高三数学复习 第八章 立体几何 第四节 直线、平面垂直的判定与性质夯基提能作业本 理(2021年整

2018届高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线、平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理
2018届高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线、平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理
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2018届高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线、平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理
第四节直线、平面垂直的判定与性质
A组基础题组
1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l，则 ( ）
A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B。

垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C。

垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直
2。

设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件为( ）A.a⊥c,b⊥c B。

α⊥β,a⊂α，b⊂β
C.a⊥α，b∥αD。

a⊥α,b⊥α
3.已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则下列判断中正确的是( ）
A.AB⊥PC B。

AC⊥平面PBD
C.BC⊥平面PAB D。

平面PBC⊥平面PDC
4.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则一定互相垂直的平面有（）
A.8对 B。

7对C.6对 D.5对
5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论：
①·≠0；②∠BAC=60°；③三棱锥D—ABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直。

其中正确的是（）
A。

①② B.②③C。

③④D。

①④
6。

如图,∠BAC=90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是；与AP垂直的直线是.
7。

（2016课标全国Ⅱ，14，5分)α,β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α，n∥α,那么m⊥n。

③如果α∥β，m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。

其中正确的命题有。

(填写所有正确命题的编号)
8。

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）
9。

如图,在三棱锥P-ABC中，D，E,F分别为棱PC,AC，AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6，BC=8,DF=5.求证:(1）直线PA∥平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC。

10。

（2016四川,17,12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°，
BC=CD=AD.
(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB,并说明理由；
（2）证明：平面PAB⊥平面PBD。

B组提升题组
11.（2016辽宁大连模拟）已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α，β,给出下列四个命
题,其中错误的命题是（)
A。

若a∥α，a∥β,α∩β=b,则a∥b
B。

若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b
C.若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=a，则a⊥α
D.若α∥β,a∥α，则a∥β
12.如图,在梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论：
①DF⊥BC;②BD⊥FC；③平面BDF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中，可能成立的结论是( ）
A.①③
B.②③
C.②④
D.③④
13.如图所示,在三棱锥D—ABC中，若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是（填序号）。

①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABC⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.
14.（2016甘肃兰州实战考试)设平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件:
①AC⊥α;②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF。

其中能成为增加条件的是.(把你认为正确的条件序号都填上)
15.（2016河北石家庄一模）在平面四边形ACBD(图①）中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°,∠BAC=45°，将△ABC沿AB折起，构成如图②所示的三棱锥C'—ABD.
(1）当C'D=时，求证:平面C’AB⊥平面DAB；（2)当AC'⊥BD时，求三棱锥C'-ABD的高。

答案全解全析
A组基础题组
1。

D 对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错;对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错;对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;易知D正确。

2.C 对于选项A，若a⊥c，b⊥c，则直线a与b可能异面,可能平行，也可能相交，所以A项错误；对于选项B,若α⊥β,a⊂α，b⊂β,则直线a与b可能异面，可能平行,也可能相交,所以B项错误;对于选项C，若a⊥α，b∥α，则a⊥b，所以C项正确；对于选项D,易知a∥b,所以D项错误，故选C.
3.C 由题意画出几何体的图形,如图.
∵AB∥CD，CD不垂直于PC,∴AB⊥PC不正确;设BD交AC于O，连接PO，易知AC不垂直于PO，所以AC⊥平面PBD不正确;因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，因为BC⊥AB,且PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB,C项正确；易知D项不正确,故选C。

4.B 由于PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形,
故平面PAD⊥平面ABCD,
平面PDB⊥平面ABCD,
平面PDC⊥平面ABCD，
平面P DA⊥平面PDC，
平面PAC⊥平面PDB，
平面PAB⊥平面PAD,
平面PBC⊥平面PDC,共7对.
5.B 因为DA,DB，DC两两垂直，所以BD⊥平面DAC，则BD⊥AC,故①错;易知平面ADC与平面ABC不垂直，故④错；因为DA=DB=DC，所以易知△ABC为正三角形，故②③正确，故选B.
6。

答案AB，BC，AC;AB
解析∵PC⊥平面ABC,
∴PC垂直于直线AB,BC,AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC,AC∩PC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB。

7.答案②③④
解析由m⊥n,m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错.易知②③④都正确.
8。

答案DM⊥PC（或BM⊥PC)
解析连接AC,∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，
又P C⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD。

9。

证明(1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.
又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF,
所以直线PA∥平面DEF。

(2)因为D,E,F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6,BC=8，所以DE∥PA,DE=PA=3，EF=BC=4.又因为DF=5，所以DF2=DE2+EF2,
所以∠DEF=90°,即DE⊥EF。

又PA⊥AC,DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC。

又DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
10.解析（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点。

理由如下：
连接CM。

因为AD∥BC，BC=AD,
所以BC∥AM，且BC=AM.
所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.
又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB,
所以CM∥平面PAB。

(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）
(2）证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD,
因为AD∥BC,BC=AD，
所以直线AB与CD相交，
所以PA⊥平面ABCD。

从而PA⊥BD。

因为AD∥BC，BC=AD，
所以BC∥MD，且BC=MD。

连接BM,则四边形BCDM是平行四边形.
所以BM=CD=AD，所以BD⊥AB。

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB。

又BD⊂平面PBD,
所以平面PAB⊥平面PBD。

B组提升题组
11.D 易知A、B正确；C中,在α内取一点A，过A分别作直线m垂直于α,β的交线，直线n垂直于α,γ的交线,则由线面垂直的性质知m⊥β，n⊥γ，则m⊥a，n⊥a，由线面垂直的判定定理知a⊥α,正确;D中，满足条件的a也可能在β内，故D错,故选D。

12.B 因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直，则①不成立；设点D在平面BCF上的射影为点P,如图,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,又AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使BP⊥CF，所以②成立;当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BFC,所以③成立；因为点D在平面BFC上的射影不可能落在直线FC上，所以④不成立.选B.
13.答案③
解析由AB=CB,AD=CD，点E为AC的中点，知AC⊥DE,AC⊥BE，又因为DE∩BE=E，所以AC⊥平面BDE，故③正确。

由已知条件推不出①②④正确.
14.答案①③
解析要使BD⊥EF，结合EF⊥CD，EF⊥AB,则需EF⊥平面BCD，EF⊥平面ABD,即需平面BCD 与平面ABD重合,故要使BD⊥EF，只需AB，CD在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件. 15。

解析(1)证明：当C'D=时,取AB的中点O,连接C’O，DO。

在Rt△AC'B和Rt△ADB中，AB=2,则C'O=DO=1，
又∵C’D=,
∴C’O2+DO2=C’D2,即C'O⊥OD.
由题可知△ABC’为等腰直角三角形,
∴C’O⊥AB,又AB∩OD=O,AB，OD⊂平面DAB,
∴C'O⊥平面DAB,
∵C’O⊂平面C'AB,
∴平面C'AB⊥平面DAB.
（2）当AC’⊥BD时,
∵AC'⊥BC’,BD∩BC'=B,
∴AC'⊥平面BDC'，
又∵C’D⊂平面BDC’，
∴AC’⊥C'D,∴△AC'D为直角三角形，
易得AD=,BC’=AC'=,BD=1，
由勾股定理可得,
C’D===1。

∴C’D2+B D2=C’B2，
∴△BDC'为直角三角形，
∴S△BDC'=×1×1=.
V A-BDC'=×S△BDC’×AC’=××=, S△ABD=×1×=。

设三棱锥C’-ABD的高为h，
∵V C'-ABD=V A-BDC',
∴×h×=，
解得h=.
∴三棱锥C'—ABD的高为。