2021_2022学年新教材高中数学阶段提升课第一课空间向量与立体几何课件新人教B版选择性必修第一册

＝－27 7
，
所以 sin
〈 B1C1 ，n〉＝
21 7
，
所以二面角 B1-CE-C1 的正弦值为
21 7
.
(3)由(1)知：A→E ＝(0，1，0) ， EC1 ＝(1，1，1) ， 设E→M ＝λ EC1 ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，
所以A→M ＝A→E ＋E→M ＝(λ，λ＋1，λ)， 因为 AA1⊥平面 ABCD， AB⊂ 平面 ABCD， 所以 AA1⊥AB，
设平面 PBC 的一个法向量为 m＝(x1，y1，z1)，
P→B·m＝0， 则P→C·m＝0，
即aaxx11＋－abyz11－＝b0z，1＝0，
得 y1＝0，令 x1＝1，则 z1＝ba ， 所以 m＝1，0，ba ， 因为D→A ·m＝(0，a，0)·1，0，ba ＝0， 所以D→A ⊥m，即平面 PBC⊥平面 PCD.
2 6
，求
线段 AM 的长．
【解析】(1)以 A 为原点可建立如图所示空间直角坐标系．
则 A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)， B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)，
所以 B1C1 ＝(1，0，－1)，C→E ＝(－1，1，－1)， 所以 B1C1 ·C→E ＝1×(－1)＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，
由 C1C·A→D
＋C→D
·A→D
x ＝2
x2 －2
，可得方程 1－x2＋x－2 x2
＝0，
2 解得 x＝1 或 x＝－3 (舍)，
CD 因此，当CC1 ＝1 时，能使 A1C⊥平面 C1BD.
答案：1
3．在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，E 是 PA 的中点，求证： (1)PC∥平面 EBD； (2)平面 PBC⊥平面 PCD.
设O→G ＝xO→A ＋yO→B ＋zO→C ，则 x，y，z 的值分别是( )
1
1
1
A．x＝3 ，y＝3 ，z＝3
1
1
1
B．x＝3 ，y＝3 ，z＝6
1
1
1
C．x＝3 ，y＝6 ，z＝3
1
1
1
D．x＝6 ，y＝3 ，z＝3
【解析】选 D.因为O→G ＝O→M ＋M→G ＝12 O→A ＋23 M→N ＝21 O→A ＋23 (M→A ＋A→N )＝21
阶段提升课 第一课 空间向量与立体几何
思维导图·构建网络
考点整合·素养提升
空间向量的运算 题组训练一 1．已知直三棱柱 ABC­A1B1C1 的所有顶点都在球 O 的表面上，∠BAC＝90°，AA1＝ BC＝2，则A→O ·(A→B ＋A→C )＝( ) A．1 B．2 C．2 2 D．4
【解析】选 B.依题意，O 在底面 ABC 的投影为△ABC 的外心 O1，因为∠BAC＝
【解析】选 D.a·μ＝1×(－1)＋1×0＋1×1＝0，得直线 l 的方向向量垂直于平面的法 向量，则直线 l 在平面 α 内或直线 l 与平面 α 平行．
2．如图，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且∠C1CB＝ ∠C1CD＝∠BCD＝60°，当CCCD1 的值等于________时，能使 A1C⊥平面 C1BD.
所以 B1C1⊥CE.
(2)由(1)知： B1C＝(1，－2，－1) ，C→E ＝(－1，1，－1) ，
因为 CC1⊥平面 A1B1C1D1， B1C1⊂ 平面 A1B1C1D1， 所以 CC1⊥B1C1， 又 B1C1⊥CE，CC1，CE⊂ 平面 CEC1， CC1∩CE＝C，所以 B1C1⊥平面 CEC1，
CD 【解析】不妨设CC1 ＝x，CC1＝1，若 A1C⊥平面 C1BD， 则 A1C⊥C1B，A1C⊥C1D，
而C1D ＝C1C＋C→D ， A1C＝A1D1＋D1C1＋C1C ＝A→D ＋D→C ＋C1C，由 A1C C1D＝0， 得(A→D ＋D→C ＋C1C)·(C1C＋C→D ) ＝ C1C2 －C→D 2＋ C1C·A→D ＋C→D ·A→D ＝0，
D→E·n＝0， 则D→B·n＝0，
即2ay＋b2z＝0， ax＋ay＝0.
令 x＝1，得 n＝1，－1，ba ，
因为P→C ·n＝(a，0，－b)·1，－1，ba ＝0， 所以P→C ⊥n，故 PC∥平面 EBD.
(2)由题意得，平面 PDC 的一个法向量为D→A ＝(0，a，0)，
又P→B ＝(a，a，－b)，P→C ＝(a，0，－b)，
所以平面 CEC1 的一个法向量为 B1C1 ＝(1，0，－1).
设平面 B1CE 的法向量 n＝(x，y，z)，
则 B1C
n
x
2y
z
0
，
CE n x y z 0
令 z＝1，则 y＝－2，x＝－3，
所以 n＝(－3，－2，1)，
所以 cos
〈
B1C1
，n〉＝
|
B1C1 B1C1 |
n ＝ －3－1 | n | 2× 14
90°，故 O1 为 BC 的中点，
A→ O
·(A→B
＋A→C
)＝2·A→O
· AO1 ＝2·
2
AO1 ＝2.
2．如图，已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是对边 OA，BC
的中点，点 G 在线段 MN 上，M→G ＝2G→N ，现用基向量O→A ，O→B ，O→C 表示向量O→G ，
又 AB⊥AD，AA1，AD⊂ 平面 ADD1A1， AA1∩AD＝A， 所以 AB⊥平面 ADD1A1，
所以平面 ADD1A1 的一个法向量为A→B ＝(0，0，2) .
设 θ 为直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角， 则 sin θ＝|cos 〈A→M ，A→B 〉|
＝||AA→→MM|··A|→A→BB||
O→ A
2 ＋3
1 ×2
O→A
2 ＋3
A→ N
5 ＝6
O→ A
2 ＋3
A→B＋→BN
5 ＝6
O→ A
2 ＋3
A→B
2 ＋3
1 ×2
B→ C
5 ＝6
O→A
2 ＋3
(O→B
－O→A
1 )＋3
(O→C
－O→B
)
1 ＝6
O→ A
1 ＋3
O→B
1 ＋3
O→ C
，
1
1
1
所以 x＝6 ，y＝3 ，z＝3 .
向量运算的技巧 (1)关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式， 理解向量运算法则、运算律及其几何意义． (2)熟记空间向量的坐标运算公式，设 aห้องสมุดไป่ตู้(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， ①加减运算：a±b＝(x1±x2，y1±y2，z1±z2). ②数量积运算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
③向量夹角：cos 〈a，b〉＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x12 ＋y21 ＋z21 x22 ＋y22 ＋z22
.
④向量长度：设 M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，
则| M1M2 |＝ （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2 .
利用空间向量证明平行、垂直关系 题组训练二 1．已知直线 l 的方向向量 a，平面 α 的法向量 μ，若 a＝(1，1，1)，μ＝(－1，0， 1)，则直线 l 与平面 α 的位置关系是( ) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．直线 l 在平面 α 内或直线 l 与平面 α 平行
＝ 2
2λ 3λ2＋2λ＋1
＝
2 6
，
解得 λ＝13 ， 则A→M ＝13，43，13 ， 所以|A→M |＝ 19＋196＋19 ＝ 2 ， 即 AM 的长为 2 .
用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为 0°<θ≤90°，需找到两异面直线的 方向向量，借助方向向量所成角求解． (2)直线与平面所成的角：要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ，先求这个平面 α 的法 向量 n 与直线 a 的方向向量 a 的夹角的余弦 cos 〈n，a〉，再利用公式 sin θ＝|cos 〈n，a〉|，求 θ. (3)二面角：有两个平面 α 与 β，分别作这两个平面的法向量 n1 与 n2，则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n1 与 n2 所成的角相等或互补．
1．证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． 2．证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直． (2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线． 3．证明面面平行的方法 证明这两个平面的法向量是共线向量．
4．证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直． 5．证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直． 6．证明面面垂直的方法 证明两个平面的法向量互相垂直．
利用空间向量求空间角 题组训练三 1．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，AD ＝1，AB＝ 2 ，△PAB 是等腰三角形，点 E 是棱 PB 的中点，则异面直线 EC 与 PD 所成角的余弦值是( )
3 A. 3
B．
6 3
C．
6 4
D．
2 2
【解析】选 B.因为 AB，AD，AP 两两垂直， 以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系．
又因为 PA＝AB＝ 2 ，AD＝1， 所以 A(0，0，0)，B( 2 ，0，0)，C( 2 ，1，0)， D(0，1，0)，P(0，0， 2 )，
因为 E 是棱 PB 的中点，所以 E
22，0，
2 2
，
所以E→C
＝
2 2 ，1，－
2 2
，P→D
＝(0，1，－
2 )，
所以 cos 〈E→C ，P→D 〉＝
您好，谢谢观看！
本课结束
【证明】如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC，DA，DP 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
设 DC＝a，PD＝b，则 D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)， A(0，a，0)，P(0，0，b)，E0，2a，2b .
(1)D→E ＝0，2a，b2 ，D→B ＝(a，a，0). 设平面 EBD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
1＋1 11
＝
6 3
.
2＋1＋2× 1＋2
2．如图所示，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱 A1A⊥底面 ABCD，AB∥CD， AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E 为棱 A1A 的中点．
(1)证明：B1C1⊥CE； (2)求二面角 B1-CE-C1 的正弦值；
(3)设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1A1 所成角的正弦值是