辽宁省沈阳市2016届高三教学质量监测(一)数学文试题 含解析

2016年沈阳市高三教学质量监测（一）
数 学(文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答,在本试题卷上作答无效.
3.考试结束后，考生将答题卡交回。

第Ⅰ卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．复数2
1z i
=
-(i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知集合{0,1,2}P =,2
{|320}Q x x
x =-+≤，则P Q = （ )
A ．{1}
B ．{2}
C ．{0,1}
D ．{1,2} 3. 等差数列{}n
a 的前n 项和为n S ，若5
32S
=，则3a =(
)
A ．325
B ．2
C ．42
D ．
532
4．已知函数()1
2
log 030
x
x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，则((4))f f 的值为（ ）
D ．9 A ．9
1-
B ．9-
C ．9
1
5．如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形,一个直角三
角形），则这个几何体可能为（ ）
A ．三棱台
B ．三棱柱
C ．四棱柱
D ．四棱锥 6．已知直线l 过圆()
2
2
34x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直,则直线l
的方程为（ )
A ．20x y +-=
B ．20x y -+=
C ．30x y +-=
D ．30x y -+=
7。

执行如图所示的程序框图,如果输入1a =-,2b =-,则输出的a 的值为（ )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
8．从某小学随机抽取100名同学，现已将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在［120，130），［130，140)，[140，150］三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在［140，150]内的学生中选取的人数应为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
第7题图 第8题图
9．若函数()log 0,1a
y x a a =>≠且的图象如图所示，则下列函数与其图象相
符的是（ ）
开始 输入a ,b
输出a 结束
6
a > 是 a a
b =
否
10．已知正四面体ABCD 的棱长为a ,其外接球表面积为1
S ,内切球表面
积为2
S ，则1
2
:S S 的值为（ ）
A ．3
B ．33
C ．9
D ．494
11. 已知抛物线2
4y
x =的焦点为F ，
A 、
B 为抛物线上两点,若3AF FB =,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为( ） A ．
3
3
B ．8
33
C ．4
33
D ．2
33
12．已知偶函数)(x f (0)x ≠的导函数为)(x f '，且满足(1)0f =，当0x >时，
()2()xf x f x '<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（
)
A ．(,1)
(0,1)-∞-
B ．(,1)
(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,)-+∞
D ．(1,0)(0,1)- 第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二. 填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上)
13．设,x y 满足约束条件：,0
13x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩
，
若z x y =-，则z 的最大值为 ；
14．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点,则AC BE ⋅= ； 15．函数()2ln f x x x =-的单调递增区间是 ; 16．已知双曲线
22
22: 1 (0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 与过原
点的直线相交于A 、B 两点，连接AF ，BF 。

若||6AF =，
||8BF =，3
cos 5
BAF ∠=，则该双曲线的离心率为 ．
三. 解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤）
17。

（本小题满分12分）
已知函数2
()2cos
32
x
f x x =. （Ⅰ）求函数()f x 的最大值,并写出取得最大值时相应的x 的取值集合；
（Ⅱ）若1tan 2
2
α=，求()f α的值。

18。

(本小题满分12分）
如图所示，三棱锥D ABC -中，AC ,BC ,CD 两两垂直，1AC CD ==，
3BC =，点O 为AB 中点.
（Ⅰ)若过点O 的平面α与平面ACD 平行，分别与 棱DB ，CB 相交于,M N ，在图中画出该截面多边
形，并说明点,M N 的位置(不要求证明）； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离.
未发病
发病
合计
未注射疫苗 20 x
A
注射疫
30
y
B
B
C
A D
O
19。

（本小题满分12分）为考查某种疫苗预
防疾病的效
果，进行动物实验，得到统计数据如下：
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率
（Ⅰ）求22⨯列联表中的数据x ,y ，A ，B 的值；
（Ⅱ)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？ （Ⅲ)能够有多大把握认为疫苗有效？
20.（本小题满分12分）
已知椭圆
22
22
1x y a b +=(0)a b >>的左，右焦点分别为
1
F ，
2
F ，且
126F F ||=，直线y kx =与椭圆交于
A ,
B 两点．
（Ⅰ）若△12AF F 的周长为16,求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）且A ,
B ,
1F ，2F
四点共圆，求椭圆离心率e 的值； 未注射 注射
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设0
(,)P x y 为椭圆上一点,且直线PA 的
斜率1
(2,1)k ∈--，试求直线PB 的斜率2
k 的取值范围。

21.
（Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a ，b 的值；
(Ⅱ）若1x =是函数()f x 的极值点,求实数a 的值; （Ⅲ）若20a -≤<，对任意1
2,(0,2]
x x
∈,立，求m 的最小值．
请考生在22，23,24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.(本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，两个圆相内切于点T ，公切线为TN ，外圆的弦TC ,TD 分别交内圆于A 、B 两点，并且外圆的弦CD 恰切内圆于点M . (Ⅰ）证明：//AB CD ；
（Ⅱ）证明：AC MD BD CM ⋅=⋅。

23。

（本小题满分10分)选修4－
在以直角坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1
C 的方程是1ρ=,将1
C 向上平移1个单位得到曲线2
C .
（Ⅰ）求曲线2
C 的极坐标方程；
(Ⅱ)若曲线1
C 的切线交曲线2
C 于不同两点,M N ,切点为T .求TM TN ⋅的取
值范围。

24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知命题“a b c ∀>>，11t a b
b c
a c
+≥---"是真命题，记t 的最大值为m ,
命题“n R ∀∈，14
sin cos n n m
γγ+--<"是假命题，其中(0,)2
πγ∈.
（Ⅰ)求m 的值；
（Ⅱ）求n 的取值范围.
2016年沈阳市高三教学质量监测（一） 数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、解答题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题（每题给出一种解法仅供参考）
1。

A 2.D 3.A 4。

C 5.B 6。

D 7.B 8.B 9。

B 10.C 11. C 12。

D 1．A 试题分析：2
11z i i
==+-，在复平面内复数z 对应点的坐标为(1,1),在第一象限.
考点:复数的概念，复数的运算，复数的几何意义. 2．D 试题分析:因为2
{|320}Q x x
x =-+≤{|12}
x x =≤≤，{0,1,2}P =,所以
{1,2}P Q =．
考点：集合的概念,集合的表示方法，集合的运算,一元二次不等式的解法．
3．A 试题分析:根据等差数列的性质，5
35S
a =,所以533255
S a =
=。

考点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，
等差数列的性质. 4．C 试题分析:因为
()1
2
log 030
x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，即()1(4)(2)9f f f =-=. 考点：分段函数求值,指数运算，对数运算.
5．B 试题分析：根据三视图的法则：长对正,高平齐，宽相等．可得几何体如右图所示．这是一个三
棱柱。

考点：三视图，棱柱、棱锥、棱台的概念.
6．D 试题分析：由已知得,圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得,3y x =+，即30x y -+=，故选D.
考点：圆的标准方程，两条互相垂直直线斜率之间的关系，直线的方程。

7．B 试题分析:当1a =-，2b =-时, (1)(2)26a =-⨯-=<；当2a =，2b =-时，
2(2)46a =⨯-=-<；当4a =-，2b =-时， (4)(2)86a =-⨯-=>，此时输出8a =，
故选B.
考点： 程序框图的应用。

8．B 试题分析：依题意可得10(0.0050.010.020.035)1a ⨯++++=，解得0.03a =，故身高在［120，130),［130,140]，[140，150］三组内的学生比例为3：2：1。

所以从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为3. 考点： 统计的知识，分层抽样的方法，识别图表的能力.
9。

B 试题分析：由函数()log 0,1a
y x a a =>≠且的图象可知，3,a = 所以
3x y -=， 33()y x x =-=-及3log ()y x =-均为减函数，只有3y x =是增函数，选
B 。

考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质。

10．C 试题分析：如图所示，设点O 是内切球的球心,正四面体棱长
为a ，
由图形的对称性知，点O 也是外接球的球心．设内切球半径为r ，外接球半径为R ．
在Rt △BEO 中，2
22BO BE EO =+,即222
3(
)3
R a r =+，
又6
3
R r a +=
，可得3R r =，2212::9S S R r ==，故选C. （或由等体积法设内切球半径为r ，外接球
半径为R ，正四面体的侧面积为S
,易有11()43
3
S R r Sr +=⋅,有3R r =）
考点：正四面体的定义,正四面体与球的位置关系，球的表面积。

11. C 试题分析：(解法一)如图所示，根据抛物线的定义，不难求出,||2||AB AE =，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正,所以直线AB 的倾斜角
为60，直线AB 的方程为3(1)y x =
-，
联立直线AB 与抛物线的方程可得：
2
3(1)
y 4y x x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解之得：(3,23)A ，123(,)33B -， 所以2212316
(3)(23)333
AB =
-++=,
32
d =
，
而原点到直线AB
的距离为
所以14323
AOB
S
AB d ∆=⨯⨯=，故应选C
．
当直线AB 的倾斜角为120时,同理可求。

（解法二)如图所示,设||BF m =,
则||||3AD AF m ==，3||2
m AG =
又||||2||2AD AG OF -==，故43
m =，又83||||3
CD BE ==，
所以143
||23
AOB
S
OF CD ∆=⨯⨯=
，故应选C ．
考点： 抛物线的简单几何性质； 直线与抛物线的相交问题。

12．D 试题分析：根据题意，设函数2
()
()f x g x x =
，当
x >时,3
'()2()
'()0f x x f x g x x
⋅-⋅=
<，说明函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为偶函数，所以()g x 为偶函数，又(1)0f =，所以(1)0g =，故()g x 在(1,0)(0,1)-的
函数值大于零，即()f x 在(1,0)(0,1)-的函数值大于零。

考点:函数的单调性，函数的奇偶性，构造函数解决问题,利用导数研
究函数的性质。

二.填空题(每题给出一种解法仅供参考） 13.3 14。

2 15．
1[,)2+∞（写成1
(,)2
+∞也给分) 16.5e = 13。

3 试题分析：不等式组所表示的平面区域如图：目标函数（虚线）在点(3,0)
B 处取得最大值
3max =z 。

考点：线性规划.
14．2 试题分析： (解法一)
1
()()()()2
AC BE AB AD BC CE AB AD AD AB ⋅=+⋅+=+⋅- 2
21
42 2.2
AD AB =-
=-=
（解法二)
以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴建立直角坐标系，
(2,2)AC =,(1,2)BE =-，2AC BE ⋅=.
考点：向量数量积 15．
1[,)2+∞(写成1
(,)2
+∞也给分） 试题分析：函数()2ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞,
'1
()20f x x
=-
≥,所以函数()2ln f x x x =-的单调递增区间为1
[,)2
+∞。

考点：利用导数研究具体函数的单调性．
16。

5e =
试题分析：6AF =,8BF =，3
cos 5
BAF ∠=,由余弦定理可求得10AB =，90BFA ∠=︒，将A ,B 两点分别与双曲线另一焦点连接，可以得到矩形，结合矩形性质可知,210c =,利用双曲线定义，2862a =-=,所以离心率5e =。

考点：双曲线的定义,双曲线的离心率，余弦定理. 三。

解答题 17。

（Ⅰ）()1cos 3sin f x x x =+2cos()13
x π
=-+， …………3分
所以cos()13x π-=，即23x k ππ-=，23
x k ππ=+()k ∈Z 时,
函数()f x 的最大值为3, …………5分
此时相应的x 的取值集合为{|2,k Z}3
x x k ππ=+∈。

…………6分
（或()2sin()16
f x x π=++相应给分）
(Ⅱ)2
2
22
2cos 23cos 222
()2cos
23cos 222
cos sin 22
x x x x x x f x x x +=+=+. ………10分
2
2232
1tan
2
x
x
+=
+ …………11分
8+435
=. …………12分
考点：同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换，二倍角公式，辅助角公式,三角函数的性质. 18．（Ⅰ）当M 为棱DB 中点,N 为棱BC
中点时，平
面∥平面ACD .…………6分 (Ⅱ）因为CD AC ⊥,CD BC ⊥, 所
以
直
线
CD ⊥
平面
ABC ， …………8分
2222112AD AC CD =+=+=， 22312BD BC CD =+=+=。

又2213 2.AB AC BC =+=+=
所
以
AB BD =，……………………………………9分
设点E 是AD 的中点，连接BE ,则BE AD ⊥， 所以222214
2(2/2)2
BE AB AE =
-=-=
， 1114722222
ABD S AD BE ∆=
⋅=⨯⨯=.
又C ABD
D ABC V V --=，
而113
13222
ABC
S
AC BC ∆=
⋅=⨯⨯=
,
设点C 到平面ABD 的距离为h ，则有1133
ABD
ABC S h S CD ∆∆⋅=⋅, ……10分
即
122h ⋅=⨯
，∴7h =
，即点C 到平面ABD
的距离为7
. ……12分
考点：空间垂直关系的转化与证明，点到面的距离，线面平行,面面平行问题。

19． （Ⅰ）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件A ，
由已知得302()100
5
y P A +==，所以10y =,40B =,40x =，60A =． ………5分
发病率的条形统计图如图所示，由图可以 看出疫苗影响到发病率．
(
…11分
10000005016.6710.828502060
3
=
=≈>⨯⨯．
所以至少有99.9%分
考点：独立性检验的应用，统计，概率，根据统计数据做出相应评价．
20．(Ⅰ）由题意得3c =， …………1分
根据2216a c +=,得5a =． …………2分 结合2
22a
b c =+，解得2225,16a b ==。

(3)
分
…………4分
未注射 注射
（Ⅱ）（解法一)
设1122(,),(,)A x y B x y
…………6分
由AB 、EF 互相平分且共圆，易知,2
2AF BF ⊥，
因为2
1
1
(3,)F A x y =-，2
2
2(3,)
F B x
y =-，
所以2
2
1
(F A F B x ⋅=- 即
128x x =-,结合2
29b
a +=．解得212a =，所以离心率 ………8分
(若设1
1
1
1
(,),(,)A x y B x y --相应给分）
(解法二)设）（1
1
,y x A ，又AB 、EF 互相平分且共圆,所以AB 、EF 是圆的直
径，
所以92
121=+y x ，又由椭圆及直线方程综合可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+14292
2
1221
112
121b y a x x y y x 前两个方程解出1,82
12
1
==y x
， (6)
分
将其带入第三个方程并结合92222
-=-=a c a b
,解得：122=a ，2
3
=e . …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）结论,
…………9分
由题可设1
1
1
1
(,),(,)A x y B x y --,
…………10分
又
22
012201222201013(1)3(1)
112124
x x y y x x x x ----==--- ，
由1
21k
-<<-
…………12分
考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题. 21．（Ⅰ)∵2
1()ln 2
f x x
a x
b =-+，∴'()a
f x x x
=-, …………2分
∵曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=,
∴13a -=，(1)0f =，∴2a =-，102
b +=，∴2a =-，12
b =-. ……4分
（Ⅱ）∵1x =是函数()f x 的极值点,
∴'
(1)10f a =-=，∴1a =； …………6分
当1a =时，定义域为(0,)+∞，
当01x <<时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当1x >时，'()0f x >，()f x 单调递增,所以,1a =。

…………8分 （Ⅲ）因为20a -≤<,02x <≤ ， 所以'
()0a
f
x x x
=-
>，故函数()f x 在(0,2]上单调递增, 不妨设1202x
x <≤≤，则
…………10分
，则12()()h x h x ≥．
()h x (0,2]在(0,2]上恒成立，
等价于3
0x
ax m --≤在(0,2]上恒成立，即3m x ax ≥-在(0,2]上恒成立，
又20a -≤<，所以2ax x ≥-，所以3
32x ax x x -≤+,
而函数3
2y x
x =+在(0,2]上是增函数，
所以3
212x
x +≤（当且仅当2a =-，2x =时等号成立）。

所以12m ≥．即m 的最小值为12. …………12分 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值,恒成立问题,及参数取值范围等内容．
22．（Ⅰ）由弦切角定理可知,NTB TAB ∠=∠， ……………3分 同理,NTB TCD ∠=∠，所以，TCD TAB ∠=∠， 所以,//AB CD . ……………5分 （Ⅱ）连接TM 、AM,
因为CD 是切内圆于点M ，
所以由弦切角定理知，CMA ATM ∠=∠,
又由（Ⅰ)知//AB CD ，
所以，CMA MAB ∠=∠，又MTD MAB ∠=∠, 所以MTD ATM ∠=∠. ……………8分
在MTD ∆中，由正弦定理知，
sin sin MD TD
DTM TMD
=∠∠,
在MTC ∆中，由正弦定理知， sin sin MC TC ATM TMC
=∠∠,因TMC TMD π∠=-∠，
所以MD TD MC TC =，由//AB CD 知TD BD TC AC
=，
所以MD BD MC AC
=，即， AC MD BD CM ⋅=⋅。

(10)
分
23．（Ⅰ）依题,因2
2
2
x y ρ
=+,
所以曲线1
C 所以曲线2
C
x
又sin y ρθ=,所以2
2sin 0ρ
ρθ-=,
即曲线2
C 的极坐标方程为2sin ρθ=.…………………5分 (Ⅱ）由题令0
(,)T x y ,0
(0,1]y
∈,切线MN 的倾斜角为θ，所以切线MN 的参数
方程为:
00cos sin x x t y y t θ
θ
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数）. ……………………………7分
联立2
C 的直角坐标方程得,2
0002(cos sin sin )120t
x y t y θθθ++-+-=
， …8分
即由直线参数方程中,t 的几何意义可知，
12TM TN y ⋅=-，因为0
12[1,1)y
-∈-所以TM TN ⋅[0,1]∈。

…………10分
(解法二）设点()ααsin ,cos T ,则由题意可知当()πα 0∈时，切线与曲线2
C 相交，
由对称性可知,当⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈2,0πα
时斜线的倾斜角为2
πα+，则切线MN 的参数方程为：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=ααπααααπααcos sin 2sin sin sin cos 2cos cos t t y t t x (t 为参数）,…………………7分
与C 2的直角坐标联立方程,得0sin 21cos 22
=-+-ααt t ， (8)
分
则αsin 212
1-==t
t TN TM ,
因为⎥⎦
⎤
⎝
⎛∈2,0πα
,所以[]1,0∈TN TM 。

…………………10分 此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分。

24．（Ⅰ）因为“a b c ∀>>，11t
a b b c a c
+≥
---”是真命题,
所以a b c ∀>>，
11t a b b c a c
+≥---恒成立， 又c b a >>,所以)11()(c
b b a
c a t -+-⋅-≤恒成立，
所以，min )]11()[(c
b b a c a t -+-⋅-≤。

(3)
分
又因为)11()()11()(c
b b a
c b b a c b b a c a -+-⋅-+-=-+-⋅-
42≥--+--+=c
b b a b a
c b ,“=”成立当且仅当b a c b -=-时.
因此，4≤t ，于是4=m 。

……………………………5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)得，因为“n R ∀∈，14
sin cos n n m
γγ+--<”是假命题，
所以“R n ∈∃，2cos sin ≥--+γγn n ”是真命题。

………………7分
因为n n n n --+=--+γγγ
γcos sin cos sin γγcos sin +≤2≤（(0,)2
π
γ∈）， 因此，2cos sin =--+γγn n ，此时2cos sin =+γγ,即4
πγ=时. (8)
分
即，22222=--+
n n ，由绝对值的意义可知，2
2≥n .…………10分。