苏教版高中数学选修2-11.3 全称量词与存在量词.docx

1.3全称量词与存在量词
1.3.1量词
1.3.2含有一个量词的命题的否定
双基达标(限时15分钟)
1．下列命题．
①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．
其中是全称命题的有________个．
解析②③都是全称命题，含有全称量词“任意”．
答案 2
2．下列全称命题中假命题的个数是______．
①2x＋1是整数(x∈R)②对所有的x∈R，x>3③对任意一个x∈Z，2x2＋1为奇数
解析①错，当x＝2时，22＋1不是整数；②中x＝0不成立．③为真命题．
答案 2
3．下列全称命题中真命题的个数为________．
①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③
正四面体中两侧面的夹角相等．
解析①为真命题；②由角平分线的性质知是真命题；③是真命题．
答案 3
4．给出以下命题：①∀x∈R，有x4>x2；②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③∃a∈R，对∀x∈R使x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为______．
解析①对x＝0不成立；②当α＝0时成立；③不存在a∈R，对∀x∈R有x2＋2x＋a<0.
答案 1
5．命题“存在x∈R使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________________________．解析该命题的否定是“对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0”．
答案对任何x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
6．用量词符号“∀”、“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1<0；
(2)对所有有理数x都能使x2＋1是有理数；
(3)一定有实数α，β使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(4)存在实数a，b，使关于x的方程ax＋b＝0恰有一解．
解(1)∀x∈R，x2＋x＋1<0；假命题．
(2)∀x∈Q，x2＋1∈Q；真命题．
(3)∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；真命题．
(4)∃a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有一解；真命题．
综合提高(限时30分钟)
7．命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定为________．
解析x≤1或x2>4的否定为x>1且x2≤4.
答案∀x∈R，x>1且x2≤4
8．给出下列四个命题：
①有理数是实数；
②有些平行四边形不是菱形；
③∀x∈R，x2－2x>0；
④有一个素数含有三个正因数．
以上命题的否定为真命题的序号依次是________．
解析①②都是真命题，其否定为假命题．
③④是假命题，其否定为真命题．
答案③④
9．已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是____________．
解析 由题知，p ：a ≤1，q ：a ≤－2或a ≥1，∵p 且q 为真命题，∴p 、q 均为真命题， ∴a ≤－2或a ＝1.
答案 {a |a ≤－2或a ＝1}
10．设命题p ：c 2<c 和命题q ：对∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，若p 和q 有且仅有一个成立，则
实数c 的取值范围是__________．
解析 p ：0<c <1；q ：由Δ<0知－12<c <12
. ∴若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c <1，c ≥12或c ≤－12，
得12≤c <1. 若p 假q 真，则⎩
⎪⎨⎪⎧c ≤0或c ≥1，－12<c <12，得－12<c ≤0. 综上：12≤c <1或－12
<c ≤0. 答案 －12<c ≤0或12
≤c <1 11．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)∀∈α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)∃x ，y ∈Z ，3x －4y ＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的对数都是正数．
解 (1)假命题，否定为：∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
(2)真命题，否定为：∀x ，y ∈Z ，3x －4y ≠20；
(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；
(4)假命题，否定为：存在一个正数，它的对数不是正数．
12．已知綈p ：∃x ∈R ，sin x ＋cos x ≤m 为真命题，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题，求
实数m 的取值范围．
解 由綈p 为真，即p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题，
由sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4
)∈[－2，2]， 又sin x ＋cos x >m 不恒成立，∴m ≥－ 2.
又对∀x ∈R ，q 为真，即不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，
∴Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，
故m 的取值范围是－2≤m <2.
13．(创新拓展)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，0)，是否存在常数a 、b 、c 使不等式
x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切实数x 恒成立？ 解 假设存在常数a 、b 、c 使题设命题成立．
∵f (x )的图象过点(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0.
又x ≤f (x )≤1＋x 22
对一切x ∈R 恒成立， ∴当x ＝1时，也成立，即1≤a ＋b ＋c ≤1，故a ＋b ＋c ＝1.
∴b ＝12，c ＝12
－a . ∴f (x )＝ax 2＋12x ＋12
－a . 故有x ≤ax 2＋12x ＋12－a ≤1＋x 22
时，x ∈R 成立． 即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－12x ＋12－a ≥0，（1－2a ）x 2－x ＋2a ≥0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ1≤0，Δ2
≤0，a >0，1－2a >0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧14－4a （12－a ）≤0，1－8a （1－2a ）≤0，0<a <12.
∴a ＝14，c ＝14，从而f (x )＝14x 2＋12x ＋14
. ∴存在一组常数a 、b 、c 使得不等式x ≤f (x )≤1＋x 22对于x ∈R 恒成立．。