2sin (θ+π3)·3√32cosθ·12 =27
16sin (θ+π
3)cosθ=27
8sinθcosθ+83cos 2θ
=
274sin2θ+43cos2θ+43=27
8sin (2θ+π3
)+4√3
,
因为0<θ<π3,所以2θ+π3∈(π3
,π),
所以当2θ+π3=π2
,即θ=π12
时,S △OMN 取最小值,为27(2-√3)
4
. 所以设计∠AOM=π12时,△OMN 的面积最小, 最小面积是27(2-√3)4
km 2
.
【五年高考】
A 组 统一命题·课标卷题组
考点一 正弦定理与余弦定理
1.(2019课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14
,则b c
=( ) A.6
B.5
C.4
D.3
答案 A
2.(2018课标全国Ⅱ,7,5分)在△ABC 中,cos C 2=√55
,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2 B.√30 C.√29 D.2√5 答案 A
3.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
答案 B
4.(2016课标全国Ⅰ,4,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23
,则b=( ) A.√2
B.√3
C.2
D.3
答案 D
5.(2019课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 答案
34
π 6.(2018课标全国Ⅰ,16,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2
+c 2
-a 2
=8,则△ABC 的面积为 . 答案 2√3
3
考点二 解三角形及其应用
1.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45
,cos C=513
,a=1,则b= . 答案
2113
2.(2019课标全国Ⅲ,18,12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C
2=bsin A. (1)求B;
(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.
答案 本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养. (1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C
2
=sin Bsin A. 因为sin A ≠0,所以sin
A+C
2
=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2=cos B
2
, 故cos B
2
=2sin B 2
cos B 2
.
因为cos B 2≠0,故sin B 2=12
,因此B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√3
4
a.
由已知及(1)利用正弦定理得a=
csinA sinC =sin(120°-C)sinC =√32tanC +1
2
. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°, 故1
2
<a<2,从而√3
8
<S △ABC <√3
2
.
因此,△ABC 面积的取值范围是(
√38
,
√3
2
).
3.(2015课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin 2
B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B;
(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC 的面积. 答案 (1)由题设及正弦定理可得b 2
=2ac.
又a=b,可得b=2c,a=2c. 由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =1
4
.(6分)
(2)由(1)知b 2
=2ac.
因为B=90°,由勾股定理得a 2
+c 2
=b 2
.
故a 2
+c 2
=2ac,得c=a=√2.
所以△ABC 的面积为1.(12分)
4.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (1)求
sin ∠B
sin ∠C
; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 答案 (1)由正弦定理得
AD sin ∠B =BD sin ∠BAD ,AD sin ∠C =DC
sin ∠CAD
. 因为AD 平分∠BAC,BD=2DC, 所以
sin ∠B sin ∠C =DC BD =1
2
. (2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin ∠C=sin(∠BAC+∠B)=√3
2
cos ∠B+12
sin ∠B.
由(1)知2sin ∠B=sin ∠C, 所以tan ∠B=√3
3
,即∠B=30°.
B 组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 正弦定理与余弦定理
1.(2016山东,8,5分)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2
=2b 2
(1-sin A).则A=( ) A.3π4
B.π3
C.π4
D.π6
答案 C
2.(2019浙江,14,6分)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则BD= ,cos ∠ABD= . 答案
12√25;7√2
10
3.(2019北京,15,13分)在△ABC 中,a=3,b-c=2,cos B=-1
2
. (1)求b,c 的值; (2)求sin(B+C)的值.
答案 本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.
(1)由余弦定理b 2
=a 2
+c 2
-2accos B 及已知, 得b 2
=32
+c 2
-2×3×c×(-12
).
因为b=c+2,
所以(c+2)2
=32
+c 2
-2×3×c×(-12
).
解得c=5. 所以b=7.
(2)由cos B=-12
得sin B=√3
2
.
由正弦定理得sin A=a b sin B=3√3
14
. 在△ABC 中,B+C=π-A. 所以sin(B+C)=sin A=
3√3
14
. 4.(2017天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2
). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B-A)的值. 答案 (1)由asin A=4bsin B 及
a sinA =
b sinB
,得a=2b.
由ac=√5(a 2
-b 2
-c 2
)及余弦定理,得
cos A=b 2+c 2-a 22bc =-√5
5ac ac =-√5
5
.
(2)由(1),可得sin A=2√5
5
,代入asin A=4bsin B,
得sin B=
asinA 4b =√5
5
. 由(1)知,A 为钝角,所以cos B=√1-sin 2B =
2√5
5
. 于是sin 2B=2sin Bcos B=45
,cos 2B=1-2sin 2
B=35
, 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45
×(-√5
5
)-35×
2√55=-2√5
5
.
考点二 解三角形及其应用
1.(2018北京,14,5分)若△ABC 的面积为√3
4
(a 2
+c 2
-b 2
),且∠C 为钝角,则∠B= ;c
a
的取值范围是 .
答案
π
3
;(2,+∞) 2.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积是 ,cos ∠BDC= . 答案
√152
;
√10
4
3.(2019江苏,15,14分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.
(1)若a=3c,b=√2,cos B=2
3
,求c 的值; (2)若
sinA a =cosB
2b
,求sin (B +π2
)的值.
答案 本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力. (1)因为a=3c,b=√2,cos B=23
, 由余弦定理的推论cos B=a 2+c 2-b 22ac ,得23=(3c)2+c 2-(√2)2
2×3c×c
, 即c 2
=1
3
.所以c=√3
3
.
(2)因为
sinA a =cosB
2b
, 由正弦定理
a sinA =
b sinB ,得cosB 2b =sinB
b
, 所以cos B=2sin B.
从而cos 2
B=(2sin B)2
,即cos 2
B=4(1-cos 2
B),
故cos 2
B=45
.
因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0,从而cos B=2√5
5
. 因此sin (B +π2
)=cos B=
2√5
5
. 4.(2018天津,16,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6
). (1)求角B 的大小;
(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值. 答案 (1)在△ABC 中,由正弦定理
a sinA =
b sinB
,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acos (B -π6),得asin B=acos (B -π6
),即sin B=cos (B -
π
6
),可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),可得B=π
3
.
(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3
,有b 2
=a 2
+c 2
-2accos B=7,故b=√7. 由bsin A=acos (B -π6
),可得sin A=√3
√7
.
因为a<c,故cos A=2
√7
. 因此sin 2A=2sin Acos A=
4√37,cos 2A=2cos 2
A-1=17
. 所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=
4√37×12-17×√32=3√3
14
. 5.(2017山东,17,12分)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 答案 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,所以bccos A=-6, 又S △ABC =3,所以bcsin A=6,
因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=3π
4
. 又b=3,所以c=2√2.
由余弦定理a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A,
得a 2
=9+8-2×3×2√2×(-√2
2
)=29,
所以a=√29.
C 组 教师专用题组
考点一 正弦定理与余弦定理
1.(2015广东,5,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√3
2
且b<c,则b=( )
A.3
B.2√2
C.2
D.√3
答案 C
2.(2013课标Ⅰ,10,5分)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2
A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10
B.9
C.8
D.5
答案 D
3.(2018浙江,13,6分)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B= ,c= . 答案
√21
7
;3
4.(2015重庆,13,5分)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-14
,3sin A=2sin B,则c= . 答案 4
5.(2015福建,14,4分)若△ABC 中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC= . 答案 √2
6.(2015陕西,17,12分)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.向量m =(a,√3b)与n =(cos A,sin B)平行. (1)求A;
(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积. (1)因为m ∥n ,所以asin B-√3bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0, 又sin B ≠0,从而tan A=√3, 由于0<A<π, 所以A=π3
.
(2)解法一:由余弦定理,得
a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A,而a=√7,b=2,A=π3
, 得7=4+c 2
-2c,即c 2
-2c-3=0,
因为c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√3
2
. 解法二:由正弦定理,得√7
sin π3=2sinB
, 从而sin B=
√21
7
,
又由a>b,知A>B,所以cos B=
2√77
. 故sin C=sin(A+B)=sin (B +π3
)
=sin Bcos π3+cos Bsin π3=
3√21
14
. 所以△ABC 的面积为12
absin C=
3√3
2
. 7.(2015天津,16,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14
. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6
)的值.
答案 (1)在△ABC 中,由cos A=-14
,可得sin A=√15
4
.
由S △ABC =1
2bcsin A=3√15,得bc=24,又由b-c=2,
解得b=6,c=4.
由a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A,可得a=8.
由
a sinA =c
sinC
,得sin C=
√15
8
.
(2)cos (2A +π6
)=cos 2A ·cos π6
-sin 2A ·sin π6
=√3
2
(2cos 2
A-1)-12
×2sin A ·cos A=
√15-7√3
16
.
8.(2012课标全国,17,12分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,c=√3asin C-ccos A. (1)求A;
(2)若a=2,△ABC 的面积为√3,求b,c.
答案 (1)由c=√3asin C-c ·cos A 及正弦定理得√3·sin A ·sin C-cos A ·sin C-sin C=0. 由于sin C ≠0,所以sin (A -π6)=12
. 又0<A<π,故A=π3
.
(2)△ABC 的面积S=1
2bcsin A=√3,故bc=4.
而a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A,故b 2
+c 2
=8.解得b=c=2.
9.(2011全国,18,12分)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,asin A+csin C-√2asin C=bsin B. (1)求B;
(2)若A=75°,b=2,求a,c.
答案 (1)由正弦定理得a 2
+c 2
-√2ac=b 2
.
又b 2
=a 2
+c 2
-2accos B.
故cos B=√2
2
,又0°<B<180°,
因此B=45°.
(2)sin A=sin(30°+45°)
=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =
√2+√6
4
.
故a=b×
sinA sinB =√2+√6
2
=1+√3,
c=b×sinC
sinB =2×sin60°
sin45°
=√6.
10.(2010全国Ⅰ,18,12分)已知△ABC的内角A,B及其对边a,b满足a+b=acot A+bcot B,求内角C. 答案由a+b=acot A+bcot B及正弦定理得
sin A+sin B=cos A+cos B,
sin A-cos A=cos B-sin B,
从而sin Acos π
4-cos Asin π
4
=cos Bsin π
4
-sin Bcos π
4
,
sin(A-π
4)=sin(π
4
-B).
又0<A+B<π,故A-π
4=π
4
-B,A+B=π
2
,所以C=π
2
.
考点二解三角形及其应用
1.(2013课标Ⅱ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π
6,C=π
4
,则△ABC的面积为()
A.2√3+2
B.√3+1
C.2√3-2
D.√3-1
答案B
2.(2015湖北,15,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.
答案100√6
3.(2014课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.
答案150
4.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.
(1)证明:A=2B;
(2)若cos B=2
3
,求cos C的值.
答案(1)证明:由正弦定理得
sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,
于是sin B=sin(A-B).
又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,
所以B=π-(A-B)或B=A-B,
因此A=π(舍去)或A=2B,
所以A=2B.
(2)由cos B=23
得sin B=√5
3
,
cos 2B=2cos 2
B-1=-19
, 故cos A=-19
,sin A=
4√5
9
, cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227
.
5.(2016天津,15,13分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;
(2)若cos A=13
,求sin C 的值. 答案 (1)在△ABC 中,由a sinA =b sinB
,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3bsin A=√3asin B,所以cos
B=√3
2
,得B=π6
.
(2)由cos A=13,可得sin A=
2√2
3
, 则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin (A +π6
) =√3
2
sin A+12cos A=
2√6+1
6
. 6.(2015山东,17,12分)△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知cos B=√3
3,sin(A+B)=√6
9,ac=2√3,求sin A 和c 的值.
答案 在△ABC 中,由cos B=√3
3
,得sin B=√6
3
,
因为A+B+C=π,
所以sin C=sin(A+B)=√6
9
.
因为sin C<sin B,所以C<B,可知C 为锐角, 所以cos C=
5√3
9
. 因此sin A=sin(B+C) =sin Bcos C+cos Bsin C =√6
3
×
5√39+√33×√69=2√2
3
. 由a sinA =c
sinC
,可得a=csinA sinC
=2√2
3c
√69=2√3c, 又ac=2√3,所以c=1.
7.(2015浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4
+A)=2. (1)求
sin2A
sin2A+cos 2A
的值;
(2)若B=π4
,a=3,求△ABC 的面积. 答案 (1)由tan (π4
+A)=2,得tan A=13
,
所以
sin2A sin2A+cos 2A =2tanA 2tanA+1=2
5
.
(2)由tan A=13
,A ∈(0,π),得
sin A=
√10
10
,cos A=
3√10
10
. 又由a=3,B=π4
及正弦定理
a sinA =b
sinB
,得b=3√5.
由sin C=sin(A+B)=sin (A +π4
)得sin C=2√5
5
. 设△ABC 的面积为S,则S=12
absin C=9.
8.(2015四川,19,12分)已知A,B,C 为△ABC 的内角,tan A,tan B 是关于x 的方程x 2
+√3px-p+1=0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小;
(2)若AB=3,AC=√6,求p 的值.
答案 (1)由已知得,方程x 2
+√3px-p+1=0的根的判别式Δ=(√3p)2
-4(-p+1)=3p 2
+4p-4≥0.
所以p ≤-2,或p ≥2
3
.
由根与系数关系,得tan A+tan B=-√3p,tan Atan B=1-p. 于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p ≠0, 从而tan(A+B)=
tanA+tanB 1-tanAtanB =-√3p
p
=-√3.
所以tan C=-tan(A+B)=√3, 所以C=60°.
(2)由正弦定理,得sin B=
ACsinC AB =√6sin60°3=√2
2
, 解得B=45°,或B=135°(舍去). 于是A=180°-B-C=75°.
则tan A=tan 75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°
1-tan45°tan30°
=
1+√3
3-√3
3
=2+√3.
所以p=-1
√3(tan A+tan B)=-1
√3
(2+√3+1)=-1-√3.
9.(2014课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求C 和BD;
(2)求四边形ABCD 的面积. 答案 (1)由题设及余弦定理得
BD 2
=BC 2
+CD 2
-2BC ·CDcos C=13-12cos C,① BD 2
=AB 2
+DA 2
-2AB ·DAcos A=5+4cos C.② 由①②得cos C=12
,故C=60°,BD=√7. (2)∵四边形ABCD 的内角A 与C 互补,C=60°, ∴A=120°.
四边形ABCD 的面积S=1
2
AB ·DAsin A+12
BC ·CDsin C
=12×1×2×sin 120°+12
×3×2×sin 60°=2√3.
【三年模拟】
时间:50分钟 分值:80分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(2020届河南、河北重点中学摸底考试,8)已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且(a+b)2
=c 2
+ab,B=30°,a=4,则△ABC 的面积为( ) A.4
B.3√3
C.4√3
D.6√3
答案 C
2.(2020届西南地区名师联盟8月联考,8)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若角C>π3,a b =sinA
sin2C
,则关于△ABC
的两个结
论:①一定是锐角三角形;②一定是等腰三角形,下列判断正确的是( )
A.①错误,②正确
B.①正确,②错误
C.①②都正确
D.①②都错误 答案 C
3.(2019湖南怀化一模,7)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,△ABC 的面积为S,若2S=(a+b)2
-c 2
,则tan C 的值是( ) A.43
B.34
C.-43
D.-34
答案 C
4.(2020届广东佛山实验中学第一次联考,9)如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,AB=15,BD=10,∠ADC=120°,则cos ∠BAD=( )
A.√3
3
B.
2√23 C.-√63或√6
3
D.√6
3
答案 D
5.(2019江西临川、南康九校联考,10)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若acos C+ccos A=2bcos B,且cos 2B+2sin Asin C=1,则a-2b+c=( ) A.√2
2
B.√2
C.2
D.0
答案 D
6.(2018山西晋城一模,9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且csin (B +π3
)=√32
a,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =20,c=7,则△ABC 的内切圆的半
径为( ) A.√2
B.1
C.3
D.√3
答案 D
7.(2020届河北枣强中学9月月考,12)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若b=1,c=√3,且2sin(B+C)cos C=1-2cos Asin C,则△ABC 的面积是( ) A.√3
4
B.12
C.√34
或√3
2
D.14或12
答案 C
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.(2020届山西康杰中学等四校9月联考,16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,S 为△ABC 的面积,sin(A+C)=2S
b 2-
c 2
,且A,B,C 成等差数列,则C 的大小为 . 答案
π6
9.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,其外接圆半径为2√3
3
,b=2,则△ABC 的周长
的取值范围是 . 答案 (2+2√3,6]
三、解答题(共35分)
答案 (1)∵(2c -a)cos B-bcos A=0,
∴由正弦定理得(2sin C-sin A)cos B-sin Bcos A=0, ∴2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A, 即2sin Ccos B=sin(A+B)=sin C. ∵C∈(0,π2),∴sin C ≠0,∴cos B=12
, ∵B∈(0,π2
),∴B=π3
.
(2)∵S=12acsin ∠ABC=12BD ·b,将c=2,BD=
3√217,sin ∠ABC=√3
2
代入,得b=√7
3
a.
由余弦定理得,b 2
=a 2
+c 2
-2accos ∠ABC=a 2
+4-2a. 将b=√7
3
a 代入上式,整理得a 2
-9a+18=0,解得a=3或6.
当a=3时,b=√7;当a=6时,b=2√7.
又∵△ABC 是锐角三角形,∴a 2
<c 2
+b 2
,故a=3,b=√7.
∴S=1
2
×2×3×√32
=
3√3
2
.
11.(2019福建福州质检,17)在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,点D,E 分别在边AB,BC 上,CD=5,CE=3,且△EDC 的面积为3√6. (1)求边DE 的长;
(2)若AD=3,求sin A 的值. 答案 (1)如图,在△ECD 中,
S △ECD =12CE ·CDsin ∠DCE=12
×3×5×sin∠DCE=3√6,(1分) 所以sin ∠DCE=
2√6
5
,(2分)
因为0°<∠DCE<90°,
所以cos ∠DCE=√1-(2√65
)2
=1
5
.(4分)
所以DE 2
=CE 2
+CD 2
-2CD ·CEcos ∠DCE=9+25-2×5×3×15
=28,
所以DE=2√7.(7分) (2)因为∠ACB=90°,
所以sin ∠ACD=sin(90°-∠DCE)=cos ∠DCE=15
,(9分) 在△ADC 中,由正弦定理得AD sin ∠ACD =CD
sinA
,
即3
15
=
5
sinA
,(11分)
所以sin A=13
.(12分)
12.(2020届河南中原名校9月联考,20)如图,某市欲建一个圆形的公园,规划设立A,B,C,D 四个出入口(在圆周上),并以直路顺次连通,其中A,B,C 的位置已确定,且AB=2,BC=6(单位:百米),记∠ABC=θ,且已知圆的内接四边形对角互补.请你为规划部门解决下列问题:
(1)如果DC=DA=4,求四边形ABCD 的区域面积; (2)如果圆形公园的面积为
28π
3
万平方米,求cos θ的值.
答案 (1)∵∠ADC+∠ABC=π,∠ABC=θ, ∴cos∠ADC=-cos θ,
连接AC,在△ABC 和△ADC 中,分别利用余弦定理得AC 2
=22
+62
-2×2×6cos θ=42
+42
-2×4×4(-cos θ),
解得cos θ=17,∴sin∠ADC=sin θ=
4√3
7
, ∴四边形ABCD 的面积S=S △ABC +S △ADC =12
(BA ·BC+DA ·DC)sin θ=12
×(2×6+4×4)×4√3
7
=8√3. 故四边形ABCD 的区域面积为8√3万平方米.(6分) (2)∵圆形公园的面积为
28π
3
万平方米, ∴圆形公园的半径R=
2√21
3
百米, 在△ABC 中,由正弦定理知,AC=2Rsin θ=
4√21
3
sin θ百米,
由余弦定理知AC 2
=22
+62
-2×2×6cos θ=40-24cos θ,
∴(4√213
sinθ)
2
=40-24cos θ,化简得14cos 2
θ-9cos θ+1=0,
解得cos θ=12或cos θ=17
.(12分)。