第4讲模糊数学方法

一、模糊集的相关概念
1. 模糊集
现实中的许多现象及关系比较模糊。 如高与矮，长与短，大与小，多与少，穷 与富，好与差，年轻与年老等。 为了研究上述模糊现象，美国控制论 专家扎德1965年引入了模糊集合的概念。 定义 设给定论域 U，所谓U上的一个 模糊子集A是指对于任意的 x U ，都能确
定一个正数 A x [0,1] ，用其表示 x 属于A 的程度。映射 x U A x [0,1]称为A的 隶属函数， A x 称为x 对A的隶属度。 例1 从下列30条线段中选出长线段。
xa
1e k ( x a ) , x a
Cauchy 型分布
1, xa 1 A ( x) , xa 1 ( x a )
A ( x)
1 ( x a )
1
0, 0
0, 0且为偶数
0, xa 1 A ( x) , x a 1 ( x a )
2. 模糊集的表示方法
若论域U={x1, x2,…, xn}为有限集，模 糊集 A的隶属函数为 A x ，则A的表示形 式有 (1) 向量表示法
A A x1 , A x2 ， ， A xn
(2) Zadeh记号法
A A x1 x1 + A x2 x2 + A xn xn
n
上述方法与概率统计中以频率近似概
率类似，但两者其实有本质的不同。 (2) 指派法 模糊集A的隶属函数 A x 其实即为一 种模糊分布。所谓指派法就是根据问题的 性质主观地选用某些形式的模糊分布，再 依据相关数据确定分布中的参数。 下表中列出了常用的模糊分布及其适 用类型：
偏小型 矩形 分布 正态 分布
二、模糊模式识别
所谓模式识别，就是指把要识别的对 象通过与已知模式比较，确定它与哪个模 式相近或类同的过程。 模糊模式识别方法基于模糊度量和模 糊识别原则进行模式识别。模糊模式识别 中采用的度量是模糊集的贴近度；常用的 识别原则有最大隶属度原则和择近原则。
1. 模糊集的贴近度
贴近度与距离相反，是反映两个模糊 集接近程度的一种度量。常用的贴近度有 (1) 海明贴近度
对论域U，选定 x0 U ，然后考虑 U的 一个边界可变的模糊子集 A，让不同观点 的人判断x0是否属于A，则x0的隶属度为
A x0 lim
n
N A n
其中，n为试验总次数，N(A) 为 x0 属于A 的次数。 N A 在实际中，可取 A x0 。
0, 0 x 50, 2 1 A x x 50 , 50 x 100. 1 5 1, 0 x 25, 2 1 B x x 25 , 25 x 100. 1 5
A xk max A xi
1i n
则应使xk优先属于A。
设A1, A2,…, An为论域 U上的n个模糊 子集，隶属函数分别为 A x ,, A x 。 对 x0 U，若存在Ak，使得
1 n
A x0 max A x0
性和题纲，因此建立隶属函数可以根据模 糊集的实际意义，通过函数变换将原始数 据压缩到[0,1]之间。 设原始数据为x=(x1, x2,…, xn), 常用的 变换公式有
xi min x yi , i 1, 2, , n max x min x xi yi , xi 0, i 1, 2, , n max x min x yi , xi 0, i 1, 2, , n xi
(4) 交： A B C x A x B x C (5) 余(补)：AC C x 1 A x A 其中， , 分别表示取大，小运算。 (6) 内积：A B A x B x
1 0 A xi 0 i 30 1 30
从而得第i条线段xi属于“长线段”集A的隶 属函数
1 A xi 30 i , i 1, 2, ,30 29
例2 在标志年龄(0～100)的数轴上，标 出“年老”、“年轻”区间。 解 取论域 U=[0, 100]，集合A和B分别 表示“年老”和“年轻”，它们的隶属函 数为
x x x x
i 1 A i B i i 1 n A i B i
n
通常，很难比较各种贴近度的优劣。 在实际中需要根据问题的性质和特点选择 适当的贴近度。
2. 模糊识别准则
通常采用最大隶属原则和择近原则进 行模糊识别。 (1) 最大隶属原则 设论域 U上的模糊子集 A的隶属函数 为 A x 。对U中待考察对象x1, x2,…, xn， 若存在xk，使得
k
1i n
i
则应使x0优先属于Ak。 (2) 择近原则 设A1, A2,…, An为论域 U上的n个模糊 子集，被识别对象B也是U上的模糊子集。
若存在Ak，使得 N Ak , B max N Ai , B 1i n 则使B优先属于Ak。
1 n N H A, B 1 A xi B xi n i 1
(2) 欧几里得贴近度
2 1 n N E A, B 1 A xi B xi n i 1
(3) 最大(小)贴近度——格贴近度
N M A, B
0, 0
偏小型一般适用于描述“小”、 “少”、“浅”、“淡”等偏向小的程度 的模糊现象；偏大型正好与偏小型相反； 而中间型一般适用于描述处于中间状态的 模糊现象。 用Matlab模糊逻辑工具箱可以很方便 地生成某些类型的隶属函数。如gbellmf、 gaussmf、sigmf等。 (3) 函数变换法 由于实际问题中的数据具有不同的属
2

1
x
2

1
x
3. 模糊集的运算
由于模糊集中没有元素和集合间的绝 对隶属关系，所以模糊集的运算是通过隶 属函数完成的。 设F集A, B的隶属函数为 A x , B x ， 则A与B的常用运算有 (1) 包含：A B A x B x (2) 相等：A B A x B x (3) 并： A B C x A x B x C
8. 什么是传递闭包矩阵，如何计算，有何 用途？ 9. λ—截矩阵的概念及用途。 10. 相似系数的确定方法。 11. 模糊聚类有哪几类方法？分别详述其原 理与步骤。 12. 模糊聚类编程与实例。 13. 模糊综合评价的基本思想和具体步骤。 14. 如何理解评价对象的因素集和评价集？
15. 什么是模糊综合评价矩阵，如何确定模 糊综合评价矩阵？ 16. 当评价指标分属效益型和成本型时，如 何建立评价矩阵？ 17. 怎样理解评价指标的权重，确定权重有 哪些常用方法？ 18. 何谓评价矩阵与权向量的模糊合成，常 用的合成算子有哪些，各有什么特点？ 19. 如何理解模糊综合评价向量，为什么要
A ( x )
1, x a 0, x a
中间型
A ( x )
a x b 1, 0, x a或x b
( xa )2
偏大型
A ( x )
1, x a 0, x a
1, xa A ( x) xa 2 e ( ) , x a
若论域U为无限集，则A可表示为
A A x x
U
例如，例1中的模糊集A可表示为
1 28 27 A 1, , , , , 0 29 29 29
例2中的模糊集A, B可分别表示为
x 50 A 0 x 1 5 0 x 50 50 x 100 x 25 B 1 x 1 0 x 25 25 x 100 5
(7) 外积： B A x B x A
xU
xU
模糊集的运算满足交换律、结合律、 分配律、摩根律，但不满足互补律。
4. 隶属函数的确定
由模糊集的概念可知，模糊数学的基 本思想是隶属程度，所以应用模糊数学方 法建立数学模型的关键是建立符合实际的 隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的 隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。 下面介绍几种常用的确定隶属度的方 法： (1) 模糊统计法
A ( x) e

0, xa A ( x) x a 2 1e ( ) , x a
k 次抛 物型分 布(k>0)
xa 1, b x k A ( x ) , a x b b a 0, x b
x a 0, x a k A ( x ) , a x b b a 1, x b
型分
布(k>0)
1, x a A ( x) e k ( x a ) , x a
A ( x)
0,
……
……
1
2
3

28 29
30
解 设xi表示第i(i=1,2,…,30)条线段，则 论域 U={x1, x2,…, x30}。若A为 “长线段” 的集合，则线段xi作为集A的成员资格，就 是xi对A的隶属度。 下面建立A的一种隶属函数。 因为线段越长，属于A的程度越大, 所 以线段的长短可作为A的隶属度。从而, 令 A(x1)=1, A(x30)=0，作直线
k x a , a x b ba b x c 1, A ( x) d x k , c xd d c 0, x a , x d
k ( x a ) , xa e ( x ) 1, a x b A k ( x b ) , x b e
对其进行分析处理，如何分析处理？ 20. 模糊综合评价法的缺陷。 21. 模糊综合评价法建模实例。 22. 模糊综合评价法通用程序的编制及软件 的使用。 23. 灰色关联分析法、层次分析法及模糊综 合评价法的异同点, 在实际中如何恰当地选 用上述方法？ 24. AHP与灰色关联、模糊评价的集成。
现实世界中的许多现象及其相互之间 的关系都是模糊的，模糊数学正是利用模 糊集及其运算研究、处理模糊现象的数学 分支学科。 近年来的不少数学建模问题都涉及到 大数据量的复杂问题，这类问题往往可以 用模糊数学方法处理。 本次主要研讨模糊集概念、模糊模式 识别、模糊聚类和模糊综合评价。
2012数学建模培训
第4讲 模糊数学方法(一)
“模糊数学方法”学习内容
1. 如何理解模糊集合、隶属函数以及隶属 度？ 2. 模糊集合的表示方法及常用运算。 3. 构造隶属函数的常用方法。 4. 如何理解模糊集合间的贴近度？ 5. 模糊模式识别的常用原则及适用场合。 6. 模糊聚类的一般步骤。 7. 模糊相似矩阵与模糊等价矩阵。