2019-2020学年高二数学第二学期期末模拟试卷及答案(九)(理科)

2019-2020学年高二数学第二学期期末模拟试卷及答
案（九）（理科）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4．考试结束后，将答题卷交回.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的
四个选项中，只有一项符合题目要求的。

1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i i z +=-1)1(，则=2017z （ ） A ．1
B ．1-
C ．i -
D ．
i
2．给出三个命题：①x y cos =是周期函数；②三角函数是周期函数；③x
y cos =是三角函数；则由三段论可以推出的结论是（ ）
A ．x y cos =是周期函数
B ．三角函数是周期函数
C ．x y cos =是三角函数
D ．周期函数是三角函数 3．某射手射击所得环数X 的分布列如下:
已知X 的数学期望9.8)(=X E ,则y 的值为( ). A ．0.8 B ．0.6
C ．0.4
D ．0.2
4．直线x y 4=与曲线2x y =围成的封闭图形的面积为（ ） A ．32
B ．
3
32
C ．
3
2
16 D ．216
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理根，那么a 、b 、c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( ) A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个
偶数
6．设随机变量ξ服从正态分布)0)((2>σσμ，N ，若1)1()0(=<+<ξξP P ,则μ的值为（ ）
A ．2
1
B ．1
C ．2
1-
D ．1-
7．2016年6月9日是我们的传统
节
日
——“端午节”，
这天小红的妈妈为小红煮了6个粽子，其中2个腊肉馅4个豆沙馅，小红
X
7 8 9
1
P
x
0.1
0.
3
y
随机取出两个，事件=A “取到的两个为同一种馅”， 事件=B “取到的两个都是豆沙馅”，则=)|(A B P （ ）
A ．
15
7 B ．
151 C ．71 D ．76
8．设函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=．若1-=x 为函数x e x f )(的一个极值点，
则下列图象不可能．．．为)(x f y =的图象是 （ ）
A
B C
D
9．学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有（ ） A ．540种 B ．240种 C ．180种 D ．150
种
10．给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：
① “若R b a ∈、，则b a b a =⇒=-0”类比推出“若C b a ∈、，则
b a b a =⇒=-0”
②“若R d c b a ∈、、、，则复数d b c a di c bi a ==⇒+=+,”类比推出 “若Q d c b a ∈、、、，则d b c a d c b a ==⇒+=+,22”
③“若R b a ∈、，则b a b a >⇒>-0”类比推出 “若C b a ∈、，则
b a b a >⇒>-0”
④“若R x ∈，则111||<<-⇒<x x ”类比推出“C z ∈，则111||<<-⇒<z z ” 其中类比结论正确．．．．的为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④
11．设)(x f 是R 上的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1('2<-⋅+x xf x f x ,
则不等式0)(>x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞
B ．)1,0()1,(⋃--∞
C ．),1(+∞
D ．),1()0,1(+∞⋃-
12．定义：如果函数)(x f 在],[b a 上存在1x ，2x )(21b x x a <<<满足
a b a f b f x f --=
)()()(1，a
b a f b f x f --=)
()()(2，则称函数)(x f 是],[b a 上的“双中
值函数”。

已知函数m x x x f +-=2331
)(是],0[m 上的“双中值函数”，则实数
m 的取值范围是( )
A ．)2
3,0(
B ．)3,1(
C ．)6,53(+
D ．)3,2
1(
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横
线上。

13．随机变量)3
1
,5(~B ξ，则=)3(ξD
14．已知函数3)3
(2cos sin )('+++=x f x x x f π，则=)3
('π
f .
15．若0122222729,n n n n
n n C C C C +++⋅⋅⋅+=且n 2n 012n (3)x a a x a x a x +=++++，则012(1)n n a a a a
-+-+-= ．
16．记函数)(x f 的导数为)()1(x f ，)()1(x f 的导数为)(,),()1()2(x f x f n -⋅⋅⋅的导数为
)()
(x f
n )(*N n ∈.
若)(x f 可进行n 次求导，则)(x f 均可近似表示为：
n
n x n f x f x f x f f x f !
)0(!3)0(!2)0(!1)0()0()()(3)3(2)2()1(+⋅⋅⋅++++≈. 若取4=n ，根据
这个结论，请用x e x f =)(近似估计自然对数的底数≈e （用分数表示）
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤。

17．(本小题满分12分)已知函数a x x x x f +++-=93)(23. （Ⅰ）求10-=a 时，)(x f 在))2(,2(f 处的切线方程；
（Ⅱ）若)(x f 在区间]2,2[-上的最大值是20，求它在该区间上的最小值。

18．(本小题满分12分)随着经济的发展，我市居民收入逐年增长，下表是
我市一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额）：
年份x
2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y （千亿元）
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2010-=x t ，
5-=y z ：
（Ⅰ）求z 关于t 的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该银行储蓄存款额可达多少？
（附：对于线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
ˆˆˆ,n
i i
i n
i
i x y nx y
b a
y bx x
nx ==-⋅==--∑∑）
19．（本小题满分12分）为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，
在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：
月收入 [15,25） [25,35） [35,45） [45,55） [55,65） [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人
数
4
8
12
5
2
1
将月收入不低于55的人群称为“高收入族"，月收入低于55的人群称为“非高收入族"．
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令？
非高收入族
高收入族
总计 赞成
不赞成 总计
（Ⅱ）现从月收入在[15，25）和[25，35）的两组人群中各随机抽取两人进行问卷调查，记参加问卷调查的4人中不赞成楼市限购令的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．
附表及公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n k ++++-=,d c b a n +++=
)(02
k k P ≥
0.50
0.40 0.2 5 0.1 5 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
0.4
55
0.708
1.323
2.072
2.706
3.84
5.024
6.635
7.879
10.83
20．（本小题满分12分）当*N n ∈时，n
n S n 21
1214
13
12
1
1-
-+
⋅⋅⋅+-+-=，++++=
2111n n T n 31+n n
21
+
⋅⋅⋅+， （Ⅰ）求2121,,,T T S S ；
（Ⅱ）猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明．
21．（本小题满分12分）已知函数ax x ax x f -++=2)2
12
1
ln()(，其中0>a 且a 为
常数。

（Ⅰ）若2
1=x 是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； （Ⅱ）判断函数)(x f 在区间),2
1[+∞上的单调性；
（Ⅲ）若对任意的)2,1(∈a ，总存在]12
1
[0，∈x ，使不等式)1()(20a m x f -≥成立，求实数m 的取值范围．
请考生在第22、 23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知⊙O 是ABC ∆的外接圆，AD BC AB ,=是BC 边上的高，AE 是⊙O 的直径．
（Ⅰ）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅；
（Ⅱ）过点C 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点F ，若4,2==CF AF ，求AC 的长．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已
知直线l 的参数方程为⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=4sin
4cos 1π
πt y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB |的值．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()2296816f x x x x x =-++++ （Ⅰ）解不等式()()4f x f ≥； （Ⅱ）若函数m
x f x g +=
)(1
)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
高二数学（理科）答案
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D
A
C
B
B
A
D
C
D
A
B
C
11．提示：构造函数1
)
()(2
+=
x x f x g ，由)(x f 为奇函数可得)(x g 为奇函数，又
)('
x g =2
22')
1()(2)1)((+-+x x xf x x f ，所以0>x 时，0)('
<x g ，即)(x g 在),0(+∞单调递减，从而在)0,(-∞单调递增，且0)1()1(=-=-f f ，有图像可得结果。

12．提示：
m m m f m f -=--2310)0()(，据题意m m m x x -=+-2233
1
31在],0[m 上有两
个不等实根，即m m x x 23
13
1
2
23-=
-在],0[m 上有两个不等实根，2331)(x x x g -=
∴与m m y 23
1
2-=在],0[m 上有两个不同的交点， 由)(x g 图像可得)0(231)2(2g m m g <-<，即023
1
342<-<-m m ，解得
653<<+m 。

法2：m m x x x h 23
131
)(223+--=在],0[m 上与x 轴有两个不同交点，
x x x h 2)(2
'-=，)2()(h x h =极小，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>>0
)(0)2(0)0(2
m h h h m ，即可得653<<+m 。

二、填空题： 13．10
14．
2
1
3- 15．)2(646或 16．
24
65 16．提示：x
e x
f =)(时，n
x
x n e x e x e e e !!2!102000
+⋅⋅⋅+++≈，
4=n 时，令1=x ，则!4!3!2!100000
e e e e e e ++++≈24
65
=
三、解答题： 17
．
解
：
963)(2'++-=x x x f (1)
分
（Ⅰ）10-=a 时，121029232)2(23=-⨯+⨯+-=f ， ……………2分
992623)2(2'=+⨯+⨯-==f k ， ...............3分 ∴)(x f 在))2(,2(f 处的切线方程为)2(912-=-x y ，即069=--y x 。

(5)
分
（Ⅱ）)1)(3(3)32(3963)(22'+--=---=++-=x x x x x x x f ……6分 又 ]2,2[-∈x ，)(x f ∴在)1,2(--单调递减，
在)2,1(-单调递增， ……8分
而a a f +=+-+=-218128)2(，a a f +=+++-=2218128)2(， ......10分 2022)2()(max =+==∴a f x f ，解得2-=a ， (11)
分
从而7931)1()(min -=+-+=-=a f x f 。

……12分 18．解：（Ⅰ）
455
1
=∑=i
i i z
t ，
2.23==z t ，，
55
5
1
2=∑=i i
t
，
⋅
3
分
4553 2.2ˆ 1.25559
b
-⨯⨯==-⨯，ˆ 2.23 1.2 1.4a z bt =-=-⨯=-，⋅5分
4.12.1-=∴t z ⋅
6分
（Ⅱ）2010,5t x z y =-=-，代入4.12.1-=t z 得到：
5 1.2(2010) 1.4y x -=--，即 1.22408.4y x =- ⋅
9分
（Ⅲ） 1.220202408.415.6y ∴=⨯-=，
∴ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ⋅
12
分
时间代号t
1 2 3 4 5 Z
1
2
3
5
19．（Ⅰ）由题意得列联表如下：
假设非高收入族与赞成楼市限购令没有关系
则635.6272.610
401832)311729(50))()()(()(2
22
<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=
d a c a d c b a bc ad n K ，……5分
∴不能在犯错误概率不超过01.0的前提下认为非高收入族赞成楼市限
购令。

……6分
（Ⅱ）由题意得随机变量ξ的所有取值为3,12,0
7528)0(210252824=⋅⋅==C C C C P ξ，225104
)1(2
10
251
812242814=⋅⋅⋅+⋅==C C C C C C C P ξ， 457)2(210251812142224=⋅⋅⋅+⋅==C C C C C C C P ξ，225
2
)3(210252
214=⋅⋅==C C C C P ξ，……10分 ∴随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
7528 225104 457 2252
∴225234572225104175280⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 5
4
=. ……12分
20．解：（Ⅰ） 111122S =-=， 21117
123412
S =-+-=；
111112T =
=+， 2117212212
T =+=++； ……4分 非高收入族
高收入族
总计 赞成 29 3 32 不赞成 11 7 18 总计
40
10
50
（Ⅱ）猜想：*()n n S T n N =∈ 即：
11111111
1
1.234
212123
2n n n n n n
-+-++
-=++++
-+++（*N n ∈） …5分 下面用数学归纳法证明 ① 1
=n 时
，
已
证
11T S = ……6分
② 假设k n =时，k k T S =（1≥k ，*N k ∈），即：
11111111
1
1.234
212123
2k k k k k k
-+-++
-=++++
-+++ ……7分 则1+=k n 时，111212(1)k k S S k k +=+
-++11
212(1)k T k k =+-
++ ……8分 111111
1232212(1)
k k k k k k =
++++
+-
+++++ ……9分1111123
2112(1)k k k k k ⎛⎫=
+++
+- ⎪+++++⎝⎭
……10分 11
111
(1)1(1)2
2212(1)
k k k k k =
++
+
++
++++++……11分 1k T +=
由①，②可知，对任意*N n ∈，
n
n T S =都成
立. ……12分
21．解：1
)
22
(221)(2'+--=-++=ax a a x ax a x ax a x f ………………………1分
（Ⅰ）由已知，得0)2
1
('
=f 且2202a a -≠，2,022==--∴a a a ……………2分
（Ⅱ）当02a <≤时，02)1)(2(21222≤+-=--a a a a a ，a
a 22
212-≥∴， 0)('≥∴x f ， ∴)(x f 在),2
1
[+∞上为增函数. ……………4分
当2>a 时，21222a a -<，)(x f 在),22(
2+∞-a a 上单增，在)22
,21(2a
a -上单减。

6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）(1,2)a ∈时，)(x f 在),2
1
[+∞上单增，
a a f x f -++==∴1)21
ln()1()(max ，
∴原问题等价于：对∀ (1,2)a ∈， 21
1
ln()1(1)022
a a m a ++-+->恒成立 (8)
分
令21
1()ln()1(1)(12)22
g a a a m a a =++-+-<<， /1()12[2(12)]11a g a ma ma m a a
=-+=--++ (9)
分
① 当0=m 时，
01)('<+-=a a
a g ； ②当0<m 时，0)('<a g ；
)(a g ∴在区间)2,1(上单调递减，0)1()(=<∴g a g ∴
当
≤m 时，不可能使
)(>a g 恒成
立， ……………………10分 ③ 当0>m 时， /21
()[(1)]12ma g a a a m
=
--+， 若
1
112m ->，
)(a g 在区间})121,2min{,1(-m 上单减， 有0)1()(=<g a g 与0)(>a g 恒成立矛盾，
若
1121
≤-m
，0)('>a g ，
)(a g ∴在区间)2,1(单调递增， 恒有0)1()(=>g a g ， 1
111,240
m m m ⎧-≤⎪
∴∴≥
⎨⎪>⎩， ∴
m
的取值范围是
1
[,)4
+∞ 。

……………………12分 22． (Ⅰ)证明：连接BE ,由题意知ABE ∆为直角三角形.
ABE ACB AEB ADC ABE ∆∴∠=∠=∠=∠,90 与ADC ∆相似， 则
AC
AE
AD AB =
, 即AE AD AC AB ⋅=⋅, 又BC AB = ,AE AD BC AC ⋅=⋅∴， ………5分 (Ⅱ)FC 是圆O 的切线，BF AF FC ⋅=∴2,
又6,84,2=-==∴==AF BF AB BF CF AF ,
FBC ACF ∠=∠ , 又AFC CFB ∠=∠, AFC ∆∴与CFB ∆相似，
∴
BC AC AC AF =, 3=⋅=∴CF
BC
AF AC . (10)
分
23．解： (Ⅰ)由θθρcos 4sin 2=，得θρθρcos 4)sin (2=， ………2分
所以曲线
C
的直角坐标系方程为
x y 42=。

………4分
（Ⅱ）由题意直线方程为1-=x y ，将直线方程代入曲线x y 42=，
得
0162=+-x x ， ………6分
设B A ,两点的坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，则
=
-+-=212212)()(||y y x x AB ||212x x -212214)(2x x x x -+=， (8)
分
又
6
21=+x x ，
121=x x ， ………9分 8322||=⨯=∴AB ，即||AB 的值为8. ………10分
24．解：（Ⅰ）|4||3|)(++-=x x x f ⎪⎩
⎪
⎨⎧--+=1271
2x x 4343-≤<<-≥x x x ， ………3分
而9)4(=f ，∴3≥x 时，912≥+x ，解得4≥x ，
4-≤x 时，912≥--x ，解得5-≤x ， ………5分
)4()(f x f ≥∴的解集为),4[]5,(+∞⋃--∞。

………6分
（Ⅱ） 函数m
x f x g +=
)(1
)(的定义域为R ，0)(≠+∴m x f 恒成立，
即0)(=+m x f 在R 上无解，又7)(≥x f ，
7->∴m 。

………10分。