浙江省温州八校2013届高三9月期初联考数学(文)试卷

2012学年第一学期“温州八校”期初联考数学（文科）试卷 2012.9本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式V Sh =()()()P A B P A P B +=+ 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高球的表面积公式 24S R π= 棱锥的体积公式13V Sh =球的体积公式 334R V π=其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高其中R 表示球的半径 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为（ ▲ ）A ．0B ．1C ．2D ．42．已知向量a b 、都是非零向量，“||||a b a b ⋅=⋅”是“//a b ”的（ ▲ ）A ．充分非必要条件．B ．必要非充分条件．C ．充要条件．D ．既非充分也非必要条件．3．阅读右图的程序框图若输出S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内 应填写的条件是（ ▲ ）A ．5>i ?B ．6>i ?C ．7>i ?D ．8>i ? 4．在等比数列{}n a 中，14358a a a a ==，，则7a =（ ▲ ） A ．116B ．18 C ．14 D ．125．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ▲ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．已知直线1:(3)(5)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=垂直，则k 的值是（ ▲ ）A ．1或3B ．1或5C ．1或4D ．1或27．将函数sin 2y x =的图象向右平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析 式是（ ▲ ）A ．22sin y x =B ．22cos y x =C ．)42sin(1π++=x y D ．cos 2y x =8．函数221()2x xy -=的值域为（ ▲ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(],2-∞C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]0,29．若(,)P a b 是双曲线224(0)x y m m -=≠上一点，且满足20,20a b a b ->+>，则双曲线离心率为（ ▲ ）A ．5B ．25 C ．255或 D ．332 10．已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]1,2x ∈及[]2,3y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是( ▲ ) A ．3519a -≤≤-B ．31a -≤≤-C ．3a ≥-D ．1a ≥- 非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11．如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其中位数为 ▲ ． 12．已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z在复平面内对应的点在实轴上，则a = ▲ ．13．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是__▲____．14．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的体 积为 ▲ ．15．已知实数x 、y 满足0401x y x y x +⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≤，则y x +2的最小值是 ▲ ．16．已知单位向量,a b的夹角为120°，当2()a xb x R +∈ 取得最小值时x = ▲ ．17．对于函数)(x f y =，存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时，[],y ka kb ∈(0)k >，则称)(x f y =为k 倍值函数。

已知x e x f x +=)(是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知322sin =A . （Ⅰ）求2tan2CB +的值； （Ⅱ）若2,2==∆ABC S a ，求b 的值.19．（本小题满分14分）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =-，前n 项和为n S ，其中1a }3,2,1{∈。

（Ⅰ）若存在*n N ∈，使5n S =-成立，求1a 的值；（Ⅱ）是否存在1a ，使n n S a <对任意大于1的正整数n 均成立？若存在，求出1a 的值；否则，说明理由．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB PD 、与平面ABCD 所成角的正切值依次是1和12，2AP =，E F 、依次是PB PC 、的中点.（Ⅰ）求证：PB AEFD ⊥平面；（Ⅱ）求直线EC 与平面PAD 所成角的正弦值.21．（本小题满分15分）已知函数.18)(23)(3有极大值为常数其中a ax x x f +-= （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若曲线)(x f y =过原点的切线与函数()ln g x b x =-的图像有两个交点，试求b 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知直线L ：1y kx =-与抛物线C ：2y x =，相交于两点,A B ，设点(0,2)M ，MAB ∆的面积为S .（Ⅰ）若直线L 上与M 连线距离为1的点至多存在一个，求S 的范围。

（Ⅱ）若直线L 上与M 连线的距离为1的点有两个，分别记为,C D ，且满足S λ≥⋅｜CD ｜ 恒成立，求正数λ的范围.2012学年第一学期“温州八校”期初联考数学（文科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共5０分）二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）11．13 12．1 13．13 14．4 15．-2 16．1 17．1+>e k三、解答题（本大题共5小题，共72分）18．（本小题满分14分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,所对边分别为c b a ,,，已知322sin =A . （Ⅰ）求2tan2CB +的值； （Ⅱ）若2,2==∆ABC S a ，求b 的值.解: （Ⅰ）在锐角ABC ∆中，由322sin =A 可得31cos =A ,………………………2分则2tan2C B +2cos 1cos 1)cos(1)cos(1=-+=+++-=AAC B C B ………………7分 （Ⅱ） 由2=∆ABC S 得3=bc , …………………………10分又由余弦定理得622=+c b ,可解得3=b …………………………14分19．（本小题满分14分）等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =-，前n 项和为n S ，其中1a }3,2,1{∈. （Ⅰ）若存在*n N ∈，使5n S =-成立，求1a 的值；（Ⅱ）是否存在1a ，使n n S a <对任意大于1的正整数n 均成立？若存在，求出1a 的值；否则，说明理由．解：（Ⅰ）由条件得，211(1)11()5222n n n S na d n a n -=+=-++=- 整理得：21(21)100n a n -+-=,n N +∈ 由求根公式1(21)2a n +±=，知21(21)40a ∆=++必为完全平方数，1a }3,2,1{∈，逐个检验知，1a =1符合要求，此时5n =；…………………………7分 （Ⅱ）由n n S a <，代入得21111()122n a n a n -++<+-整理，变量分离得：21131(1)1(1)(2)222n a n n n n -<-+=-- 111(2)2n a n >∴<- 12(2)2n n =-时,取到最小值0，10a ∴<故不存在1a ，使n n S a <对任意大于1的正整数n 均成立 ………………… 14分20．（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB PD 、与平面ABCD 所成角的正切值依次是1和12，2AP =，E F 、依次是PB PC 、的中点.（1）求证：PB AEFD ⊥平面；（2）求直线EC 与平面PAD 所成角的正弦值. 20.解：（1）∵PB PD 、与平面ABCD 所成角的正切值依次是1和12,2AP =∴2,4AB AD ==∵PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形 ∴AD ⊥平面PAB ∴AD PB ⊥ ∵E 是PB 的中点 ∴AE PB ⊥∴PB AEFD ⊥平面 …………………………7分（2）解法一：∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥，又CD AD ⊥,∴CD ⊥平面PAD ，取PA 中点G ，CD 中点H ，联结EG GH GD 、、，则EG AB CD ////且1=12EG AB =，EGHC ∴是平行四边形， ∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角. 在Rt GAD ∆中，，GH =sin HD HGD GH ∠===∴直线EC 与平面PAD解法二：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，依题意，42AD AB ==，，则各点坐标分别是(0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，(0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-，，, 又∵AB ⊥平面PAD ，∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==， 设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则sin ||||EC n EC n α⋅===⋅F ED BCA P HG∴直线EC 与平面PAD 所成角的正弦值为6. …………………………15分 21．（本小题满分15分）已知函数.18)(23)(3有极大值为常数其中a ax x x f +-= (Ⅰ) 求a 的值；（Ⅱ）若曲线)(x f y =过原点的切线与函数()ln g x b x =-的图像有两个交点，试求b 的取值范围. 解： (Ⅰ) '2()33f x x a =- ，又函数()f x 有极大值'()0f x ∴>令，得x x <>()f x ∴在(,)-∞+∞上递增，在(上递减()(18f x f ∴==极大值，得4a = …………………………7分（Ⅱ）设切点3000(,122)x x x -+，则切线斜率'200()312k f x x ==- 所以切线方程为320000122(312)()y x x x x x -+-=--将原点坐标代入得01x =，所以9k =- 切线方程为9y x =-由9ln y xy b x =-⎧⎨=-⎩得ln 90x x b --=设()ln 9h x x x b =--则令'119()90x h x x x -=-=>，得109x << 所以()h x 在1(0,)9上递增，在1(,)9+∞上递减所以1()()ln 919h x h b ==---最大值若ln 90x x b --=有两个解，则()0h x >最大值 得ln 91b <-- …………………………15分22．（本小题满分14分）如图，已知直线L ：1y kx =-与抛物线C ：2y x =，相交于两点,A B ，设点(0,2)M ，MAB ∆的面积为S 。