北京东城区第二十四中学2021年高二数学理上学期期末试卷含解析

北京东城区第二十四中学2021年高二数学理上学期期
末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数，则（）
A.x=1为的极大值点
B. x=-1为的极大值点
C.x=1为的极小值点
D. x=-1为的极小值点
参考答案：
D
2. 已知函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值，若m、n∈[﹣1，1]，则f（m）+f′（n）的最小值为（）
A．﹣13 B．﹣15 C．10 D．15
参考答案：
A
【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的最值及其几何意义．
【分析】令导函数当x=2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．
【解答】解：∵f′（x）=﹣3x2+2ax
函数f（x）=﹣x3+ax2﹣4在x=2处取得极值
∴﹣12+4a=0
解得a=3
∴f′（x）=﹣3x2+6x
∴n∈[﹣1，1]时，f′（n）=﹣3n2+6n当n=﹣1时，f′（n）最小，最小为﹣9
当m∈[﹣1，1]时，f（m）=﹣m3+3m2﹣4
f′（m）=﹣3m2+6m
令f′（m）=0得m=0，m=2
所以m=0时，f（m）最小为﹣4
故f（m）+f′（n）的最小值为﹣9+（﹣4）=﹣13
故选A
【点评】函数在极值点处的值为0．；求高次函数的最值常用的方法是通过导数．
3. 若，，其中为实数且，则的一个必要不充分条件是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
4. 在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
求出圆C的圆心坐标为（2，0），由圆C经过点得到圆C过极点，由此能求出圆C的极坐标方程．
【详解】在中，令，得，
所以圆C的圆心坐标为（2，0）.
因为圆C经过点，
所以圆C的半径，
于是圆C过极点，
所以圆C的极坐标方程为.
故选：A
【点睛】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
5. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域
上的一个动点，则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案：
B
6. 已知圆：，则过该圆上的点(2,1)作圆的切线方程为（）A．B．C．D．
参考答案：
A
7. 对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
8. 函数为偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，则的一个单调递增区间为
A．(－∞,0] B．[0,+∞) C．D．
参考答案：
C
9. 设成立的充分不必要条件是
A B C D x<-1
参考答案：
D
10. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）
A．41 B．9
C．14 D．5
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列中，若，则有
成立.类比上述性质，在等比数列中，若，则
有
.
参考答案：
12. 在一次抽样调查中，获得一组具有线性关系的数据（x i，y i），i=1，2，…，10，用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2，若这组数据的样本点中心为（3，4），则
=．
参考答案：
考点：线性回归方程．
专题：计算题；概率与统计．
分析：将这组数据的样本点中心为（3，4），代入线性回归方程为y=x+2，即可得出结论．
解答：解：因为用最小二乘法得到的线性回归方程为y=x+2，这组数据的样本点中心为（3，4），
所以4=3+2，
所以=．
故答案为：．
点评：本题考查线性回归方程，考查数据的样本中心点，考查样本中心点和线性回归直线的关系，本题是一个基础题．
13. 已知，则函数的最大值是．
参考答案：
14. 若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则
▲ .
参考答案：
-2
略
15. 已知棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值。

参考答案：
略
16. 我国古代数学发展一直处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以同欧几里德辗转相除法相媲美的是。

参考答案：
更相减损术
17. 已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为．
参考答案：
（x﹣2）2+（y+2）2=1
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．
【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入
圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．
【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），
则此点关于直线X﹣Y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1上，∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，
即（x﹣2）2+（y+2）2=1，
∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C：和直线L:=1, 椭圆的离心率，坐
标原点到直线L的距离为。

（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线与椭圆C相交于M、N两点，试判断是
否存在值，使以MN为直径的圆过定点E？若存在求出这个值，若不存在说明理由。

参考答案：
解：（1）直线L：，
由题意得：又有，
解得：。

（2）若存在，则，设，则：
联立得：（*）
代入（*）式，得：
，
满足
略
19. 设为正数，证明：
参考答案：
证：对归纳，时显然成立等号；设时结论对于任意个正数成立，当时，对于任意个正数，据假设有
，…5分所以
只要证，… ①
平方整理，只要证，
…②…10分
由柯西不等式
……………15分
即
所以
即②成立，因此当时结论成立.故由归纳法知，所证不等式成
立. ……20分
20. （2016春?伊宁市校级期末）求与双曲线﹣=1有相同的焦点，且过点M（2，1）的椭圆的方程．
参考答案：
【考点】椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；分析法；直线与圆．
【分析】求出双曲线的焦点即为椭圆的焦点，设出椭圆方程，代入点M的坐标，得到方程及a，b，c的关系，解方程，即可得答案．
【解答】解：双曲线﹣=1的焦点为：（﹣，0），（，0），
则椭圆的焦点为：（﹣，0），（，0），且c=，
设椭圆方程为（a＞b＞0），
则，
解得：a2=8，b2=2．
则所求椭圆方程为：．
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查解方程的运算能力，属于基础题．21. 已知向量，，且，满足关系
，（为正整数）．
（1）求将表示为的函数；
（2）求函数的最小值及取最小值时的夹角．
参考答案：
解：（1）
（2）的最小值为，此时，
略
22. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，
，，，.
（Ⅰ）求证：面
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
参考答案：
略。