2023-2024学年山西省晋城市高二下学期4月第二次调研数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年山西省晋城市高二下册4月第二次调研数学
模拟试题
一、单选题
1．已知函数()cos 2ln f x x x =⋅，则()f x 的导函数为（）
A ．cos 2sin 2ln x x x x +
B ．cos 2sin 2ln x x x x -+
C ．cos 22sin 2ln x x x x
-+D ．sin 22cos 2ln x x x x
+
【正确答案】C
【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得；【详解】解：因为()cos 2ln f x x x =⋅，
所以()()()cos 2cos 2ln cos 2ln 2sin 2ln x
f x x x x x x x x
'''=⋅+⋅=-+
故选：C
2．()()8
x y x y -+的展开式中36x y 的系数为（
）
A ．28
B ．28-
C ．56
D ．56
-【正确答案】B
【分析】由二项式定理将8()x y +展开，然后得出8()()x y x y -+，即可求出36x y 的系数.【详解】由二项式定理：
8
()()x y x y -+080171808
888()(C C C )
x y x y x y x y =-+++ 080171808080171808888888(C C C )(C C C )
x x y x y x y y x y x y x y =+++-+++ 090181818081172809888888(C C C )(C C C )
x y x y x y x y x y x y =+++-+++ 观察可知36x y 的系数为6523888887876
C C C C 2821321
⨯⨯⨯-=-=
-=-⨯⨯⨯.故选：B.
3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm 规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为
1
20
，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为008．，则甲厂生产该芯片的次品率为（）
A ．
15
B ．
110
C ．
115
D ．
120
【正确答案】B
【分析】首先设12,A A 分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B 表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p ，得到则()135
P A =，()225P A =，()1P B A p =∣，()21
20P B A =∣，
再利用全概率公式求解即可.
【详解】设12,A A 分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B 表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p ，则()1123205P A =
=，()225P A =，()1P B A p =∣，()21
20
P B A =∣，
则由全概率公式得：()()()()()11223210.085520P B P A P B A P A P B A p =+=⨯+⨯
=∣∣，解得1
10
p =，故选：B ．
4．设随机变量X 的概率分布列如下：则()11P X -≤=（）
X －1012P 1
3
m
14
16
A ．
14
B ．
13
C ．
23
D ．
56
【正确答案】C
【分析】根据分布列的性质求得m 的值，由11X -<确定变量的取值，结合分布列求得答案.【详解】由分布列性质可得：1111346m +++=，则1
4
m =，
由()()1112
1102(0)(1)(2)4463
P X P X P X P X P X -≤=≤≤==+=+==++=,故选：C
5．从7个人中选4人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排2人，第二天和第三天均安排1人，且人员不重复，则不同安排方式的种数可表示为（）
A ．4
3
73
C A B ．13
76
C A C ．22
75
C C
D ．2
2
75
C A 【正确答案】D
【分析】用分步计数原理.先选出2人安排在第一天，再选出2人安排在后两天，将结果乘起来即可.
【详解】用分步计数原理.
第一步，从7个人中选2人的负责值班第一天，不同安排方式的种数2
7C ；
第二步，剩余5人选取2人安排在第二天和第三天，不同安排方式的种数2
5A .
所以，不同安排方式的种数可表示为22
75C A .故选：D.
6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23
，则甲以3∶1的比分获胜的概率为()A ．
8
27
B ．
6481
C ．
49
D ．
89
【正确答案】A
【详解】前3局有2局甲获胜，最后一局甲胜，故3:1获胜的概率是,
故选A.
7．已知函数()()21,1,
1,1,x x f x k x x ⎧-->⎪=⎨
-≤⎪⎩
若函数()y f x =的图象与()ln g x x =的图象有3个交点，则实数k 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．()
0,1C ．()
1,0-D ．()
,1∞-【正确答案】A
【分析】作出函数()f x ，()g x 的图像，数形结合求得参数k 的范围.【详解】作出函数()f x ，()g x 的图像，如图所示，
当1x >时，二者有1个交点；由1
()g x x
'=
，则曲线ln y x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-，
当1x ≤时，二者若有2个交点，由图知，必有1k >．故选：A ．
8．已知函数()e x
g x ax -=+，若()0g x ≥恒成立，则a 的取值范围是（
）
A ．2
0,e ⎡⎤⎣⎦
B ．[]0,e
C ．[]0,1
D ．()
0,e 【正确答案】B
【分析】根据()e e ()x x g x ax a x --=+=--构造()e x f x ax =-，从而()0g x ≥恒成立等价于()0f x ≥，
分离参数后转化求最值即可求解.
【详解】因为()e e ()x x
g x ax a x --=+=--，令()e x f x ax
=-所以()0g x ≥恒成立等价于()0f x ≥.当0x =时，()0f x ≥成立.当0x ≠时，令()e x
h x x
=
当0x <时，()0f x ≥等价于e x a x ≥，而()e 0x
h x x
=<在(),0∞-上恒成立，所以0a ≥.
当0x >时，()0f x ≥等价于e
x a x
≤，
而()2
e (1)
x x h x x -'=，
当01x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当1x >时，()()0,h x h x '>单调递增.所以()()min 1e h x h ==，所以e a ≤.综上，0e a ≤≤.故选：B 方法点睛：
不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③分类讨论参数.二、多选题
9．设随机变量X 的可能取值为1,2,,n ⋅⋅⋅，并且取1,2,,n ⋅⋅⋅是等可能的.若()30.4P X <=，则下列结论正确的是（）
A ．5n =
B ．()10.1P X ==
C ．()3E X =
D ．()3
D X =【正确答案】AC
【分析】由等可能得出1
(),1,2,,P X k k n n
=== ，结合(3)(1)(2)P X P X P X <==+=求出n 值，
再由期望公式和方差公式计算后判断.
【详解】由题意1
()1,2,,P X k k n n === ，
2
(3)(1)(2)0.4P X P X P X n
<==+===，5n =，1
(1)0.25
P X ==
=，1
()(12345)35
E X =++++⨯=，
222221
()[(13)(23)(33)(43)(53)]25
D X =-+-+-+-+-=.
故选：AC.
10．已知10
21(0)a x ⎛
⎫> ⎝
⎭的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（
）
A ．奇数项的二项式系数和为256
B ．第6项的系数最大
C ．存在常数项
D ．有理项共有6项
【正确答案】BCD
【分析】令1x =即可求出a 的值，再写出展开式的通项，再一一判断.【详解】解：令1x =，得()10
11024a +=，则1a =或3a =-（舍去）.
∴10
21x ⎫⎪⎭的展开式的通项5
1052110
1021C C r
r
r r
r
r T x x --+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
.对于A ，
()
0110
1010101011C C C 251222
+++=⨯= ，故A 错误；对于B ，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B 正确；对于C ，令5
502
r -=，解得2r =，故存在常数项为第三项，故C 正确；
对于D ，当0,2,4,6,8,10r =时，为有理项，故有理项共有6项，故D 正确.
故选：BCD.
11．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（
）
A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法
B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种
C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种
D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【正确答案】BCD
【分析】由分步乘法计数原理即可判断A ，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B ，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C ，由枚举法可判断D ，即可得解.
【详解】对于A ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有44256=种放法，故A 错误；
对于B ，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个
小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有()22
42118C A ⋅+=种放法，故B 正确；
对于C ，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放
1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有112314323
4
2
2
144C C C A C A ⋅⋅⋅⋅=种放法，故C 正确；对于D ，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若()2,1,4,3代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，
1，4，3，列出所有符合要求的情况：()2,1,4,3，()4,1,2,3，()3,1,4,2，()2,4,1,3，()3,4,1,2，()4,3,1,2，()2,3,4,1，()3,4,2,1，()4,3,2,1，共9种放法，故D 正确.
故选：BCD.
本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题.
12．已知函数()y f x =在R 上可导且(0)=1f ，当1x ≠-时，其导函数()f x '满足
(1)[()()]0x f x f x '+->，对于函数()
()e x
f x
g x =
，下列结论正确的是（）
A ．函数()g x 在()1,-+∞上为增函数
B ．=1x -是函数()g x 的极大值点
C ．2e e (e)e (2)f f >
D ．函数()g x 有2个零点
【正确答案】AC
【分析】由条件判断()g x 的单调性后对选项逐一判断
【详解】由题意得()()
()e
x
f x f x
g x ''
-=，而(1)[()()]0x f x f x '+->当1x >-时，()0g x '>，当1x <-时，()0g x '<，故()g x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，
=1x -是函数()g x 的极小值点，故A 正确，B 错误，
对于C ，由单调性可知(2)(e)g g <，则2e e (e)e (2)f f >，故C 正确，对于D ，(1)e (1)g f -=-，若(1)0f ->，则函数()g x 无零点，故D 错误，故选：AC 三、填空题
13．一颗骰子连续掷两次，设事件A =“两次的点数之和大于6”，B =“两次的点数均为偶数”，则
()|P B A ___________.
【正确答案】
27
【分析】分别求出事件,A B 及AB 所包含基本事件的个数，再根据古典概型求得()(),P A P AB ，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】解：由题知，基本事件有66⨯=36种，
两次的点数之和小于等于6有()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,2,2,3，
()()()()()()()2,4,3,1,3,2,3,3,4,1,4,2,5,1共15种，
则事件A 出现的情况有3615-=21种，则()2173612
P A =
=，事件B 出现的情况有()()()()()()()()()2,2,2,4,2,6,4,2,4,4,4,6,6,2
,6,4,6,6共9种，事件A ，B 同时出现的情况有6种，所以()61366
P AB ==，所有()()()2
|7
P AB P B A P A =
=.故答案为.
2
7
14．若12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差为2，则123x +，223x +，…，23n x +的方差为______．
【正确答案】8
【分析】根据方差的性质进行求解即可.【详解】因为12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差为2，
所以123x +，223x +，…，23n x +的方差为2228⨯=，故8
15．()4
2123x x +-的展开式中含5x 项的系数为_______.
【正确答案】120
【分析】由题设得()
4
244123(1)(13)x x x x +-=-+，应用二项式定理写出所有含5x 项，将系数相加
即可.
【详解】由题意，()
4
244123(1)(13)x x x x +-=-+，
∴展开式中含5x 项为
1442233332244144444444()(3)()(3)()(3)()(3)
C x C x C x C x C x C x C x C x -⋅+-⋅+-⋅+-⋅5555532464821612120x x x x x =-+-+=.
∴展开式中含5x 项的系数为120.故120
16．若曲线()ln y x a x =-有两条过坐标原点的切线，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】()
2
,e
-∞-【分析】先设切点坐标，再利用导数的几何意义，表示切线方程，然后根据切线方程过原点建立关于参数的方程（有两个根），利用导数分析符合条件的情况即可.【详解】函数()ln y x a x =-的定义域为()0,∞+，则ln x a
y x x
-'=+．设切点坐标为(),m n ，0m >，有()ln n m a m =-，则切线方程为()ln m a y n m x m m -⎛
⎫-=+- ⎪⎝
⎭．
又因为切线过原点，
所以()0ln 0m a n m m m -⎛
⎫-=+- ⎪⎝⎭
，即()ln ln m a m m m m a -=+-，
整理得ln 0a m m a +-=，即关于m 的方程ln 0a m m a +-=有两个不等实根．解法一：()ln 1m a m -=-，当e m =时，方程无解．
当e m ≠时，即1ln m
a m
=-．
令()1ln m
g m m
=
-，0m >，则()()22ln 1ln m g m m -'=-，
当()0,e m ∈时，()0g m '>，函数()g m 在()0,e 上单调递增；当()2
e,e
m ∈时，()0g m '>，函数()g m 在()2
e,e 上单调递增；
当()2e ,m ∈+∞时，()0g m '<，函数()g m 在()2
e ,+∞上单调递减，
所以当2e m =时，函数()g m 取得极大值()2
2
e e
g =-．
当()0,e m ∈时，()0g m >，
当()e,m ∈+∞时，()0g m <，且当e m +→时，()g m →-∞，当m →+∞时，()g m →-∞，所以实数a 的取值范围是()2
,e -∞-．
解法二：令()ln f m a m m a =+-，0m >，则()1a a m f m m m
+'=
+=，当0a ≥时，()0f m '>恒成立，函数()f m 单调递增，则函数()f m 至多有一个零点，因此不合题意；
当a<0时，令()0f m '=，即m a =-，
当()0,m a ∈-时，()0f m '<，函数()f m 在()0,a -上单调递减，且当0m →时，()f m →+∞；当(),m a ∈-+∞时，()0f m '>，函数()f m 在(),a -+∞上单调递增，且当m →+∞时，()f m →+∞，所以函数()f m 的极小值为()()()()ln ln 2f a a a a a a a -=-+--=--⎡⎤⎣⎦．若关于m 的方程ln 0a m m a +-=有两个不等实根，即函数()f m 有两个零点，则
()()ln 20f a a a -=--<⎡⎤⎣⎦，又因为0a <，所以()ln 20a -->，即2e a ->，所以2e a <-，所以实
数a 的取值范围是()2
,e -∞-．
故()
2
,e
-∞-四、解答题
17．已知函数2()cos 2cos f x x x x =+.
（I ）求()f x 最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在闭区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【正确答案】（I ）π；（Ⅱ）3,0.
【分析】（Ⅰ）先化简整理原式，通过周期公式即得答案；
（Ⅱ）先判断()f x 在,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的增减性，从而可求出最大值和最小值.
【详解】（Ⅰ）()2
cos 2cos f x x x x
=+cos21
x x ++
2sin 21
6x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭所以()f x 的最小正周期22
T π
π=
=.（Ⅱ）因为()2sin 2+16f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间,63ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是减函数，
又36f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，23f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,
故函数()f x 在区间,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，最小值为0.
本题主要考查三角恒等变形，最值问题，意在考查学生的转化能力，分析能力以及计算能力，难度不大.
18．已知数列{}n a 中，12a =，且对任意*n ∈N ，都有121n n a a +=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若()21n n b n a =⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
【正确答案】(1)1
21
n n a -=+(2)1
(1)22
+=-⋅+n n S n 【分析】(1)构造等比数列求通项；(2)利用错位相减法求和.【详解】（1）由121n n a a +=-得()1121n n a a +-=-，111a -=，所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，所以1
1112
2n n n a ---=⨯=，所以121n n a -=+.
（2）由（1）得1222n n n b n n -=⋅=⋅，
因为12n n S b b b =+++ ，
所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ，
231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ，以上两式相减得121112(12)2222
2(1)2212
n n n n n n n n n S +++-=+++-⋅=--⋅=-⋅-- ，所以1(1)22+=-⋅+n n S n .19．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1DD ，BD 的中点.
(1)求异面直线EF 与BC 所成的角的余弦值；
(2)求三棱锥11C B D F -的体积.
【正确答案】(2)43
【分析】(1)建立空间直角坐标系，求出,,E F B C ，四点的坐标，并求出向量EF BC ，的坐标，用
夹角公式求异面直线EF 与BC 所成的角的余弦值；
(2)先由1111B B D C D C ==求出11B D C S △，再求平面11D B C 的法向量n 的坐标和向量1D F 的坐标，从而可用点到平面的距离公式求点F 到平面11D B C 的距离d ，因为三棱锥11C B D F -与三棱锥11F B D C -是同一个三棱锥，则可用三棱锥的体积公式求出三棱锥11F B D C -的体积，即为三棱锥11C B D F -的体积.
【详解】（1）如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1DD ，BD 的中点，
∴()()()()0,0,11,1,0,2,2,0,0,2,0,
E F B C ，∴()()1,1,12,0,0EF BC =-=- ，
.设异面直线EF 与BC 所成的角为π0,2θθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，,则23cos cos 332EF BC EF BC EF BC
θ⋅-====⨯⋅ ，.∴异面直线EF 与BC 所成的角的余弦值为33
.（2）∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，111122B D B C D C ===，∴111π132222sin 222223232B D C S =⨯⨯=⨯⨯⨯= ，∵()()()()112,2,2,0,0,2,0,2,0,1,1,0B D C F ，
∴()()()11112,2,00,2,21,1,2D B D C D F ==-=- ，，.
设平面11D B C 的法向量为(),,n x y z = ，则11100
n D B n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,∴220220
x y y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，则可取()1,1,1n =-- ,∴点F 到平面11D B C 的距离12333
n D F d n ⋅== .∴三棱锥11C B D F -的体积11111111234233333
C B
D F F B D C B D C V V S d --==⨯=⨯⨯= .20．我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，
而乙公司能正确回答每道题目的概率均为23
，甲､乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【正确答案】(1)45；(2)甲公司竞标成功的可能性更大．
【分析】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果.
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断.
【详解】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；所求概率2134243366
C C C 4.C C 5P =+=（2）设甲公司正确完成面试的题数为X ，则X 的取值分别为1,2,3．
()()()122130424242333666C C C C C C 1311,2,3C 5C 5C 5
P X P X P X =========．则X 的分布列为：X
123P 1
53515
()1311232555
E X ∴=⨯+⨯+⨯=，()2221312(12)(22)(32)5555
D X =-⨯+-⨯+-⨯=；设乙公司正确完成面试的题为Y ，则Y 取值分别为0,1,2,3．
()1027P Y ==，()2
132121C 339
P Y ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2232142C 339P Y ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()3283327P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则Y 的分布列为：
Y 0123
P 1272949827
()124801232279927E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．()222212482(02)(12)(22)(32)2799273D Y =-⨯
+-⨯+-⨯+-⨯=．由()()()(),E X E Y D X D Y =<可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
21．已知椭圆:M 2222
1x y a b +=()0a b >>
经过124⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和⎛ ⎝
⎭两点．（1）求椭圆M 的标准方程及离心率．
（2）若直线3y kx =+与椭圆M 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使直线PA 与PB 的斜率之和为零？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）2214x y +=，e =（2）存在点10,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程，解方程组即可得出椭圆的方程，根据公式求出椭圆离心率；
（2）设()0,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程消元得一元二次方程，得韦达定理，由0PA PB k k +=表示出t ，结合韦达定理化简求值即可得出定点．
【详解】（1）由题意可得22
22
1151,416131,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，21b =，故椭圆M
的标准方程为221
4x y +=．椭圆M 的离心率2
c e a =．（2）假设存在满足条件的点P ，则0PA PB k k +=．设()0,P t ，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立221,43,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()224124320k x kx +++=，
则1222441k x x k +=-
+，1223241
x x k =+．因为0PA PB k k +=，所以12120y t y t x x --+=，所以122112121223x y x y kx x t x x x x +==+++．将1222441k x x k +=-+，1223241x x k =+代入得，2121226421413324341
k kx x k t k x x k +=+=+=+-+．
综上，存在点10,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使直线PA 与PB 的斜率之和为零．本题主要考查求椭圆的标准方程和离心率，考查直线与椭圆的位置关系中的定点、定值问题，属于中档题．
22．设函数()22ln f x x bx a x =+-．
（1）当5,1a b ==-时，求()f x 的单调区间；
（2）若对任意[]3,2b ∈--，都存在()21,e x ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数
a 的取值范围．
【正确答案】(1)减区间为50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，递增区间为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(2)2a >.【分析】（1）求解时先借助导数求导变形解不等式求出单调区间；
（2）借助导数与函数单调性的关系，先构造函数()[]22ln ,3,2g b xb x a x b =+-∈--，再求其
[]3,2b ∈--上的最大值和最小值，然后构造函数()222ln h x x x a x =--，再分进行分析推证，进而求得实数a 的取值范围.
【详解】（1）当5,1a b ==-时，()225ln f x x x x =--，其定义域为()0,+∞，
()()()245154541x x x x f x x x x x
-+--='=--=，由()0f x '<，得514x -<<，由()0f x '>，得1x <-或54
x >，因为定义域为()0,+∞，所以()f x 的递减区间为50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()f x 的递增区间为5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）令()[]22ln ,3,2g b xb x a x b =+-∈--，则()g b 为增函数，
根据题意，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,e x ∈，使得()0f x <成立，则
()()2max 222ln 0g b g x x a x =-=--<在()21,e 上有解，
令()222ln h x x x a x =--，只需存在()201,e x ∈，使得()()010h x h <=即可，
因为()24242a x x a h x x x x ='--=--，又令()()
2242,1,e x x x a x ϕ=--∈，()()2820,1,e x x x ϕ=->∈'，所以()x ϕ在()21,e 上单调递增，所以()()12x a ϕϕ>=-，
当2a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，所以()h x 在()21,e 上单调递增，所以()()10h x h >=，不符合
题意．
当2a >时，()()242120,e 4e 2e a a ϕϕ=-<=--，
若()2e 0ϕ≤，即()42224e 2e 2e e 12a ≥-=->时，()0x ϕ<，即()0h x '<，()h x 在()21,e 上单调递
减，又()10h =，所以存在()201,e x ∈，使得()00x ϕ<，
若()2e 0ϕ>，即4224e 2e a <<-时，在()21,e 上存在实数m ，使得()0m ϕ=，即()1,x m ∈时，()()0,0x h x ϕ'<<，所以()h x 在()1,m 上单调递减，
所以()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，
综上所述，当2a >时，对任意[]3,2b ∈--，存在()21,e x ∈，使得()0f x <成立.
导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具，本题就是以含参数,a b 的函数解析式为背景，考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时先借助导数求导变形解不等式求出单调区间；第二问借助题设条件构造函数运用导数的知识求解从而使得问题简捷巧妙获解.。