【浙教版】九年级数学下期中试卷(附答案)(1)

一、选择题
1．已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与自变量x 的部分对应值如表所示，下列说法正确的是（ ） x … 0 1 3 … y
…
1
3
1
…
A ．a ＞0
B ．x ＞1时y 随x 的增大而减小
C ．y 的最大值是3
D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=3的解是x 1=1，
x 2=2
2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0>时，x 的取值范围是（ ）
A ．x 2<-
B ．x 5>
C ．2x 5-<<
D ．x 2<-或x 5>
3．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么一次函数y ax bc =+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，抛物线22y x x m =-+交x 轴于点(),0A a ，(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的
顶点为D ，下列四个结论：①无论m 取何值，2CD =
恒成立；②当0m =时，
ABD △是等腰直角三角形；③若2a =-，则6b =；④()11,P x y ，()22,Q x y 是抛物线
上的两点，若1
21x x ，且122x x +>，则12y y <．正确的有（ ）
A ．①②③④
B ．①②④
C ．①②
D ．②③④
5．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，下列结论：①0abc >；②240b ac -≥；③80a c +<；④5320a b c -+<，正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）
A ．2
B ．2
C ．1
D ．
23
7．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（ ）
A ．
34
B ．
43
C ．
35
D ．
45
8．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了__米．(sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67) ( )
A ．415
B ．280
C ．335
D ．250
9．如图，边长为23的等边三角形AOB 的顶点B 在x 轴的正半轴上，点C 为AOB 的中心，将AOB 绕点O 以每秒60︒的速度逆时针旋转，则第2021秒，AOB 的中心C 的对应点2021C 的坐标为（ ）
A ．()0,2-
B ．
)
3,1-
C ．(3
D ．(3-
10．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，D ，E 分别为边AB ，BC
上一点，且满足:1:3AD DB =．连接DE ，将ADBE 沿DE 翻折，点B 的对应点F 恰好落在边AC 上，则CF 的长度为（ ）
A ．
195205
5
-
B ．
275
C ．
5205
5
+
D ．
315
11．Rt ABC 中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，sin A =（ ） A ．
5 B ．2
C ．
32
D ．
12
12．如图，一斜坡AB 的长为213m ，坡度为1:1.5，则该斜坡的铅直高度BC 的高为（ ）
A ．3m
B ．4m
C ．6m
D ．16m
二、填空题
13．将二次函数()2
y a x m k =++（0a ≠）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是()2
14y x =-+，则原函数的表达式是________． 14．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()3,0A ，()1,0B -．若
42P a b =+，Q a b =+，则P ，Q 的大小关系是__________（填“＞”或“＜”或“＝”）．
15．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是x ＝1，下列结论：①abc ＞0；②240b ac ->；③8a+c ＜0；④5a+b+2c ＞0，正确的有___（填序号）．
16．二次函数y=ax 2+c 的图象与y=3x 2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1，1)，则该二次函数的解析式为________________ ．
17．在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是AB 边上的中线，BC ＝8，CD ＝5，则tan ∠ACD ＝ ________ ．
18．如图，在一笔直的海岸线l 上有A B 、两个观测站，4AB km =，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5︒的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为_____km ．
19．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 为射线AD 上的一个动点，
AEF ∆沿着EF 折叠得到HEF ∆，连接AC ，分别交EF 和直线EH 于点N 和M ，已知30BAC ∠=︒，2BC =，若EMN ∆与AEF ∆相似，则AF 的长度是________．
20．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝12
13
，BC ＝12，则AD 的长_____．
三、解答题
21．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 的坐标为（﹣1，0），与y 轴交于点C （0，3），作直线BC ．动点P 在x 轴上运动，过点P 作PM ⊥x 轴，交抛物线于点M ，交直线BC 于点N ，设点P 的横坐标为m ．
（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，求线段MN 的最大值；
（3）当点P 在线段OB 上运动时，若△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，求m 的值；
（4）当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m 的值．
22．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y （件）是每件售价x （元）（x 为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：
（1）求y 关于x 的函数解析式．
（2）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润是900元？ 每件售价x /元 … 15 16 17 18 … 每天销售量y /件
…
150
140
130
120
…
23．如图，已知抛物线2
12
y x bx c =
++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 且AB ＝6，抛物线的对称轴为直线x ＝1
（1）抛物线的解析式；
（2）x 轴上A 点的左侧有一点E ，满足S △ECO ＝4S △ACO ，求直线EC 的解析式．
24．根据新冠疫情的防疫需要，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM 上的点A 处，另一端B 在边ON 上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时ABO ∠是45°，AB 长为20cm ．（参考数据：
sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，2 1.4≈，结果精确到1cm ）
（1）求固定点A 到窗框OB 的距离； （2）若测得37AOB ∠=︒，求OA 的长度．
25．如图，为了测量出楼房AB 的高度，从距离楼底B 处185米的点D （BD 为水平地面）出发，沿斜面坡度为1:2i =的斜坡DC 前进30米到达点C ，在点C 处测得楼顶A 的仰角为53︒．
（1）求点C 到水平地面的距离．（计算结果用根号表示）
（2）求楼房AB 的高度（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan 5343
︒≈
，5 2.236≈，结果精确到0.1米）．
26．如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头海岸AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45︒方向上；同一时刻，在A 处正东方向距离A 处50米的C 处测得轮船M 在北偏东37︒方向上．
（1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果保留整数米）
（2）如果轮船M 沿着南偏东22︒的方向就行，那么该轮船能否行至码头海岸AB 靠岸？请说明理由．（参考数据：sin370.60︒≈，tan370.75︒≈，sin 220.37︒≈，
tan220.40︒≈）
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
利用表中函数值的变换情况可判断抛物线的开口方向，则可对A 进行判断；利用x=0和x=3时函数值相等可得到抛物线的对称轴，则可对B 、C 进行判断；利用抛物线的对称性可得x=1和x=2的函数值相等，则可对D 进行判断． 【详解】
解：∵二次函数值先由小变大，再由大变小， ∴抛物线的开口向下，a ＜0，故A 错误； ∵抛物线过点(0，1)和(3，1)， ∴抛物线的对称轴为直线x=32
， ∴x=
3
2
对应的y 的值最大，故C 错误； ∵抛物线开口向下，
∴x ＞
3
2
时y 随x 的增大而减小，故B 错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=
3
2
，且抛物线经过点(1，3)， ∴点(1，3)关于对称轴的对称点为(2，3)，
∴关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=3的解是x 1=1，x 2=2，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性．熟练掌握二次函数的性质和抛物线的对称性是解决此题的关键．
2．C
解析：C 【分析】
根据函数图象求出与x 轴的交点坐标，再由图象得出答案．
【详解】
解：有函数图象观察可知，当25x -<<时，函数值0y >． 故选：C ． 【点睛】
本题考查二次函数与不等式．掌握数形结合思想是解题关键．
3．B
解析：B 【分析】
根据二次函数的图像，确定a ，b ，c 的符号，后根据一次函数k,b 的符号性质确定图像的分布即可． 【详解】
∵抛物线的开口向下， ∴a ＜0；
∵抛物线与y 轴交于正半轴， ∴c ＞0，
∵抛物线的对称轴在原点的左边，
∴2b
a -＜0，且a ＜0， ∴
b ＜0， ∴b
c ＜0；
∴y ax bc =+的图像分布在第二，第三，第四象限，
故选B ． 【点睛】
本题考查了二次函数的图像，一次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像与各系数之间的关系，一次函数中k ，b 与图像分布之间的关系是解题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
①先求出C 、D 的坐标，再根据两点距离公式求得CD ，便可判断； ②当m=0时，可得抛物线与x 轴的两个交点坐标和顶点坐标即可判断； ③根据抛物线与x 轴的一个交点坐标和对称轴即可得另一个交点坐标即可判断； ④根据二次函数图象当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2，根据离对称越远的点的纵坐标就越大得出结论． 【详解】
解：①∵y=x 2-2x+m=（x-1）2+m-1， ∴C （0，m ），D （1，m-1）， ∴
， 故①正确；
②当m=0时，抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为A （0，0）、B （2，0），顶点D （1，-1）， ∴
，
∴△ABD 是等腰直角三角形， 故②正确；
③当a=-2时，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-2，0）， ∵对称轴x=1，
∴另一个交点坐标为（4，0）， ∴b=4， 故③错误；
④观察二次函数图象可知： 当x 1＜1＜x 2，且x 1+x 2＞2， 则1-x 1＜x 2-1 ∴y 1＜y 2． 故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点、等腰直角三角形，解决本题的关键是综合利用以上知识．
5．B
解析：B 【分析】
首先根据函数图像分别判断出a 、b 、c 的符号判断结论①；再利用与x 轴交点的个数得出
24b ac -的正负判断结论②；利用对称轴以及当2x =时函数值的正负判断结论③；利用
当1x =-和2x =-时的函数值的正负来判断结论④. 【详解】
结论①由抛物线开口方向向上可得0a >；对称轴在y 轴左侧可得a 、b 符号相同，即
0b >；函数图像与y 轴交于负半轴，可得0c <；由此可知0abc <，故①错误.
结论②由函数图像与x 轴有两个交点可得240b ac ->，故②正确. 结论③由函数图像可知抛物线对称轴为1x =-，所以12b
a
-
=-，整理可得2b a =；当2x =时，420a b c ++>，将2b a =代入420a b c ++>可得，80a c +>，故③错误.
结论④由函数图像可知当2x =-时，420a b c -+<，当1x =-时，0a b c -+<，所以
532(42)()0a b c a b c a b c -+=-++-+<，故④正确.
综上所述，本题正确结论为②④，共2个. 故选B. 【点睛】
本题主要考查二次函数的系数与图像的关系，关键在利用函数中当1x =-、2x =-和
1x =-时的函数值的大小来判断③④结论的对错.
6．D
解析：D
【分析】
分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．
【详解】
解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，
①当点E 在AB 上运动时，
y=FC=BE=AB-AE=6-x ，
即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；
②当点E 在BC 上运动时，如下图，
则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠FEC=∠EAB ，
∴∠CFE=∠AEB ，
∴△ABE ∽△ECF ， ∴BE AB CF CE
=，即6610x y x -=-， 整理得：()2181061063y x x x =-
+-<≤，图象为二次函数， ∵106
-<， 故()2218121086363y x x x =-
+-=--+有最大值，最大值为23， 即23
m =， 故选：D ．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7．C
解析：C
【分析】
将α∠转换成β∠去计算正弦值．
【详解】
解：如图，βα∠=∠，4AB =，3BC =，
∴5AC =， 则3sin sin 5
BC AC αβ==
=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查正弦值的求解，解题的关键是掌握网格图中三角函数值的求解．
8．B
解析：B
【分析】
根据正弦的定义求解即可；
【详解】
由题可知sin 340.56500280AC AB =︒=⨯=（米）；
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，准确计算是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
通过计算画出第2021秒，AOB 的位置，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，求出DC′的长，即可求解．
【详解】
∵360°÷60°=6，
∴
AOB 的位置6秒一循环，而2021=6×336+5，
∴第2021秒，AOB 的位置如图所示， 设点C 的对应点C′，过C′作C′D ⊥x 轴于点D ，连接OC′，BC′，则∠DOC′=30°，
3，
∴DC′=OD∙tan ∠333， ∴C′)3,1-．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查图形于=与坐标，等边三角形的性质，锐角三角函数，找到图形的变化规律，画出图形，是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
如图，过D 作DM AC ⊥于,M 根据已知条件先求解：,,,AD BD AC 再利用A ∠的三角
函数求解,,AM DM 由对折得到：,DF 再利用勾股定理求解MF ，
从而由CF AC AM MF =--可得答案．
【详解】
解：如图，过D 作DM AC ⊥于,M
4:1:3,AB AD DB ==，
13AD DB ∴==，，
90ABC ∠=︒，4AB =，8BC =，
22224845,AC AB BC ∴=+=+=
1,AD DM AC =⊥，
sin 45DM BC A AD AC ∴=
== 255
DM ∴= 同理：5cos 5
45AM AB A AD AC ==== 55
AM ∴= 由对折可得：3,DF DB == 222225205355MF DF DM ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
520519520545CF AC AM MF -∴=--== 故选：.A
【点睛】 本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
求出斜边AB ，再求∠A 的正弦值．
【详解】
解：∵90C ∠=︒，2AC =，1BC =， ∴2222215AB AC BC +=+= 5sin 5
BC A AB ===， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股定理和锐角的正弦函数值的求法，解题关键是求出斜边长，熟知正弦的意义．
12．B
解析：B
【分析】
首先根据题意作出图形，然后根据坡度=1：1.5，可得到BC 和AC 之间的倍数关系式，设BC=x ，则AC=1.5x ，再由勾股定理求得13x ，从而求得BC 的值． 【详解】
解：∵斜坡AB 的坡度i=BC ：AC=1：1.5，AB =13
∴设BC=x ，则AC=1.5x ，
∴由勾股定理得2213(1.5)2
x x x +=
， 又∵AB=13
∴
2
x =x=4， ∴BC=4m ．
故选：B ．
【点睛】
本题考查坡度坡角的知识，属于基础题，对坡度的理解及勾股定理的运用是解题关键．
二、填空题
13．【分析】根据二次函数表达式是易得新抛物线的顶点然后得到经过平移后的原抛物线的顶点根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是∴此抛物线的顶点为(14)∵向左平移3 解析：()226y x =++
【分析】
根据二次函数表达式是()2
14y x =-+易得新抛物线的顶点，然后得到经过平移后的原抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式．
【详解】
解：∵平移后抛物线的解析式是()214y x =-+，
∴此抛物线的顶点为(1，4)，
∵向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得原抛物线顶点，
∴原抛物线顶点为(-2，6)，
∴原抛物线的解析式是()226y x =++． 故答案为：()2
26y x =++．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象的平移与坐标的变化规律是解题的关键． 14．【分析】把AB 坐标代入求出代入PQ 进行判断即可【详解】解：将代入∴∴∴∴∵二次函数的图象开口向下∴∴∴故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质求出是解答此题的关键
解析：Q P >
【分析】
把A 、B 坐标代入2
y ax bx c =++求出2b a =-，代入P ，Q 进行判断即可．
【详解】
解：将()3,0A ，()1,0B -代入2y ax bx c =++， ∴0930a b c a b c
=++⎧⎨=-+⎩
∴93a b a b +=-
∴2b a =-
∴42=440P a b a a =+-=，=2Q a b a a a =+-=-
∵二次函数的图象开口向下
∴0a <
∴0a ->
∴Q P >
故答案为：Q P >
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与性质，求出2b a =-是解答此题的关键．
15．②③④【分析】由抛物线的性质和对称轴是分别判断abc 的符号即可判断①；抛物线与x 轴有两个交点可判断②；由得令求函数值即可判断③；令时则令时即可判断④；然后得到答案【详解】解：根据题意则∵∴∴故①错误
解析：②③④
【分析】
由抛物线的性质和对称轴是1x =，分别判断a 、b 、c 的符号，即可判断①；抛物线与x
轴有两个交点，可判断②；由12b x a
=-=，得2b a =-，令2x =-，求函数值，即可判断③；令2x =时，则420y a b c =++>，令1x =-时，0y a b c =-+>，即可判断④；然后得到答案．
【详解】
解：根据题意，则0a <，0c >， ∵12b x a
=-
=， ∴20b a =->， ∴0abc <，故①错误；
由抛物线与x 轴有两个交点，则240b ac ->，故②正确；
∵2b a =-，
令2x =-时，420y a b c =-+<，
∴80a c +<，故③正确；
在2
y ax bx c =++中，
令2x =时，则420y a b c =++>，
令1x =-时，0y a b c =-+>，
由两式相加，得520a b c ++>，故④正确；
综上，正确的结论有：②③④；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
16．y=-3x2+4【分析】根据二次函数的性质利用待定系数法求解【详解】解：由题意可设所求函数为：∵所求函数经过点(11)∴∴c=4∴所求函数为：故答案为【点睛】本题考查二次函数的应用熟练掌握利用待定系
解析：y=-3x 2+4
【分析】
根据二次函数的性质，利用待定系数法求解．
【详解】
解：由题意可设所求函数为：23y x c =-+，
∵所求函数经过点(1，1)，
∴2131c =-⨯+，
∴c=4，
∴所求函数为：234y x =-+，
故答案为234y x =-+．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键． 17．【分析】过D 作于点E 则DE 是的中位线即可求得DE 的长在直角利用勾股定理即可求得EC 的长根据正切的定义即可求解【详解】如图过D 作于点E 则∵CD 是AB 边上的中线∴DE 是的中位线∴在直角中∴故答案为：【点 解析：43
． 【分析】
过D 作DE AC ⊥于点E ，则DE 是ABC 的中位线，即可求得DE 的长，在直角 DCE ，利用勾股定理即可求得EC 的长，根据正切的定义即可求解．
【详解】
如图，过D 作DE AC ⊥于点E ，
则//DE BC ，
∵CD 是AB 边上的中线，
∴DE 是ABC 的中位线，
∴118422
DE BC ==⨯=，
在直角DEC 中，2222543EC CD DE =-=-=，
∴4tan 3DE ACD EC ∠=
=， 故答案为：
43
． 【点睛】
本题主要考查了正切的定义，三角形的中位线定理，正确作出辅助线，把求三角函数值的问题转化为求直角三角形的边的比值，是解题的关键． 18．【分析】构造点B 的正北方向交AC 于点E 利用特殊角和已知条件可证AB=BE=EC 三角形ACD 是等腰直角三角形从而问题得证【详解】构造点B 的正北方向交AC 于点E 如图所示根据题意得∠BAE=∠AEB=∠A
解析：(422)+.
【分析】
构造点B 的正北方向，交AC 于点E ，利用特殊角和已知条件，可证AB=BE=EC ，三角形ACD 是等腰直角三角形，从而问题得证.
【详解】
构造点B 的正北方向，交AC 于点E ，如图所示，
根据题意，得∠BAE=∠AEB=∠ACD=45°，∠EBC=∠ECB=22.5°，
∴AB=BE=EC=4,AD=CD,
∴AE=42，
∴AC=AE+EC=42+4，
∴CD=22
AC =22+4， 故答案为:22+4.
【点睛】
本题考查了方位角视角下的解直角三角形，熟记特殊角的函数值，灵活运用方位角知识，规范解直角三角形是解题的关键.
19．1或3【分析】分两种情况：①当EM ⊥AC 时△EMN ∽△EAF ；②当EN ⊥AC 时△ENM ∽△EAF 分别进行求解即可【详解】①当EM ⊥AC 时
△EMN∽△EAF∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC=2∠B=
解析：1或3
【分析】
分两种情况：①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF；②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，分别进行求解即可．
【详解】
①当EM⊥AC时，△EMN∽△EAF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90︒，
∵∠CAB=30︒，
∴∠AEM=60︒，
∴∠AEF=30︒，
∴AF=
·tan301
3
AE︒==，
②当EN⊥AC时，△ENM∽△EAF，
可得AF=·tan603
AE︒==，
故答案为：1或3．
【点睛】
本题考察翻折变换、矩形的性质及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识．20．8【分析】在Rt△ADC中利用正弦的定义得sinC＝＝则可设AD＝12x所以AC＝13x利用勾股定理计算出DC＝5x由于cos∠DAC＝sinC得到tanB＝接着在Rt△ABD中利用正切的定义得到B
解析：8
【分析】
在Rt△ADC中，利用正弦的定义得sin C＝AD
AC
＝
12
13
，则可设AD＝12x，所以AC＝13x，利
用勾股定理计算出DC＝5x，由于cos∠DAC＝sin C得到tan B＝12
13
，接着在Rt△ABD中利用
正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝2
3
，然后利用AD＝12x进行计算．
【详解】
在Rt△ADC中，sin C＝AD
AC
＝
12
13
，
设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC
＝5x，
∵cos∠DAC＝sin C＝12
13
，
∴tan B＝12
13
，
在Rt△ABD中，∵tan B＝AD
BD
＝
12
13
，
而AD＝12x，
∴BD＝13x，
∴13x+5x＝12，解得x＝2
3
，
∴AD＝12x＝8．
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．三、解答题
21．（1）y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x+3；（2）当m＝3
2
时，MN有最大值，MN的最大值为
9
4
；（3）m＝2；（4）m
【分析】
（1）由A、C两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得直线BC的解析式；
（2）用m可分别表示出N、M的坐标，则可表示出MN的长，再利用二次函数的最值可求得MN的最大值；
（3）由题意可得当△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时则有MN=MC，且
MC⊥MN，则可求表示出M点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值；
（4）由条件可得出MN=OC，结合（2）可得到关于m的方程，可求得m的值．
【详解】
解：（1）∵抛物线过A、C两点，
∴代入抛物线解析式可得
10
3
b c
c
--+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
2
3
b
c
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0可得，﹣x2+2x+3＝0，解x1＝﹣1，x2＝3，∵B点在A点右侧，
∴B点坐标为（3，0），
设直线BC解析式为y＝kx+s，
把B、C坐标代入可得
30
3
k s
s
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
1
3
k
s
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3；
（2）∵PM ⊥x 轴，点P 的横坐标为m ，
∴M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，﹣m +3），
∵P 在线段OB 上运动，
∴M 点在N 点上方，
∴MN ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ＝﹣（m ﹣32
）2+94， ∴当m ＝
32
时，MN 有最大值，MN 的最大值为94； （3）∵PM ⊥x 轴， ∴当△CMN 是以MN 为腰的等腰直角三角形时，则有CM ⊥MN ，
∴M 点纵坐标为3，
∴﹣m 2+2m +3＝3，解得m ＝0或m ＝2，
当m ＝0时，则M 、C 重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
∴m ＝2；
（4）∵PM ⊥x 轴，
∴MN ∥OC ，
当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，则有OC ＝MN ，
当点P 在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m 2+3m ，
∴﹣m 2+3m ＝3，此方程无实数根，
当点P 不在线段OB 上时，则有MN ＝﹣m +3﹣（﹣m 2+2m +3）＝m 2﹣3m ，
∴m 2﹣3m ＝3，解得m 或m
综上可知当以C 、O 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，m 的值为
32+或
32
-． 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（2）中用m 表示出MN 的长是解题的关键，在（3）中确定出CM ⊥MN 是解题的关键，在（4）中由平行四边形的性质得到OC=MN 是解题的关键．
22．（1）10300y x =-+；（2）20元或21元．
【分析】
（1）通过表格的数据，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）通过题意得到利润和售价之间的关系式，然后当利润为900元时，解方程即可得到结果．
【详解】
解：（1）设该一次函数的解析式为y kx b =+，
由表可知15x =时150y =，16x =时140y =，
∴1501514016k b k b =+⎧⎨
=+⎩ ∴10300k b =-⎧⎨=⎩
∴一次函数的解析式为10300y x =-+；
（2）设利润为W ，则()()()111110300W x y x x =-=--+，
∴2104103300W x x =-+-
当900W =时，2900104103300x x =-+-，
即2414200x x -+=，
解得120x =，2
21x = ∴每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润是900元． 【点睛】
本题考查了函数的应用问题，正确列出函数关系式是解题的关键．
23．（1）2142y x x =-
++；（2）142y x =+． 【分析】
（1）已知了抛物线的对称轴以及AB 的长，即可得到A 、B 的坐标，代入抛物线的解析式中求得待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）由于△ECO 和△ACO 的高都为OC ，根据等高三角形的面积比等于底边比可知：OE ：OA ＝4：1，据此可求出E 点坐标，然后根据E 、C 坐标可用待定系数法求出直线EC 的解析式．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，12
a =-， ∴12
b a
-
=， ∴1b =，
∵AB ＝6， ∴A （−2，0），B （4，0），
将B （4，0），1b =代入解析式212y x bx c =-
++得4c =， ∴抛物线的解析式为：2142y x x =-
++； （2）S △ECO ＝12EO•OC ，S △ACO ＝12
AO•OC ， ∵S △ECO ＝4S △ACO ，且OA=2，
∴EO ＝4AO ＝8，
∵点E 在A 点的左侧，
∴E （−8，0），
由抛物线的解析式得：C （0，4），
设直线EC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，
将E （−8，0），C （0，4），代入得：
804k b b -+=⎧⎨=⎩
， 解得124k b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩，
∴直线EC 的解析式为142y x =
+． 【点睛】
本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
24．（1）14cm ；（2）23cm ．
【分析】
（1）过A 作AD OB ⊥于D ，解直角三角形ABD 即可；
（2）根据（1）中AD 的长，解直角三角形ADO 即可．
【详解】
解：（1）过A 作AD OB ⊥于D ，
则AD 的长就是A 到OB 的距离，
在Rt △ABD 中，
∵sin AD ABD AB
=∠， 20AB =，45ABD ∠=︒， ∴sin 4520
AD =︒， 即
220AD =， ∴10214AD =≈cm ．
（2）∵AD OB ⊥，
在Rt AOD 中， ∵sin AD AOD AO
=∠， 14AD =，37AOD ∠=︒， ∴
14sin37AO =︒， 即140.6AO
=， ∴14230.6AO =
≈cm ． 【点睛】
本题考查了作高构造直角三角形，并解直角三角形，熟练掌握构造高线构造直角三角形，并灵活求解是解题的关键．
25．（1）点C 到水平地面的距离CE 为2）楼房AB 的高度约为31.3米
【分析】
（1）如图，作CF ⊥AB 于F ，CE ⊥BD 于E ，在Rt △CDE 中, 设CE x =，由
:1:2i CE ED ==，得2ED x =,然后运用勾股定理求得x ，求出CE 的长即可；
（2）先由（1）求得x 求出DE 的长，进而求出BE 的长，再说明四边形BECF 是矩形，即
BF CE ==CF BE ==Rr △ACF 中解三角形求出求出AF ，最后根据线段的和差即可解答
【详解】
解：（1）如图作CE BD ⊥于E ，CF AB ⊥于F ．
在Rt CDE △中，设CE x =，由:1:2i CE ED ==，得2ED x =．
由()222230x x +=，
解得x =
所以点C 到水平地面的距离CE 为
（2）由（1）可得2DE CE == ∴
BE BD DE =-==
∵90B CEB CFB ∠=∠=∠=︒，
∴四边形BECF 是矩形， ∴BF CE ==CF BE ==
在Rt ACF 中，4tan tan 533AF ACF CF ∠=︒=
=，
∴4433
AF CF ==⨯= ∴14 2.23631.30431.3AB AF BF =+==≈⨯=≈（米）．
答：楼房AB 的高度约为31．3米．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，正确的添加辅助线构造直角三角形成为解答本题的关键．
26．（1）轮船M 到海岸线l 的距离为200米；（2）该轮船能行至码头海岸AB 靠岸
【分析】
（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，解直角三角形即可得到结论； （2）作∠DMF=22°，交l 于点F ．解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM=x ，
∵在Rt △CDM 中，CD=DM•tan ∠CMD=x•tan37°，
又∵在Rt △ADM 中，∠MAC=45°，
∴AD=DM ，
∵AD=AC+CD=50+x•tan37°，
∴50+x•tan37°=x ， ∴50502001tan 3710.75
x ︒=≈=--， 答：轮船M 到海岸线l 的距离约为200米；
（2）作∠DMF=22°，交l 于点F ，
在Rt △DMF 中，DF=DM•tan ∠FMD=DM•tan22°
≈200×0.40=80（米），
∴AF=AC+CD+DF=DM+DF≈200+80=280＜300，
所以该轮船能行至码头AB 靠岸．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键．。