2019-2020学年新指导同步高中数学必修1(课件 课后巩固 测评卷) (19)

§5简单的幂函数
课后篇巩固提升
A组基础巩固
1.下列函数为幂函数的是()
①y=k·x5(k≠0);②y=x2+x-2;③y=x2;④y=(x-2)3.
A.①③
B.①②
C.①③④
D.③
解析:形如y=xα(α是常数)才是幂函数,根据这一定义可知,只有y=x2是幂函数,故选D.
答案:D
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是()
A.-
B.
C.
D.-
解析:依题意b=0,且2a=-(a-1),
∴a=,则a+b=.
答案:B
3.若函数y=(k2-k-5)x2是幂函数,则实数k的值是()
A.k=3
B.k=-2
C.k=3或k=-2
D.k≠3,且k≠-2
解析:由题意,得k2-k-5=1,即k2-k-6=0,解得k=-2或k=3,故选C.
答案:C
4.已知函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,f(x)在[0,5]上具有单调性,且f(-3)<f(-1),则下列不等式一定成立的是()
A.f(-1)<f(3)
B.f(2)<f(3)
C.f(-3)<f(5)
D.f(0)>f(1)
解析:由于函数f(x)是[-5,5]上的偶函数,
因此f(x)=f(|x|),于是f(-3)=f(3),
f(-1)=f(1),则f(3)<f(1).
又f(x)在[0,5]上具有单调性,从而函数f(x)在[0,5]上是减少的,观察各选项,并注意到f(x)=f(|x|),只
有D正确.
答案:D
5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(3)=0,则使f(x)<0的x的取值范围为()
A.(-3,0)∪(3,+∞)
B.(3,+∞)
C.(-∞,3)∪(3,+∞)
D.(-3,3)
由已知可得f(-3)=f(3)=0,结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图所示).
由图像可知f(x)<0时,x的取值范围是(-3,3).
答案:D
6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2+x+1,则f(1)=.
解析:∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+(-1)+1]=-2.
答案:-2
7.若函数f(x)=4x2+bx-1是偶函数,则实数b=.
解析:由已知得f(-x)=f(x)对任意x∈R恒成立,即4(-x)2-bx-1=4x2+bx-1,于是bx=-bx,故b=0.
答案:0
8.若函数f(x)=为奇函数,则a=.
=-,显然x≠0,整理得x2-
解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即--
-
(a+1)x+a=x2+(a+1)x+a,故a+1=0,解得a=-1.
答案:-1
9.已知函数f(x)=(2m-3)x m+1是幂函数.
(1)求m的值;(2)判断f(x)的奇偶性.
解:(1)因为f(x)是幂函数,所以2m-3=1,即m=2.
(2)由(1)得f(x)=x3,其定义域为R,且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)是奇函数. 10.(拓展探究)已知函数f(x)=x+,且f(1)=2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性;
(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增加的还是减少的?请说明理由.
解:(1)因为f(1)=2,所以1+m=2,即m=1.
(2)由(1)知f(x)=x+,显然函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
又f(-x)=(-x)+
=-x-=-=-f(x),
-
所以,函数f(x)=x+是奇函数.
(3)函数f(x)在(1,+∞)上是增加的.设x1,x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x1+
=x1-x2+-
=x1-x2--=(x1-x2)-,
当1<x1<x2时,x1x2>1,x1x2-1>0,
从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)=x+在(1,+∞)上为增加的.
B组能力提升
1.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为()
A.4
B.0
C.2m
D.-m+4
解析:设g(x)=ax7-bx5+cx3,
则g(x)在R上为奇函数,f(-5)=g(-5)+2=m,
∴g(-5)=m-2.
∴g(5)=2-m.
∴f(5)=g(5)+2=4-m.
∴f(5)+f(-5)=4-m+m=4.
答案:A
2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案:B
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减少的,且f(-2)=0,如图所示,则使得f(x)<0的x的取值范围是()
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)
D.(-2,2)
解析:由图可得在(-∞,0)上,f(x)<0的解集为(-2,0].
因为f(x)为偶函数,所以x的取值范围为(-2,2).
答案:D
4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是()
A. B.
C. D.
作出示意图如图所示.由图可知,f(2x-1)<f,
则-<2x-1<,即<x<.
答案:A
5.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)--(t∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)上是增加的,则函数的解析式
为.
解析:∵f(x)是幂函数,∴t3-t+1=1,解得t=-1或t=0或t=1.
当t=0时,f(x)=是非奇非偶函数,不满足题意;
当t=1时,f(x)=-是偶函数,但在(0,+∞)上是减少的,不满足题意;
当t=-1时,f(x)=x2,满足题意.
综上所述,实数t的值为-1,所求解析式为f(x)=x2.
答案:f(x)=x2
6.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2++t,则f(-2)=.
解析:因为函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(0)=0,即-02++t=0,解得t=-1.
所以f(x)=-x2+-1.
所以f(2)=-22+-1=-.
又函数f(x)为R上的奇函数,
所以f(-2)=-f(2)=.
答案:
7.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
解:由f(x)+g(x)=x2+x-2,①得f(-x)+g(-x)=x2-x-2.
∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴f(x)-g(x)=x2-x-2.②
①+②得2f(x)=2x2-4,∴f(x)=x2-2.
①-②得2g(x)=2x,∴g(x)=x.
8.已知函数f(x)=是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5,求a,b,c的值.
解:因为函数f(x)=是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),
故-
-=-,即
-
=-,
所以-bx+c=-(bx+c),即c=-c,解得c=0.
所以f(x)=.
而f(1)==3,
所以a+1=3b.①由f(2)=5,即=5.②解①②组成的方程组,得故。