【华东师大版】初二数学上期中试题带答案(1)

一、选择题
1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）
A ．13
B ．32
C ．40
D ．20 2．如图，ABC 中，45ABC ︒∠=，CD AB ⊥于D ，B
E 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点
F ，DH BC ⊥于H ，交BE 于
G ，下列结论：①BD CD =；②AE BG =；③2CE BF =；④AD CF BD +=．其中正确的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
3．如图，在ABC 中，34B ∠=︒，BCA ∠的平分线CD 交AB 于点D ，若DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，则A ∠的度数为（ ）
A ．90°
B ．68°
C ．78°
D ．88°
4．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于
12BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与
MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140° 5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A ．3的平方根是3
B ．5是无理数
C ．1的立方根是1
D ．全等三角形的周长相等
6．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠A ＝105°，∠D ＝25°，则∠ABE 等于（ ）
A ．65°
B ．60°
C ．55°
D ．50° 7．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( ) A ．三条中线的交点
B ．三条边的垂直平分线的交点
C ．三条高的交点
D ．三条角平分线的交点
8．对于ABC 与DEF ，已知∠A=∠D ，∠B=∠E ，则下列条件：①AB=DE ；②AC=DF ；③BC=DF ；④AB=EF 中，能判定它们全等的有（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④ 9．若一个三角形的三边长分别为3，7，x ，则x 的值可能是（ ） A ．6
B ．3
C ．2
D ．11 10．在ABC 中，若B 与C ∠互余，则ABC 是（ ）三角形 A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形 11．如图，在五边形ABCD
E 中，AB ∥CD ，∠A ＝135°，∠C ＝60°，∠D ＝150°，则∠E 的大
小为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75° 12．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．120a b =+
C ．180b a =+︒
D ．360b a =+︒ 二、填空题
13．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．
14．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．
15．如图，AC//BD ，OA ，OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，垂足为E ，如果OE 5=，那么AC 与BD 的距离是________
16．如图，已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，且∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为_____度．
17．如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ，MB ⊥OQ ，垂足为A ，B ，S △AOM =8cm 2，OA=4cm ，则MB=___．
18．如图，ACD ∠是ABC 的外角，ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，1A BC ∠的平分线与1A CD ∠的平分线交于点2A ，…，1n A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，设=A θ∠，则2=A ∠___________，=n A ∠___________．
19．一块含45°角的直角三角板如图放置，其中，直线//a b ，185∠=︒，则2∠=______度．
20．如图，线段AD ，BE ，CF 两两相交于点H ，I ，G ，分别连接AB ，CD ，EF ．则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____．
三、解答题
21．在等边三角形ABC 中，点E 为线段AB 上一动点，点E 与A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ．
（1）当E 为边AB 的中点时，如图1所示，确定线段AE 与BD 的大小关系，并证明你的结论；
（2）如图2，当E 不是边AB 的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD 与AE 的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E 作//EF BC 交AC 于点F ） （3）在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ，ABC 的边长为1，AE ＝2，请直接写出CD 的长．
22．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．
23．已知：如图，BAD CAE ∠=∠，AB AD =，AC AE =．
（1）求证：ABC ADE △≌△．
（2）若42,86B C ∠=︒∠=︒，求DAE ∠的度数．
24．如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，DE//BC ，点F 是AD 上一点，FE 的延长线交BC 延长线BH 于点G ．
（1）若∠DBE ＝40°，∠EBC ＝35°，求∠BDE 的度数；
（2）求证：∠EGH ＞∠ADE ；
（3）若点E 是AC 和FG 的中点，△AFE 与△CEG 全等吗？请说明理由．
25．如图，AF ，AD 分别是ABC 的高和角平分线，且34B ∠=︒，76C ∠=︒，求DAF ∠的度数．
26．()1若n 边形的内角和等于它外角和的3倍，求边数n ．
()2已知a ，b ，c 为三角形三边的长，化简：a b c b c a --+--．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE ，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A ，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．
【详解】
解：∵D 是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，
∴ED 垂直平分AC ，
∴AE=CE ，
∴∠ECD=∠A ，
∵∠A=36°，
∴∠ECD=36°，
∵AB=AC ，∠A=36°，
∴∠B=1
2
（180°-36°）=72°，
∵∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∵AE=CE，ED⊥AC，∴CD=1
2
AC=3，
在Rt△CED中，
CE=2222
2313
DE CD
+=+=
∴BC=13，
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键．
2．B
解析：B
【分析】
根据∠ABC＝45°，CD⊥AB可得出BD＝CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，
得出CE＝AE＝1
2
AC，又因为BF＝AC所以CE＝
1
2
AC＝
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等
腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt △CEG 中，
∵CG 是斜边，CE 是直角边，
∴CE ＜CG ．
∵CE ＝AE ，
∴AE ＜BG ．故②错误．
在Rt △BEA 和Rt △BEC 中
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ．
又∵BE ＝BE ，∠BEA ＝∠BEC ＝90°，
∴Rt △BEA ≌Rt △BEC ．
∴CE ＝AE ＝12
AC ． 在Rt △DFB 和Rt △DAC 中，
∵∠DBF ＝90°﹣∠BFD ，∠DCA ＝90°﹣∠EFC ，且∠BFD ＝∠EFC ，
∴∠DBF ＝∠DCA ．
又∵∠BDF ＝∠CDA ＝90°，BD ＝CD ，
∴△DFB ≌△DAC ．
∴BF ＝AC ，
∴CE ＝12AC ＝12
BF ， ∴2CE ＝BF ；
故③正确；
由③可得△DFB ≌△DAC ．
∴BF ＝AC ；DF ＝AD ．
∵CD ＝CF +DF ，
∴AD +CF ＝BD ；故④正确；
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
3．C
解析：C
【分析】
由垂直平分线的性质，可得∠DCB=34B ∠=︒，由角平分线的定义得∠ACB=2∠DCB=68°，进而即可求解．
【详解】
∵DE 垂直平分BC 交BC 于点E ，
∴DB=DC ，
∴∠DCB=34B ∠=︒，
∵CD 是BCA ∠的平分线，
∴∠ACB=2∠DCB=68°，
∴∠A=180°-34°-68°=78°，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练垂直平分线的性质定理，是解题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
5．C
解析：C
【分析】
根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可．
【详解】
A 33的逆命题是：33的平方根，是假命题；
B
C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题；
D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题；
故选：C ．
【点睛】
此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理．
6．D
解析：D
【分析】
依据SAS 即可得判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠D ＝∠E ＝25°，由三角形内角和定理可求出答案．
【详解】
解：在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠D ＝∠E ，
∵∠D ＝25°，
∴∠E ＝25°，
∴∠ABE ＝180°﹣∠A ﹣∠E ＝180°﹣105°﹣25°＝50°．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC 的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.
【详解】
解:∵到ABC 的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，
故选：D.
【点睛】
此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
8．A
解析：A
【分析】
根据已知条件，已知两角对应相等，所以要证两三角形全等，可以根据角边角、角角边、边角边判定定理添加条件，再根据选项选取答案即可；
【详解】
题意已知：∠A=∠D ，∠B=∠E ，
∴①根据“ASA”可添加AB=DE ，故①正确；
②根据“AAS” 可添加AC=DF ，故②正确；
③根据“AAS” 可添加BC=EF ，故③错误；
④根据“ASA”可添加AB=DE ，故④错误；
所以补充①②可判定两三角形全等；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定，根据不同的判定方法可选择不同的条件，所以对三角形全等的判定定理要熟练掌握并归纳总结；
9．A
解析：A
【分析】
根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出x 的取值范围，得到答案．
【详解】
解：∵三角形的三边长分别为3，7，x ，
∴7-3＜x ＜7+3，
即4＜x ＜10，
四个选项中，A 中，4＜6＜10，符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
10．B
解析：B
【分析】
由B 与C ∠互余，结合180A B C ∠+∠+∠=︒，求解A ∠，从而可得答案．
【详解】 解：B 与C ∠互余，
90B C ∴∠+∠=︒，
180A B C ∠+∠+∠=︒，
∴∠=︒，
A
90
∴是直角三角形，
ABC
故A、C、D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是两个角互余的概念，三角形的内角和定理的应用，二元一次方程组的解法，掌握以上知识是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小．
【详解】
解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故选：D
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角和即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4-2）•180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
二、填空题
13．【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对
应点为N 由题意得：∠BAM ＝∠CAMAB ＝AN ＝2 解析：43 【分析】 过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，首先证明MP ＝MQ ，求出AC 的长度，运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ，求出MP 即可解决问题．
【详解】
如图，设点B 的对应点为N ，由题意得：
∠BAM ＝∠CAM ，AB ＝AN ＝2；
过点M 作MP ⊥AC ，MQ ⊥AB ，
则MP ＝MQ ，
设MP ＝MQ=x ，
∵AN ＝NC ，
∴AC ＝2AN ＝4；
∵S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM ，
∴12AB•AC ＝12AB•MQ ＋12
AC•MP ， ∴2×4＝2x ＋4x ，解得：x ＝
43， 故答案为43
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
14．或或【分析】要判定△ABC ≌△ADC 已知AC 是公共边具备了一组边和一组角对应相等故添加CB=CD ∠BAC=∠DAC ∠B=∠D 后可分别根据SASASAAAS 能判定△ABC ≌△ADC 【详解】解：添加CB
解析： BC DC =或CAB CAD ∠=∠或B D ∠=∠
【分析】
要判定△ABC ≌△ADC ，已知ACB ACD ∠=∠，AC 是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，故添加CB=CD 、∠BAC=∠DAC 、∠B=∠D 后可分别根据SAS 、ASA 、AAS 能判定△ABC ≌△ADC ．
【详解】
解：添加CB=CD ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据SAS ，能判定△ABC ≌△ADC ； 添加∠BAC=∠DAC ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据ASA ，能判定△ABC ≌△ADC ； 添加∠B=∠D ，结合ACB ACD ∠=∠，AC=AC ，根据AAS ，能判定△ABC ≌△ADC ； 故添加的条件是 BC DC =或CAB CAD ∠=∠或B D ∠=∠．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15．【分析】过点作于作于利用平行线的性质可证得OM ⊥BD 进而可证得MN 为AC 和BD 的距离根据角平分线的性质可知OE=OM=OE 即可求得MN 的长度
【详解】解：如图过点作于作于∵分别平分和∴又∥∴又∴三点共
解析：10
【分析】
过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ，利用平行线的性质可证得OM ⊥BD ，进而可证得MN 为AC 和BD 的距离，根据角平分线的性质可知OE=OM=OE ，即可求得MN 的长度．
【详解】
解：如图，过点O 作OM AC ⊥于M ，作ON BD ⊥于N ．
∵OA 、OB 分别平分BAC ∠和ABD ∠，OE AB ⊥，
∴OM OE ON 5===，
又 AC ∥BD ，OM AC ⊥，
∴OM BD ⊥，又ON BD ⊥，
∴M ，O ，N 三点共线，
∴ AC 与BD 之间的距离为MN=OM ON 10+=．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查求平行线间的距离、角平分线的性质、八个基本事实，熟练掌握角平分线的性质，作出AC 和BD 之间的距离是解答的关键．
16．100【分析】连接AO 延长交BC 于D 根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC 再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得
∠BOC=2∠A即可求解【详解】解：连接AO延长交BC于D∵O为△A
解析：100
【分析】
连接AO延长交BC于D，根据线段垂直平分线的性质可得OB=OA=OC，再根据等腰三角形的等边对等角和三角形的外角性质可得∠BOC=2∠A，即可求解．
【详解】
解：连接AO延长交BC于D，
∵O 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，∠OCA=∠OAC，
∵∠BOD=∠OBA+∠OAB=2∠OAB，∠COD=∠OCA+∠OAC=2∠OAC，
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2∠BAC，
∵∠BAC=50°，
∴∠BOC=100°．
故答案为：100．
【点睛】
本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握它们的性质和运用是解答的关键．
17．4cm【分析】根据求得AM的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM平分∠POQ∴故答案为：4cm【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解
解析：4cm
【分析】
根据
1
2
AOM
S OA AM
=⋅求得AM的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求
解．【详解】
解：
11
48
22
AOM
S OA AM AM
=⋅=⨯=，
解得4cm
AM=，∵OM平分∠POQ，∴4cm MB AM
==，故答案为：4cm．
【点睛】
本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 18．【分析】根据三角形的外角性质可得
∠ACD=∠A+∠ABC ∠A1CD=∠A1+∠A1BC 根据角平分线的定义可得
∠A1BC=∠ABC ∠A1CD=∠ACD 整理得到∠A1=∠A 同理可得∠A2=∠A1从而判断 解析：4θ 2n
θ 【分析】
根据三角形的外角性质可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，根据角平分线的定义可得∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，整理得到∠A 1=12∠A ，同理可得∠A 2=12∠A 1，从而判断出后一个角是前一个角的12
，然后表示出∠A n 即可得答案． 【详解】
∵ACD ∠是ABC 的外角，∠A 1CD 是△A 1BC 的外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1+∠A 1BC ，
∵ABC ∠的平分线与ACD ∠的平分线交于点1A ，
∴∠A 1BC=
12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， ∴∠A 1=12
∠A ， 同理可得∠A 2=
12∠A 1=14∠A ， ∵∠A=θ，
∴∠A 2=4
θ， 同理：∠A 3=
12∠A 2=382θθ=， ∠A 4=
12∠A 3=4162θθ= ……
∴∠A n =2n θ
． 故答案为：
4θ，2
n θ 【点睛】 本题考查了三角形的外角性质及角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；熟记性质并准确识图，求出后一个角是前一个角的12
是解题的关键．
19．40【分析】如图（见解析）先根据直角三角板的定义可得再根据平行线的性质可得然后根据三角形的外角性质可得最后根据对顶角相等即可得【详解】如图由题意得：由对顶角相等得：故答案为：40【点睛】本题考查了平
解析：40
【分析】
∠=︒，再根据平行线的性质可得
如图（见解析），先根据直角三角板的定义可得445
∠=︒，然后根据三角形的外角性质可得340
=∠
1
585
∠=︒，最后根据对顶角相等即可得．
【详解】
∠=︒，
如图，由题意得：445
∠=︒，
a b，185
//
=︒，
∴∠∠=
55
18
∴∠=∠-∠=︒，
35440
∠=∠=︒，
由对顶角相等得：2340
故答案为：40．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
20．360°【分析】根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可【详解】解：
∵∠BHI=∠A+∠B∠DIF=∠C+∠D∠FGH=∠E+∠F∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B +∠C+∠D+∠E+∠
解析：360°
【分析】
根据三角形的外角性质和三角形的内角和求出即可．
【详解】
解：∵∠BHI=∠A+∠B，∠DIF=∠C+∠D，∠FGH=∠E+∠F，
∴∠BHI+∠DIF+∠FGH=∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
∵∠BHI+∠DIF+∠FGH=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题考查了三角形的外角和定理，三角形的外角性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角和等于360°．
三、解答题
21．（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.
【分析】
（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；
（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；
（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3
【详解】
解：（1）AE＝BD；
证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，
∴CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝30°．
∵DE＝CE，
∴∠D＝∠ECB＝30°．
∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，
∴∠DEB＝30°，
∴∠D＝∠DEB，
∴BD＝BE．
∵AE＝BE，
∴AE＝BD；
（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；
证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD；
（3）CD的长为3或1
如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，
∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，
∴∠CEF＝60°＋∠BEC．
∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，
∴∠CEF＝∠EDB．
又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，
∴△CEF≌△EDB（AAS），
∴BD＝EF＝2，
∴CD＝BD－BC＝1，
如图3，同理可得CD＝3，
综上所述，CD的长为3或1
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．
22．15°
【分析】
根据等边三角形的性质可得∠ACB的度数，并证得 AD是BC的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB的度数，即可求得结
论．
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，
∴60ACB ∠=︒，BD CD =，
∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上
∴BE CE =．
∵45EBC ∠=︒，
∴45ECB EBC ∠=∠=︒，
∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）52︒
【分析】
（1）先证明∠BAC=∠DAE ，即可根据SAS 证得结论；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再根据全等三角形的性质得到答案．
【详解】
（1）∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ．
即∠BAC=∠DAE ．
在△ABC 和△ADE 中
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴ABC ADE △≌△；
（2）∵42,86B C ∠=︒∠=︒，
∴18052BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒．
∵ABC ADE △≌△，
∴52DAE BAC ∠=∠=︒．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
24．（1）∠BDE ＝105°；（2）见解析；（3）全等，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠DEB=∠EBC=35°，再根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的外角性质得出∠EGH ＞∠ABC ，又根据平行线的性质得出
∠ABC=∠ADE ，即可得出答案；
（3）根据全等三角形判定的“SAS”定理即可得到结论．
【详解】
（1）解：∵DE//BC ，∠EBC ＝35°，
∴∠DEB ＝∠EBC ＝35°，
又∵∠BDE+∠DEB+∠DBE ＝180°，∠DBE ＝40°，
∴∠BDE ＝105°；
（2）证明：∵∠EGH 是△FBG 的外角，
∴∠EGH ＞∠ABC ，
又∵DE//BC ，
∴∠ABC ＝∠ADE ，
∴∠EGH ＞∠ADE ；
（3）全等．
证明：E 是AC 和FG 的中点，
∴AE ＝CE ，FE ＝GE ，
在△AFE 和△CEG 中，
AE CE AEF CEG FE GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AFE ≌△CGE （SAS ）．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质的应用，全等三角形的判定，三角形内角和定理，能运用三角形外角性质进行推理是解此题的关键．
25．21︒
【分析】
运用三角形的内角和定理即可求出∠BAC 的度数；根据角平分线的定义、三角形的内角和定理的推论以及直角三角形的两个锐角互余即可求出∠FAC 的度数，再由
DAF DAC FAC =-∠∠∠即可得出结论．
【详解】
解：∵AF 是ABC 的高，
∴90AFC ∠=︒，
∴90907614FAC C ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，
∴180180763470BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∵AD 是ABC 的角平分线， ∴11703522
DAC BAC ==⨯︒=∠∠︒， ∴21DAF DAC FAC =-∠=∠∠︒．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 26．()18；()22c ．
【分析】
（1）根据多边形的内角和与外角和公式列出方程即可求解；
（2）根据三角形的三边关系可得a c b +>，b c a +>，再根据化简绝对值的方法即可求解．
【详解】
解：()1由题意得：()18023603n ︒-=︒⨯，
解得：8n =．
()2∵a ，b ，c 为三角形三边的长，
∴a c b +>，b c a +>， ∴a b c b c a --+--()()2a b c b c a b c a a c b c =-++-+=+-++-=．
【点睛】
此题主要考查多边形的内角和与外角和、三角形的三边关系的应用，解题的关键是熟知多边形的性质及去绝对值的方法．。