2022-2023学年安徽省宿州市泗县中学九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2022-2023学年安徽省宿州市泗县中学九年级（上）第一次月考
数学试卷
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. x2−2=0
B. x(x−3)=x2
C. ax2+5x−4=0
D. 3x2=3(x2−1)+3
2.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( )
A. −3
B. 3
C. 0
D. 0或3
3.下列命题是真命题的是( )
A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
4.菱形的周长为20，一个内角为120°，则较短的对角线长为( )
A. 10
B. 5√3
C. 5
D. 5
2
5.下列方程中，没有实数根的是( )
A. x2+x+1=0
B. x2+2x+1=0
C. x2−2x−1=0
D. x2−x−2=0
6.已知x1，x2是一元二次方程x2−8x+3=0的两个根，则x1x2+x1+x2的值是( )
A. −1
B. 11
C. 1
D. −11
7.若关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
( )
A. k>−1
B. k<1且k≠0
C. k≥−1且k≠0
D. k>−1且k≠0
8.如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a//b，∠1=
55°，则∠2的度数为( )
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
9.如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，
BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，
则四边形BCDE的面积是( )
A. 2√3
B. 3√3
C. 4
D. 4√3
10.如图所示，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC与点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC 与点G，连接HC，则下列结论：①OH//BF；②∠CHF=45°；③GH=
1 4BC；④GH=1
2
CF，正确的个数有个．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
11.将方程3x(x−1)=5x+2化为一元二次方程的一般形式为______．
12.方程(2x−3)2=5(2x−3)的两根为x1=______，x2=______．
13.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是
AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
14.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标
为(3,4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，
点E的坐标为______．
15.解方程：x2−2x−4=0．
16.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为64元，求平均每次降价的百分率．
17.如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE=DF，连接CE、CF.求证：CE=CF．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿对角线AC折叠，点D落在D′处，求重叠部分△AFC的面积．
19.阅读下面的材料，解答后面的问题．
材料：解方程：x4−3x2+2=0．
解：设x2=y，则原方程可化为−y2−3y+2=0，即(y−1)(y−2)=0，得y1=1，y2=2．当y=1时，即x2=1，解得x=±1；当y=2时，即x2=2，解得x=±√2；综上所述，原方程的解为x1=1，x2=−1，x3=√2，x4=−√2．
上面这种方法称为“换元法”；换元法是数学学习中比较常用的一种思想方法，能使复杂的问题简单化．根据以上材料内容，采用类似的方法解方程(x2−3x)2−(x2−3x)−12=0．20.如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明；
(2)当点O运动到AC上的什么位置时，四边形AECF是矩形，请说明理由；
(3)在(2)的基础上，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？为什么？
21.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x
元，据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
(3)商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．22.已知关于x的一元二次方程x2−mx+m−1=0．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根．
(2)若平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是已知方程的两个实数根．
①若平行四边形ABCD是矩形，且m=5时．求矩形的面积？
②当m取何值时？平行四边形ABCD是菱形，并求菱形边长？
23.正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD上一点，CE=DF，BE，CF交于点G，O为BD的中点．
(1)求证：△BCE≌△CFD；
(2)求证：BE⊥CF；
(3)求证：BG−CG=√2OG．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.x2−2=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
B.方程整理可得3x=0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C.当a=0时，ax2+5x−4=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.3x2=3(x2−1)+3整理后不合未知数，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，
∴4+2m+2=0，
∴m=−3.故选A．
直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．
此题比较简单，利用方程的解的定义即可确定待定系数．
3.【答案】D
【解析】解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意；
故选：D．
利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大．
4.【答案】C
【解析】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，周长为20，∠BAD=120°，
∴AB=BC=5，∠BAC=1
∠BAD=60°，
2
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=5，
即较短的对角线长为5，
故选：C．
∠BAD=60°，再证△ABC为等边三角形，得AC=AB=5由菱形的性质得AB=BC=5，∠BAC=1
2
即可．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证得△ABC为等边三角形是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：选项A中，∵a=1，b=1，c=1
∴Δ=b2−4ac=12−4×1×1=−3<0
∴方程没有实数根
其他选项均有实数根，
故选：A．
一元二次方程中，没有实数根即根的判别式Δ=b2−4ac<0．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
6.【答案】B
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=8，x1x2=3，
所以x1x2+x1+x2=3+8=11．
故选：B．
先利用根与系数的关系得x1+x2=8，x1x2=3，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+ x2=−b
，x1x2=c a．
a
7.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0，即可求出k的范围．
【解答】
解：∵一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=4+4k>0，且k≠0，
解得：k>−1且k≠0．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长AB交直线b于点E，
∵a//b，
∴∠AEC=∠1=55°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠2=∠AEC=55°，
故选：C．
延长AB交直线b于点E，利用平行的性质可求出∠AEC的度数，再利用矩形的性质即可求出∠2的度数．
本题考查的是矩形的性质、平行线的性质，掌握矩形的四个内角都是90°是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF//BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC=√42−22=2√3．
∴BE=CD=√3．
∴四边形BCDE的面积为：2×√3=2√3．
故选：A．
因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF//BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=CB，
而FC=CE，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)，
∴∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，
∵BE平分∠DBC，
∴BH平分DF，即HD=HF，
而点O为正方形ABCD的中心，即OD=OB，
∴OH为△DBF的中位线，
∴OH//BF，则①正确；
∵CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，
∴HD=HF=HC，
∴∠CDH=∠DCH，
而∠CBE=∠CDF=1
2
∠DBC=22.5°，
∴∠CHF=∠CDF+∠DCH=2×22.5°=45°，则②正确；∵GH//CF，HD=HF，
∴DG=GC=1
2DC=1
2
BC，
在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，
tan∠GDH=tan22.5°=GH
DG ≠1
2
，
∴GH≠1
2
DG，
∴GH≠1
4
BC，则③不正确；
由①可知OH为△DBF的中位线，即OH为△DCF的中位线，
∴GH=1
2
CF，则④正确．
故选：C．
由正方形的性质易证Rt△BCE≌Rt△DCF，则∠CBE=∠CDF，利用三角形内角和定理可得到
∠EHD=∠BCE=90°，而BE平分∠DBC，根据等腰三角形的性质得到BH平分DF，即HD=HF，易得OH为△DBF的中位线，根据三角形中位线的性质得OH//BF，则①正确；CH点为Rt△DCF斜边DF上的中线，得到HD=HF=HC，则∠CDH=∠DCH，可得到∠CHF=∠CDF+∠DCH=
2×22.5°=45°，②正确；在Rt△DGH中，∠GDH=22.5°，tan∠GDH=tan22.5°=GH
DG ≠1
2
，易
证得GH≠1
4
BC，则③不正确；根据三角形中位线定理，即可得到④正确．
本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组角对应相等的三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了三角形全等的判定与性质、正方形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形中位线性质．
11.【答案】3x2−8x−2=0
【解析】解：去括号，得
3x2−3x=5x+2．
移项、合并同类项，得
3x2−8x−2=0．
故答案为：3x2−8x−2=0．
根据去括号、移项、合并同类项，可得方程的一般形式．
本题考查了一元二次方程的一般形式，利用了去括号、移项、合并同类项，移项要变号．
12.【答案】3
4
2
【解析】解：(2x−3)2=5(2x−3)
∴(2x−3)2−5(2x−3)=0
∴(2x−3)(2x−3−5)=0
∴2x−3=0，2x−3−5=0
∴x1=3
，x2=4．
2
解此一元二次方程要有整体思想，把(2x−3)看做一个整体，用因式分解法(提取公因式2x−3)即可求得．
此题考查了数学中的整体思想，提高了学生的计算能力，解题的关键是把(2x−3)看做一个整体．13.【答案】2.5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：BD=AC=√62+82=10(cm)，
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
OD=2.5cm，
∴EF=1
2
故答案为：2.5．
根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．
本题考查了勾股定理，矩形性质，三角形中位线的应用，关键是求出OD长．
14.【答案】(3,4
)
3
【解析】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的
交点为E，此时△CDE的周长最小．
,0)，A(3,0)，
∵D(3
2
,0)，
∴H(9
2
∴直线CH解析式为y=−8
x+4，
9
∴x=3时，y=4
，
3
∴点E坐标(3,4
)，
3
).
故答案为：(3,4
3
如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．
本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称−最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：由原方程移项，得
x2−2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2−2x+1=5，
配方，得
(x−1)2=5，
∴x=1±√5，
∴x1=1+√5，x2=1−√5．
【解析】在本题中，把常数项−4移项后，在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方，即可计算得到答案．
本题考查了一元二次方程的解法--配方法．
16.【答案】解：设平均每次降价的百分率是x，
依题意得：100(1−x)2=64，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)．
答：平均每次降价的百分率是20%．
【解析】设平均每次降价的百分率是x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−平均每次降价的百分率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠CBE=∠CDF，
在△CDF和△CBE中，
{CD=CB
∠CDF=∠CBE DF=BE
，
∴△CDF≌△CBE(SAS)，
∴CE=CF．
【解析】由四边形ABCD是菱形，得出BC=CD，∠ABC=∠ADC，根据等角的补角相等得出∠CBE=∠CDF，从而△CDF≌△CBE(SAS)即可．
本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定与性质，证出∠CBE=∠CDF是解题的关键．
18.【答案】解：设AF=x，依题意可知，矩形沿对角线AC对折后有：
∠D′=∠B=90°，∠AFD′=∠CFB，BC=AD′
∴△AD′F≌△CBF
∴CF=AF=x
∴BF=8−x
在Rt△BCF中有BC2+BF2=FC2
即42+(8−x)2=x2解得x=5．
∴S△AFC=1
2AF⋅BC=1
2
×5×4=10．
【解析】矩形翻折后易知AF=FC，利用直角三角形BFC，用勾股定理求出CF长，也就是AF长，
S△AFC=1
2
AF⋅BC．
翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段．
19.【答案】解：(x2−3x)2−(x2−3x)−12=0，
设x2−3x=y，则原方程可化为y2−y−12=0，
即(y−4)(y+3)=0，
解得：y1=4，y2=−3，
当y=4时，即x2−3x=4，解得x=4或−1；
当y=−3时，即x2−3x=−3，
x2−3x+3=0，
Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×3=−3<0，
所以此方程无解，
综上所述，原方程的解为x1=4，x2=−1．
【解析】设x2−3x=y，则原方程可化为y2−y−12=0，求出y，再把y的值代入x2−3x=y求出x即可．
本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
20.【答案】解：(1)OE=OF，理由如下：
∵MN//BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又EO=FO，
∴四边形AECF为平行四边形，
又CE为∠ACB的平分线，CF为∠ACD的平分线，
∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，
∴∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF=2(∠ACE+∠ACF)=180°，
即∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形；
(3)解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：
∵由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN//BC，
当∠ACB=90°，则∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【解析】(1)由平行线的性质和角平分线定义得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根据“等角对等边”得出OE=OC，OF=OC，即可得出结论；
(2)由(1)得出的OE=OC=OF，点O运动到AC的中点时，则由OE=OC=OF=OA，证出四边形AECF是平行四边形，再证出∠ECF=90°即可；
(3)由已知和(2)得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，得出四边形AECF是正方形．
此题是四边形综合题目，考查了正方形和矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识；本题综合性强，属于探究条件型题．
21.【答案】2x(50−x)
【解析】解：(1)当每件商品降价x元时，每件商品盈利(50−x)元，日销售量增加2x件．
故答案为：2x；(50−x)．
(2)依题意得：(50−x)(30+2x)=2100，
整理得：x2−35x+300=0，
解得：x1=15，x2=20，
又∵商场要尽快减少库存，
∴x=20．
答：每件商品应降价20元．
(3)商场日盈利不能达到2300元，理由如下：
依题意得：(50−x)(30+2x)=2300，
整理得：x2−35x+400=0．
∵Δ=(−35)2−4×1×400=−375<0，
∴该方程没有实数根，
即商场日盈利不能达到2300元．
(1)利用降价后每件商品的盈利=降价前每件商品的盈利−每件商品降低的价钱，可用含x的代数式表示出降价后每件商品的盈利；利用日销量增加的数量=2×每件商品降低的价钱，可用含x的代数式表示出日销售增加的数量；
(2)利用总利润=每件商品的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合商场要尽快减少库存，即可得出每件商品应降价20元；
(3)商场日盈利不能达到2300元，利用总利润=每件商品的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=−375<0，即可得出该方程没有实数根，即商场日盈利不能达到2300元．
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
22.【答案】(1)证明：∵△=m2−4(m−1)
=m2−4m+4
=(m−2)2≥0，
∴无论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)解：①当m=5时，x2−5x+4=0，解得x1=1，x2=4，
即AB、AD的长为1、4，
∴矩形的面积=1×4=4；
②∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即(m−2)2=0，解得m=2，
方程化为x2−2x+1=0，解得x1=x2=1，
∴菱形的边长为1．
【解析】(1)计算判别式的值，然后利用非负数的性质得到△≥0，从而得到结论；
(2)①先解方程得到AB、AD的长，然后计算矩形的面积；
②根据菱形的性质得到AB=AD，则△=0，从而得到m=2，然后解方程可确定菱形的边长．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，则x1+ x2=b
a
，x1x2=c a.也考查了根的判别式和菱形的性质．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，
在△BCE和△CDF中，
{BC=CD
∠BCD=∠CDF CE=DF
，
∴△BCE≌△CDF(SAS)，
(2)证明：∵△BCE≌△CDF，
∴∠CBE=∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BGC=90°，即BE⊥CF；
(3)证明：如图，连接OC，过O作OH⊥OG，交BE于H，∵O为BD的中点，即O为正方形的对称中心，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BOC=∠BGC=90°，
∴B、O、G、C四点共圆，
∴∠OGB=∠OCB=45°，
∴△OGH是等腰直角三角形，
∴HG=√2OG，HO=GO，
∵∠BOC=∠GOH=90°，∴∠BOH=∠COG，
在△BOH和△COG中，
{BO=CO
∠BOH=∠COG HO=GO
，
∴△BOH≌△COG(SAS)，
∴BH=CG，
又∵BG−BH=HG，
∴BG−CG=√2OG．
【解析】(1)根据四边形ABCD是正方形，判定△BCE≌△CDF(SAS)；
(2)根据全等三角形的性质可得∠CBE=∠DCF，再根据∠BCG+∠DCF=90°，得出∠BCG+
∠CBE=90°，进而得到∠BGC=90°，即BE⊥CF；
(3)连接OC，过O作OH⊥OG，交BE于H，根据∠BOC=∠BGC=90°，可得B、O、G、C四点共圆，进而得到∠OGB=∠OCB=45°，即△OGH是等腰直角三角形，进而得出HG=√2OG，再判定△BOH≌△COG(SAS)，得出BH=CG，最后根据BG−BH=HG，即可得到BG−CG=√2OG．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形以及全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行求解．。