提高分类讨论能力的几个途径

提高分类讨论能力的几个途径
作者：张勇
来源：《新课程·教育学术》2009年第05期
分类讨论是一种重要的数学思想,也是一种重要的数学方法.多年来,分类讨论思想一直是各地中考中的重点考查内容,许多地方还把对这一内容的考查渗透到大的综合题甚至压轴题中.因此,增强分类讨论意识,提高分类讨论能力是数学学习的重要任务.如何提高分类讨论能力,我们可以从以下几个方面进行培养:
一、要认真推敲关键词
一个问题是不是需要分类讨论,它一般不会明确地告诉我们,而总是隐含在问题的表述当中,或者是文字形式,或者是图形形式,或者是表格形式,这就需要我们对这些表述进行认真的分析和研究,尤其要对问题中的关键语句、重要符号或者所给的数据进行认真推敲,注意把它们与我们平时的表述习惯或者表述方法进行比较,寻找两者之间的差异,以确定所给的问题是不是需要进行分类讨论.
比如,在表示两个三角形相似的时候,我们平常都是用“△ABC∽△DEF”来表示,如果在一个问题中用“△ABC与以D、E、F三点为顶点的三角形相似”,这时,两个三角形之间对应关系就变得不确定了,就需要分类讨论.
例1.(2004西宁)如图,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,线段MN的两端在CD、AD上滑动,当DM=_____时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.
再比如,在平常的解题中,我们遇到的函数问题绝大部分是单一的函数关系,但是,如果问题中没有确定两个变量之间是属于什么关系,我们就需要对所给的条件进行认真的观察和分析,以挖掘出其中隐含的函数关系.
例2.(2006扬州)某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完,下表为市场的日销售量
y(万件)与时间t(t为整数,单位:天)的部分对应值.
请你用所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y与t的变化规律,写出y与t的函数关系式及自变量的取值范围.
通过描点的方法或者对数据进行直观观察,我们可以发现,这里的函数关系不能用单一的函数解析式来表示.因此,就需要对问题进行分类讨论.
参考答案:当0≤t≤30时,y=2t,当31≤t≤40时,y=-6t+240
二、要强化分类标准意识
分类讨论中的关键问题是按照什么样的标准对问题进行分类.在解决分类问题时,我们要强化确定分类标准意识,也就是当遇到一个分类讨论的问题,我们首先要对它确定一个明确的分类标准.在确定分类标准时,要做到分类标准要统一,而且要做到不能重复也不能遗漏,这其实也是分类讨论中的难点.另外我们还要注意根据问题类型灵活选择和确定合理的分类标准,比如,一条已知的线段,在梯形中,它可以是梯形的腰,也可以是梯形的底,而在平行四边形,它就可以是平行四边形的一条边,也可以是平行四边形的对角线.如已知一个点在抛物线上,这个点可以在对称轴上,也可以在对称轴的左边,也可以在对称轴的右边.
形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
在第二个问题中,没有明确哪条边是梯形的底,哪条边是梯形的腰,因此,就要对问题进行分类讨论,分类的办法是当AC、AB、BC三条线段分别为梯形的底时,求出相应的点D的坐标.
三、要学会编制分类问题
提高分类讨论的能力,除了加强对分类问题的专门训练以外,还要学会自己编制分类问题,当然,这对许多人而言比较困难,简单易行的方法是对现有的问题进行改编,把原来只有单一解的问题通过改变条件或方式,使其变为需要用分类讨论来解决的问题.如把“已知一个点在圆内”改为“已知一个点在平面内”,把“线段”改为“射线”或“直线”,把用符号“≌”表示两个三角形全等改为用文字表示两个三角形全等.
例4.已知点P是⊙O内一点,若已知点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b,求这个圆的半径是多少?答⑴求a的值,点B的坐标;
⑵若点P是线段OA上的一点,且∠APD=∠OAB,求点P的坐标.
⑶若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上,写出点P的坐标(直接写出答案)
原第⑵中的答案是单一的,其原因条件中的“点P是线段OA上的一点”限制了问题的解,如果把第⑵问改成以下作者单位:江苏省海安新生初级中学。