第3节 抽样定理

那么这些离散的数字表示的物理量的含义或者说包 含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？ 含的信息量与原先的连续变化的物理量是否相同？换句话 是否可以由这些抽样值恢复一个连续的原函数？ 说，是否可以由这些抽样值恢复一个连续的原函数？就是 一个必须回答的问题。 一个必须回答的问题。 研究信息论的先驱惠特克-香农指出，对于带限函数， 研究信息论的先驱惠特克 香农指出，对于带限函数， 香农指出 答案是肯定的。它涉及的数学基础是惠特克-香农发表 答案是肯定的。它涉及的数学基础是惠特克 香农发表 的用插值理论展开函数的方法。 的用插值理论展开函数的方法。这一节讨论的就是惠特 香农抽样定理的二维形式。 克-香农抽样定理的二维形式。 香农抽样定理的二维形式
∞ ∞ n=−∞ m=−∞ ∞
∑δ ( x − nX , y − my)g(x, y) ∑δ ( x − nX , y − my)g(nX , mY)
以上是空域的情况.
∞
n=−∞ m=−∞
物理意思是:任何函数与δ函数相乘的结果仍是δ函数 看频域: 函数频谱
x y Gs ( f x , f y ) = ℑcomb comb ∗G( f x , f y ) X Y
∑ δ ( x − nX, y − mY )g(nX, mY) ∗4B B sinc(2B x)sinc(2B y)
x y x y ∞ n=−∞ m=−∞
∞
= 4Bx By XY ∑
∑
∞
g(nX, mY)sinc[ 2Bx (x − nX )] sinc 2By ( y − mY)
(插值公式一)
g(x)
G(fx)
⇔
x
× … 空 域 ||
0 comb(x/X)
﹡
-BX 0 BX Xcomb(Xfx)
fx
…
-2x -x 0 x 2x gs(x) x
⇔ ⇔
…
-1/x 0 1/x
…
fx
||
Gs(fx) fx
频 域
﹡
||
-2x -x 0 x 2x 2Bx 2Bxsinc(2Bxx)
x
-1/x
-BX 0 B1/x X rect(fx/2Bx)
n=−∞ m=−∞ ∞ ∞
∑ ∑ δ ( x − nX , y − mY )g(x, y) ∑ ∑ δ ( x − nX , y − mY )g(nX , mY)
fx fx H ( f x , f y ) = rect ( ) rect ( ) 2Bx 2By
∞
∞
n=−∞ m=−∞
滤波函数:
从 频 域 看
2.3. 抽样定理
实际的宏观物理过程都是连续变化的,物理量的空间 实际的宏观物理过程都是连续变化的 物理量的空间 分部也是连续变化的。在对随时间或空间变化的物理量进 分部也是连续变化的。 行检测、记录、存储、处理和传送时， 行检测、记录、存储、处理和传送时，常常并不能够用连 续方式进行。 续方式进行。 在今天的数字时代， 在今天的数字时代，以往用模拟方式连续进行的信息 检测、记录、存储、处理和传送也被数字方式取代。连续 检测、记录、存储、处理和传送也被数字方式取代。 变化的物理量要用它的一些离散分布的抽样值来表示， 变化的物理量要用它的一些离散分布的抽样值来表示，而 且这些抽样值的表达方式也是离散的。 且这些抽样值的表达方式也是离散的。 例如，现今广泛使用的 例如，现今广泛使用的CCD摄像机记录连续变化的图 摄像机记录连续变化的图 像时，每秒种只记录30幅图像 幅图像， 像时，每秒种只记录 幅图像，表达每幅图像所用的抽样 点数由CCD的像素数所限制。 的像素数所限制。 点数由 的像素数所限制
1 1 ≥ 2Bx并 且 ≥ 2By X Y
X是空间域的量，它的倒数1/X为频 域量，Bx，By为频域量.
x y gs (x, y) = comb comb g(x, y) X Y ∞ x ∞ y = ∑δ − n ∑ δ − mg(x, y) m=−∞ Y X n=−∞ ∞ 1 ∞ 1 ( x − Xn) ∑ δ ( y −Ym)g(x, y) = ∑δ X m=−∞ Y n=−∞ = XY ∑ = XY ∑
式中二维梳状函数comb(x/X)comb(y/Y): comb(x) = ∑δ (x − n) −∞ 梳状函数是 δ 函数的集合，它与任何函数的乘积就是无理数分布在 x-y平面上在x、y两方向上间距为X和Y的△ 函数与该函数的乘积。 任何函数与△ 函数相乘的结果仍然是△函数，只是△函数的“大小” 被该函数在△ 函数位置上的函数值所调制。利用卷积定理和梳状函 数的付里叶变换，可计算抽样函数的频谱如下：
G( f x , f y ) = Gs ( f x , f y ) ⋅ H( f x , f y ) =
n=−∞ ∞ ∞
∞
∞
∑
n m fx fx ∑ G fx − X , f y − Y ⋅ rect( 2B )rect( 2B ) m=−∞ x y
原函数复原
g(x, y) = ℑ { ( f x , f y )} G
1 1 若 最 允 的 样 隔 取 大 许 抽 间 ,即 = X ,并 Y = 且 ,则 2Bx 2By
g(x, y) = ∑
∞
n=−∞ m=−∞
∑
∞
n m n m , )sinc 2Bx (x − ) sinc 2By ( y − ) g( 2Bx 2By 2Bx 2By
或者说x 2By
y
G(fxfy) G(fxfy) fy
0
y x
x
fx
fy 0 1/y 1/x fx
原函数频谱
抽样函数
抽样函数频谱
这时就可以用滤波的方法，从抽样函数的频谱Gs (fx,fy)抽取出 原函数的频谱G(fx,fy)，再由G(fx,fy)恢复原函数.
1 1 最大抽样间隔 , 称奈奎斯特(Nyquist)抽样间隔。 2 By 2 Bx
2.3.2 原函数的复原
原函数的复原首先要恢复其频谱。在满足抽样间隔的 情况下，只要用宽度分别为2Bx和2By的位于原点的矩形函 数去乘抽样函数的频谱Gs(fx，fy)，就可得到原来函数的频谱。 在频域中进行的这种操作去掉了部分频谱成分，常常称做 “滤波”。进而对原函数频谱做付里叶逆变换，就可得到原 函数。按照这个思路，来计算用抽样函数值表示的原函数。 用频域中宽度为2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波 函数
2.3.1 函数的抽样 函数的抽样 首先建立对连续变化的物理量进行抽样的数学 模型。 模型。最简单的抽样方法是用二维梳状函数与被抽 样的函数相乘。如果被抽样函数为g (x,y)， 样的函数相乘。如果被抽样函数为g (x,y)，抽样 函数g (x,y)可表示为 函数gs(x,y)可表示为
x y gs (x, y) = comb comb g(x, y) X Y
∞
fx fx h ( x , y ) = ℑ rect ( ) rect ( ) 2 Bx 2By = 4 B x B y sinc (2 B x x ) sinc (2 B y y )
−1
于是: 可以得到插值公式: g(x, y) = XY ∑
∞ n=−∞ m=−∞
(插值公式二)
至此，用抽样函数值表示的原函数计算出来了。有趣的是在这 个表达式中出现了sinc函数，对初学者有些意外，这是因为选取矩 形函数为滤波函数造成的，另外的滤波函数会产其他插值函数。 抽样定理公式就是由抽样点函数值计算在抽样点之间所不知 道的非抽样点函数值，在数学上就是插值公式。抽样定理的重要 意义在于它表明，准确的插值总是存在的。也就是说，由插值准 确恢复原函数可以在一定条件下实现。一个连续的限带函数可以 由其离散的抽样系列代替，而不丢失任何信息。下图用一维函数 的有关图像表明了抽样函数和还原的过程及其在频域中发生的相 应变化。
∞
这一结果说明空域上对函数g的抽样导致函数频谱G周期性 n m 复现在谱面上以 X , Y 点为中心的位置上。 若函数g(x,y)是限带函数，即它的频谱仅在谱面上一个有限的 区域内不为零，若包围该区域的最小矩形在fx和fy方向上的宽度分别 为2Bx和2By ,则欲使Gs(fx,fy)中周期复现的函数不会相互混叠，必须 使:
∞
y x Gs ( f x , f y ) = ℑcomb comb ∗G( f x , f y ) Y X = XYcomb( Xfx )comb(Yf y ) ∗G( f x , f y ) = =
n=−∞
∑ ∑
∞
∞
n=−∞
n m ∑ δ fx − X , f y − Y ∗G( fx , f y ) m=−∞ ∞ n m ∑ G fx − X , f y − Y m=−∞
−1
根据卷积定理，在空域中得到
gs (x, y) ∗h(x, y) = g(x, y)
式中
x ∞ y gs (x, y) = ∑ δ − n ∑ δ − mg(x, y) m=−∞ Y n=−∞ X = XY ∑
∞ n=−∞ m=−∞ ∞
∑ g(nX, mY)δ ( x − nX, y − My)
∞
二维梳状函数comb(x/X)comb(y/Y) 与g(x,y)相乘就是无理数分布 在x-y平面上在x、y两方向上间距为X和Y的δ 函数与该函数的乘积。 任何函数与 函数相乘的结果仍然是 函数，只是 函数的“大小” δ δ δ 被该函数在 函数位置上的函数值所调制。利用卷积定理和梳状函 δ 数的付里叶变换，可计算抽样函数的频谱如下：
×
x
-1/2Bx
0
1/2Bx
⇔
||
-BX 0 BX
fx
∞ n n g ( x) = ∑ g 2 B sinc 2 Bx x − 2b −∞ x x
G (fx)
⇔
x -BX 0 BX fx
严格来说，频带有限的函数在物理上并不 存在。任何在空域上分布在有限范围内的信号 （函数）的频谱在频域的公布都是无限的。但 是这些函数的频谱随着频率提高，到一定程度 后会大大减小。实际应用时，可以把它们近似 看做限带函数，而忽略高频分量引起的误差。
fx fx H ( f x , f y ) = rect ( )rect ( ) 2 Bx 2 By
抽样函数gs(x,y)
被抽样函数g (x,y)
x y gs (x, y) = com b com g(x, y) b X Y ∞ x ∞ y = ∑δ − n ∑ δ − mg(x, y) X m=−∞ Y n=−∞ ∞ 1 ∞ 1 = ∑δ x − Xn) ∑ δ ( y −Ym) g(x, y) ( X m=−∞ Y n=−∞ = XY = XY
x y Gs ( f x , f y ) = ℑcomb comb ∗G( f x , f y ) X Y comb( Xfx )comb(Y y ) ∗G( f x , f y ) f = XY = =
n=−∞
∑ ∑
∞
∞
n=−∞
n m ∑ δ fx − X , f y − Y ∗G( fx , f y ) m=−∞ ∞ n m ∑ G fx − X , f y − Y m=−∞
x y Gs ( f x , f y ) = ℑcomb comb ∗G( f x , f y ) X Y comb( Xfx )comb(Y y ) ∗G( f x , f y ) f = XY n m = ∑ ∑ δ f x − , f y − ∗G( f x , f y ) X Y n=−∞ m=−∞ ∞ ∞ n m = ∑ ∑ G f x − , f y − X Y n=−∞ m=−∞ fx fx H ( f x , f y ) = rect ( ) rect ( ) 2 Bx 2By 滤波过程可写作