八年级数学下册第一章三角形的证明11等腰三角形教案3北师大版

《等腰三角形》
等腰三角形是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》八年级下册第一章第一节内容，本章主要是有关命题的证明及三角形的性质；本节要求理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

所以本节的重点是①等边三角形判定定理的发现与证明，②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。

本节课，学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。

但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。

为此，确定本节课的教学目标：
【知识与能力目标】 理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，
并能利用这两个定理解决一些简单的问题。

【过程与方法目标】
①经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． ②经历实际操作，探索含有30º角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；
③在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力。

【情感态度价值观目标】
①积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．
②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重点】
①等边三角形判定定理的发现与证明.
②含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明.
【教学难点】
①含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明.
②引导学生全面、周到地思考问题.
教师准备
课件、多媒体；
学生准备；
练习本；
第一环节：提问问题，引入新课
活动内容：教师回顾前面等腰三角形的性质和判定定理的基础上，直接提出问题：等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等腰三角形呢？从而引入新课。

活动目的：开门见山，引入新课，同时回顾，也为后续探索提供了铺垫。

活动效果：在老师的引导下，一般学生都能得出等边三角形的性质；对于等边三角形的判别，学生可能会出现多种情况，如直接从等边三角形性质出发，当然也可能有学生考虑分步进行，现确定它是等腰三角形，再增补条件，确定它是等边三角形。

这是教师可以适时提出问题：如果已知一个三角形是等边三角形的基础上，如何确定它是等边三角形呢？
下面是实际教学中的部分师生活动实况：
[生]等腰三角形已经有两边分别相等，所以我认为只要腰和底相等，等腰三角形就成了等边三角形．
[生]等边三角形的三个内角都相等，且分别都等于60°．我认为等腰三角形的三个内角都等于60°，等腰三角形就是等边三角形了．
(此时，部分同学同意此生的看法，部分同学不同意此生的看法，引起激烈地争论．教师可让同学代表充分发表自己的看法．)
[生]我不同意这位同学的看法．因为任何一个三角形满足这个条件都是等边三角形．根据等角对等边，三个内角都是60°，所以它们所对的边一定相等．但这一问题中“已知是等腰三角形，满足什么条件时便是等边三角形”，我觉得他给的条件太多，浪费!
[师]给三个角都是60°，这个条件的确有点浪费，那么给什么条件不浪费呢?下面同学们可在小组内交流自己的看法．
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．
(教师应给学生自主探索、思考的时间)
第二环节：自主探索
活动内容：学生自主探究等腰三角形成为等边三角形的条件，并交流汇报各自的结论，教师适时要求学生给出相对规范的证明，概括出等边三角形的判别条件，并引导学生总结出下表：
活动目的：经历定理的探究过程，即明确有关定理，同时提高学生的自主探究能力。

活动注意事项与效果：由于有了第1环节的铺垫，学生多能探究出：
顶角是60°的等腰三角形是等边三角形；
底角是60°的等腰三角形是等边三角形；
三个角都相等的三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形。

对于前两个定理的形式相近，教师可以进一步提出要求：能否用更简捷的语言描述这个结论吗?从而引导学生得出：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

在学生得出这些结论的基础上，教师注意引导学生说明道理，给出证明的思路，选择部分命题，给与严格的证明，由于“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的证明需要分类讨论，因此，可以以此问题作为对学生证明的要求，并与同伴交流证明思路．并要求学生思考证明中的注意事项，从而点明其中的分类思想，提请学生注意：思考问题要全面、周到．
第三环节：实际操作 提出问题
活动内容：教师直接提出问题：我们还学习过直角三角形，今天我们研究一个特殊的直角三角形：含30°角的直角三角形。

拿出三角板，做一做：
用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?
在你所拼得的等边三角形中，有哪些线段存在相等关系，有哪些线段存在倍数关系，你能得到什么结论？说说你的理由．
活动目的：让学生经历拼摆三角尺
的活动，发现结论：在直角三角形中，
如果一个锐角等于30°，那么它所对的
直角边等于斜边的一半．
活动注意事项与效果：学生一般可
以得出下面两种图形：其中第1个图形
是等边三角形，对于该图学生也可以得出BD=12
AB ，从而得出：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
注意，教学过程中，教师应注意引导学生说明为什么所得到的三角形是等边三角形。

具体的说明过程
可以如下：
方法1：因为△ABD≌ACD，所以AB=AC ．又因为Rt△ABD 中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
方法2：图(1)中，∠B=∠C=60，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC 是等边三角形．
如果学生不能很快得出30度所对直角边是斜边一半，教师可以在图上标出各个字母，并要求学生思考其中哪些线段直接存在倍数关系，并在将三角板分开，思考从中可以得到什么结论。

然后在学生得到该结论的基础上，再证明该定理。

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=12
AB ． 分析：从三角尺的拼摆过程中得到启发，延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD ．
证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°∠B=60°.
延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图所示)．
∵∠ACB=90°∴∠ACB=90°
∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)．
∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三
角形)．
∴BC=12 BD=12
AB ． 第四环节：变式训练 巩固新知
活动1：直接提请学生思考刚才命题的逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°吗?如果是，请你证明它．
在师生分析的基础上，给出证明：
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=12 AB ． 求证：∠BAC=30°
证明：延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=12
BD ． 又∵BC=12
AB ，∴AB=BD． ∴AB=AD=BD，
即△ABD 是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC 中，∠BAC=30°．
注意事项：该命题的证明中辅助线较复杂，但恰有前面原命题探究活动过程的铺垫，可以给学生一些启示，因此，教学中，教师可以引导学生思考：从前面定理证明的辅助线的作法中能否得到启示？
活动2 ：呈现例题，在师生分析的基础上，运用所学的新定理解答例题。

[例题]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a ，求腰上的高CD 的长.
分析：观察图形可以发现在Rt△ADC 中，AC=2a
而∠DAC 是△ABC 的一个外角，而
∠DAC=×15°=30°，根据在直角三角形中，30°
角所对的直角边是斜边的一半，可求出CD ．
解：∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30°
∴CD=12 AC=12
×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)．
活动目的：在例题求解中巩固新知。

第五环节：畅谈收获 课时小结
让学生对课堂学习进行小结，注意总结具体的知识、结论，以及解决问题的方法和蕴含其中的思想，如分类讨论思想、逆向思维等。

第六环节：布置作业
略。

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若分式211
x x -+的值为零，那么x 的值为( ) A ．1x =-或1x =
B ．0x =
C ．1x =
D ．1x =-
【答案】C
【分析】根据分式的值为0的条件分子为0，分母不能为0，得到关于x 的方程以及不等式，求解即可得出答案． 【详解】分式2x 1x 1
-+的值为零， 2x 10∴-=，x 10+≠，
解得：x 1=，
故选C ．
【点睛】
本题考查了分式值为0的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键.
2．如图，在ABC ∆中，40A ∠=︒，点D 是ABC ∠和ACB ∠角平分线的交点，则BDC ∠等于（ ）
A ．80
B ．100
C ．110
D ．120
【答案】C 【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义，得到70DBC DCB ∠+∠=︒，然后得到答案.
【详解】解：∵在ABC ∆中，40A ∠=︒，
∴18040140ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵BD 平分∠ABC ，DC 平分∠ACB ， ∴11=,22
DBC ABC DCB ACB ∠∠∠=∠， ∴1()702DBC DCB ABC ACB ∠+∠=
⨯∠+∠=︒， ∴18070110BDC =︒-︒=︒∠；
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握所学的定理和定义进行解题，正确得到70DBC DCB ∠+∠=︒.
3．如图，在ABC ∆中，D E ，分别是边BC AC ，上的点，若EAB ∆≌EDB ∆≌EDC ∆，则C ∠的度数为( )
A ．15
B ．20
C ．25
D ．30
【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质求得∠BDE=∠CDE=90°，∠AEB=∠BED=∠CED=60°，即可得到答案.
【详解】∵EDB ∆≌EDC ∆,
∴∠BDE=∠CDE ，
∵∠BDE+∠CDE=180°，
∴∠BDE=∠CDE=90°，
∵EAB ∆≌EDB ∆≌EDC ∆，
∴∠AEB=∠BED=∠CED ，
∵∠AEB+∠BED+∠CED=180°，
∴∠AEB=∠BED=∠CED=60°，
∴∠C=90°-∠CED=30°，
故选：D .
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，以及平角的性质.
4．一列动车从A 地开往B 地，一列普通列车从B 地开往A 地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x （小时），两车之间的距离为y （千米），如图中的折线表示y 与x 之间的函数关系．下列叙述错误的是（ ）
A ．A
B 两地相距1000千米
B ．两车出发后3小时相遇
C ．动车的速度为10003
D ．普通列车行驶t 小时后，动车到达终点B 地，此时普通列车还需行驶
20003千米到达A 地 【答案】C
【解析】可以用物理的思维来解决这道题.
【详解】未出发时，x=0，y=1000，所以两地相距1000千米，所以A 选项正确；y=0时两车相遇，x=3，
所以B 选项正确；设动车速度为V 1，普车速度为V 2，则3（V 1+ V 2）=1000，所以C 选项错误；D 选项正确.
【点睛】
理解转折点的含义是解决这一类题的关键.
5．已知三角形的三边长为,,a b c
()28100b c -+-=，则ABC 是（ ）
A ．等边三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形
【答案】C
【分析】根据非负数之和等于0，则每一个非负数都为0，求出a ，b ，c 的值，即可判断三角形的形状．
0≥，80-≥b ，()2100-≥c
()28100b c -+-= ∴080100a b b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得88=10a b c =⎧⎪=⎨⎪⎩
∴=≠a b c ，
又2228810+≠，
∴△ABC 不是直角三角形，
∴△ABC 为等腰三角形
故选C ．
【点睛】
本题考查了非负数的性质与等腰三角形的判定，熟练掌握二次根式与绝对值的非负性是解题的关键． 6．给出下列长度的四组线段：①1
；②3，4，5；③6，7，8；④a 2－1，a 2＋1，2a （a 为大于1的正整数）．其中能组成直角三角形的有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①②
D ．②③④
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【详解】解：①因为12＋
2=2，所以长度为1题意；
②因为 32＋42=52，所以长度为3，4，5的线段能组成直角三角形，故②符合题意；
③因为 62＋72≠82，所以长度为6，7，8的线段不能组成直角三角形，故③不符合题意；
④因为（a 2－1）2＋（2a ）2 = a 4－2a 2＋1＋4a 2= a 4＋2a 2＋1=（a 2＋1）2，所以长度为a 2－1，a 2＋1，2a （a 为大于1的正整数）的线段能组成直角三角形，故④符合题意．
综上：符合题意的有①②④
故选B ．
【点睛】
此题考查的是直角三角形的判定，掌握利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键． 7．某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得5分，不选或选错扣2分，小英得分不低于60分，设她选对了x 道题，则根据题意可列不等式为（ ）
A ．()522060x x --≤
B ．()522060x x --≥
C ．()522060x x --<
D ．()522060x x --> 【答案】B
【分析】根据题意可知最后的得分为答对的每题得5分，再扣掉错误的每题2分，之后根据题意列不等式即可．
【详解】解：因为小英选对了x 题，所以这部分得分为5x ，
可知错误的题数为20x -，需要被扣掉分数为2(20)x -，
且不低于60分，即60≥分，
故可列式()522060x x --≥；
故选：B ．
【点睛】
本题是一元一次不等式的应用，根据题意正确得出：最后得分=加分-减分，加分=答对的题目数×
5，扣分=答错的题目数×
2，即可解答本题． 8．在平面直角坐标系中，点P （﹣3，2）在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B
【分析】根据各象限的点的坐标的符号特征判断即可．
【详解】∵-3＜0，2＞0，
∴点P （﹣3，2）在第二象限，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
9．已知关于x 的分式方程
111k x x x +=--无解，则k 的值为 （ ） A ．2k =-
B ．2k =
C ．1k =-
D ．1k = 【答案】A
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程可得答案． 【详解】解： 111k x x x
+=--， 1,11
k x x x +-∴=-- 1,k x ∴+=-
方程的增根是1,x =
把1x =代入1k x +=-得：
2.k ∴=-
故选A ．
【点睛】
本题考查分式方程的增根问题，掌握把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值是解题的关键．
10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD 的长为( )
A ．1.5
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【分析】先利用∠C=90°，∠DBC=60°，求出∠BDC=30°，再利用30°所对的直角边是斜边的一半可求出BD 的长，再利用外角求出∠DBA ，即可发现AD=BD.
【详解】解：∵∠C=90°，∠DBC=60°
∴∠BDC=30°
∴BD=2BC=2
又∵∠BDC 是△BDA 的外角
∴∠BDC=∠A ＋∠DBA
∴∠DBA=∠BDC －∠A=15°
∴∠DBA=∠A
∴AD=BD=2
故选B
【点睛】
此题考查的是（1）30°所对的直角边是斜边的一半；（2）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和；（3）等角对等边，解决此题的关键是利用以上性质找到图中各个边的数量关系
二、填空题
11．若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____．
【答案】-10
【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn.
【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5),
n=-2,m=5,
mn=-10.
故答案为-10.
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容.
12．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴，点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a ＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，则PP2的长为_____．
【答案】1
【分析】利用坐标对称原理可作相应地推导.
【详解】
解：如图，当0＜a ＜3时，∵P 与P 1关于y 轴对称， P (﹣a ，0)，
∴P 1(a ，0)，
又∵P 1与P 2关于l ：直线x=3对称，
设P 2(x ，0)，可得：32x a += ，即6x a =-， ∴P 2(1﹣a ，0)，
则26()6PP a a =---=．
故答案为1．
【点睛】
掌握直角坐标系中坐标关于轴对称的原理为本题的关键. 13．若关于x 的分式方程
233
x m x x -=--＋2无解，则m 的值为________． 【答案】1 【解析】分析：把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x 的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x 的值，两者相等得到关于m 的方程，求出方程的解即可得到m 的值．
详解：2233
x m x x -=+-- 去分母得：x ﹣2=m +2（x ﹣3），整理得：x=4﹣m ．
∵原方程无解，得到x ﹣3=0，即x=3，∴4﹣m=3，解得：m=1．
故答案为1．
点睛：本题的关键是让学生理解分式方程无解就是分母等于0，同时要求学生掌握解分式方程的方法，以及转化思想的运用．学生在去分母时，不要忽略分母为1的项也要乘以最简公分母．
14．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．
【答案】﹣2b
【解析】由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣b|+()2a b +=a ﹣b+[﹣（a+b ）]=a
﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．
故答案为﹣2b ． 点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换．
15．如图，△ABC ≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B=______度．
【答案】120
【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.
【详解】∵ABC A B C '''≌，
∴∠C=∠C′=24°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，
∴∠B=120°，
故答案为：120.
【点睛】
此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理.
16．直线21y x =-沿x 轴向右平移3个单位长度后与两坐标轴所围成的三角形面积等于______________．
【答案】12.25
【分析】根据“平移k 不变，b 值加减”可以求得新直线方程；根据新直线方程可以求得它与坐标轴的交
点坐标，所以由三角形的面积公式可以求得该直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【详解】解：平移后解析式为：2(3)127,y x x =--=-
当x=0时，7y =-， 当y=0时，72
x =， ∴平移后得到的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：
17712.25.22⨯⨯= 故答案是：12.25．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与几何变换．直线平移变换的规律：上下移动，上加下减；左右移动，左加右减，掌握其中变与不变的规律是解决直线平移变换的关键．
17．若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是_______.
【答案】1
【解析】试题分析：此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
∵正多边形的一个内角是140°，
∴它的外角是：180°-140°=40°，
360°÷40°=1．
故答案为1．
考点：多边形内角与外角．
三、解答题
18．如图，等边△ABC 的边长为12cm ，点P 、Q 分别是边BC 、CA 上的动点，点P 、Q 分别从顶点B 、C 同时出发，且它们的速度都为3cm/s ．
（1）如图1，连接PQ ，求经过多少秒后，△PCQ 是直角三角形；
（2）如图2，连接AP 、BQ 交于点M ，在点P 、Q 运动的过程中，∠AMQ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）经过秒或秒，△PCQ是直角三角形（2）∠AMQ的大小不变
【解析】（1）分两种情形分别求解即可解决问题；
（2）由△AB≌△BCQ（SAS），推出∠BAP＝∠CBQ，可得∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ ＝∠ABC＝60°即可．
【详解】（1）设经过t秒后，△PCQ是直角三角形．
由题意：PC＝（12﹣3t）cm，CQ＝3t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝60°，
当∠PQC＝90°时，∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴12﹣3t＝6t，
解得t＝；
当∠QPC＝90°时，∠PQC＝30°，
∴CQ＝2PC，
∴3t＝2（12﹣3t），
解得t＝，
∴经过秒或秒，△PCQ是直角三角形；
（2）结论：∠AMQ的大小不变．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，
∵点P，Q的速度相等，
∴BP＝CQ，
在△ABP和△BCQ中，
，
∴△AB≌△BCQ（SAS），
∴∠BAP＝∠CBQ，
∴∠AMQ＝∠PAB+∠ABQ＝∠CBQ+∠ABQ＝∠ABC＝60°．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
19．（1）已知3x=2y=5z≠0，求
23
x y z
x y z
++
-+
的值；
（2）某市政工程计划将安装的路灯交给甲、乙两家灯饰厂完成，已知甲厂生产100个路灯与乙厂生产150个路灯所用时间相同，且甲厂比乙厂每天少生产10个路灯，问甲、乙两家工厂每天各生产路灯多少个？【答案】（1）58；（2）甲工厂每天生产20个路灯，乙工厂每天生产30个路灯．
【分析】（1）设3x=2y=5z=30a（a≠0），用含a的代数式表示x，y，z，进而即可求解；
（2）设甲工厂每天生产x个路灯，则乙工厂每天生产（x+10）个路灯，根据“甲厂生产100个路灯与乙厂生产150个路灯所用时间相同”，列出分式方程，即可求解．
【详解】（1）∵3x=2y=5z≠0，∴设3x=2y=5z=30a（a≠0），∴x=10a，y=15a，z=6a，
∴
23103018
58
10156
x y z a a a
x y z a a a
++++
== -+-+
；
（2）设甲工厂每天生产x个路灯，则乙工厂每天生产（x+10）个路灯，
依题意，得：100150
10
x x
=
+
，解得：x=20，
经检验，x=20是分式方程的解，且符合题意，
x+10=30，
答：甲工厂每天生产20个路灯，乙工厂每天生产30个路灯．
【点睛】
本题主要考查分式的求值以及分式方程的实际应用，解题的关键是：（1）用同一个字母表示出x，y，z；（2）根据等量关系，列出分式方程．
20．（1）如图1，AB∥CD，点E是在AB、CD之间，且在BD的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：∠E=∠ABE+∠CDE．
（2）如图2，在（1）的条件下，作出∠EBD和∠EDB的平分线，两线交于点F，猜想∠F、∠ABE、∠CDE 之间的关系，并证明你的猜想．
（3）如图3，在（1）的条件下，作出∠EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想∠G、∠ABE、∠CDE之间的关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）2∠G=∠ABE+∠CDE 【分析】（1）利用平行线的性质即可得出结论；
（2）先判断出∠EBD+∠EDB=180°-（∠ABE+∠CDE），进而得出∠DBF+∠BDF=90°-1 2
（∠ABE+∠CDE），最后用三角形的内角和即可得出结论；
（3）先由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）如图，
过点E作EH∥AB，
∴∠BEH=∠ABE，
∵EH∥AB，CD∥AB，
∴EH∥CD，
∴∠DEH=∠CDE，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=∠ABE+∠CDE；
（2）2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°，
理由：由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵∠EDB+∠EBD+∠BED=180°，
∴∠EBD+∠EDB=180°-∠BED=180°-（∠ABE+∠CDE），
∵BF，DF分别是∠DBE，∠BDE的平分线，
∴∠EBD=2∠DBF，∠EDB=2∠BDF，
∴2∠DBF+2∠BDF=180°-（∠ABE+∠CDE），
∴∠DBF+∠BDF=90°-1
2
（∠ABE+∠CDE），
在△BDF中，∠F=180°-（∠DBF+∠BDF）=180°-[90°-1
2
（∠ABE+∠CDE）]=90°+
1
2
（∠ABE+∠CDE），
即：2∠F-（∠ABE+∠CDE）=180°；
（3）2∠G=∠ABE+∠CDE，理由：如图3，
由（1）知，∠BED=∠ABE+∠CDE，
∵BG是∠EBD的平分线，
∴∠DBE=2∠DBG，
∵DG是∠EDP的平分线，
∴∠EDP=2∠GDP，
∴∠BED=∠EDP-∠DBE=2∠GDP-2∠DBG=2（∠GDP-∠DBG），
∴∠GDP-∠DBG=1
2
∠BED=
1
2
（∠ABE+∠CDE）
∴∠G=∠GDP-∠DBG=1
2
（∠ABE+∠CDE），
∴2∠G=∠ABE+∠CDE．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，判断出∠BED=∠EDP-∠DBE 是解本题的关键．
21．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，求证：BD＝CE.
【答案】见解析
【分析】如图，过点 A 作 ⊥AP BC 于 P ，根据等腰三角形的三线合一得出BP=PC ，DP=PE ，进而根据等式的性质，由等量减去等量差相等得出BD=CE ．
【详解】如图，过点A 作⊥AP BC 于 P ．
∵AB AC =，
∴BP PC =；
∵AD AE =，
∴DP PE =，
∴BP DP PC PE -=-，
∴BD=CE ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，注意：等腰三角形的底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合． 22．如图，在四边形ABCD 中，//DC AB ，连接BD ，90ADB ∠︒＝，60A ∠︒＝，且BD 平分ABC ∠，4CD ＝.
（1）求CBD ∠的度数；
（2）求AB 的长.
【答案】（1）30°；（2）8
【分析】（1）利用三角形内角和公式求出30ABD ∠=︒,再由BD 平分ABC ∠,得出CBD ∠.
（2）在AB 上截取BE BC =,连接DE ,可证()DBC DEB SAS ∆∆≌,根据数量关系证得ADE ∆为等边三角形,得到4AE DE ==,从而求得AB .
【详解】.解：（1）在Rt ADB ∆中,
∵60A ∠=︒,90ADB ∠=︒,
∴30ABD ∠=︒.
∵BD 平分ABC ∠,
∴30CBD ABD ∠=∠=︒.
（2）如图,在AB 上截取BE BC =,连接DE ,
∵BE BC =,CBD ABD ∠=∠,BD BD =,
∴()DBC DEB SAS ∆∆≌.
∴4DE DC ==,EDB CDB ∠=∠,
∵//AB CD ,
∴30CDB ABD EDB ∠=∠=∠=︒
∴60AED ∠=︒,4DE BE ==,
∴60ADE ∠=︒,
∵60A AED ADE ∠=∠=∠=︒,
∴ADE ∆为等边三角形.
∴4AE DE ==,
∴8AB AE BE =+=.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
23．先化简，再求值：221a a a --÷（1+21
a a +），其中a ﹣1．
【答案】1
1a ++2．
【分析】先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：原式＝(1)(1)(1)a a a a -+-÷2
21
a a a ++ ＝21
(1)a a
a a +⋅+ ＝1
1a +，
当a ﹣2时，
．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则和因式分解是解本题的关键．
24．如图，已知△ABC 的其中两个顶点分别为：A （－4，1）、B （－2，4）．
（1）请根据题意，在图中建立平面直角坐标系，并写出点C 的坐标；
（2）若△ABC每个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，顺次连接这些点，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，判断△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系?并写出点B的对应点B1的坐标．
【答案】（1）图见解析，点C的坐标为（3，3）；（2）图见解析，B1的坐标为（－2，－4）
【分析】(1)直接利用已知点建立平面直角坐标系进而得出答案;
(2)利用坐标之间的关系得出△A1B1C1各顶点位置，进而得出答案．
【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示．
点C的坐标为（3，3）．
（2）△A1B1C1如图所示．
△A1B1C1与△ABC关于x轴对称．
点B的对应点B1的坐标为（－2，－4）．
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键．
25．如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，点D是AB边上的一点（点D不与A，B重合），连接CD，过点C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，AE．
（1）求证：△CBD≌△CAE；
（2）若AD＝4，BD＝8，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）5
【分析】（1）根据CE⊥CD，∠ACB＝90°得∠BCD＝∠ACE，再根据AC＝BC，CE＝CD，即可证明△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）通过△CBD≌△CAE（SAS）得出BD＝AE，∠DAE＝90°，根据勾股定理求出DE的长即可．【详解】（1）∵CE⊥CD，∠ACB＝90°，
∴∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∵AC＝BC，CE＝CD，
在△BCD与△ACE中，
AC BC
BCD ACE CE CD
=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，
∴△CBD ≌△CAE （SAS ）．
（2）∵△CBD ≌△CAE ，
∴BD ＝AE ，∠CBD ＝∠CAE ＝45°，
∴∠DAE ＝90°，
∴DE ===．
【点睛】
本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．无理数3在（ ）
A ．2和3之间
B ．3和4之间
C ．4和5之间
D ．5和6之间
【答案】B
【分析】首先得出的取值范围进而得出答案．
【详解】∵
∴67，
∴无理数在3和4之间．
故选B ．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
2．下列哪个点在第四象限( )
A ．(1,2)
B ．(1,2)-
C ．(2,1)-
D ．(2,1)--
【答案】C
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数解答即可．
【详解】因为第四象限内的点横坐标为正，纵坐标为负，各选项只有C 符合条件，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+，+)；第二象限(-，+)；第三象限(-，-)；第四象限(+，-)．。