2022-2022年高二下半年期末考试数学理题免费试卷(广东省韶关市)

2022-2022年高二下半年期末考试数学理题免费试卷（广东省韶关市）
填空题
已知，若与的夹角为钝角，则的取值范围是___________．（用集合表示）
【答案】
【解析】∵向量与的夹角为钝角，∴，即；解得，即的取值范围是，故答案为.
填空题
__________．
【答案】
【解析】，故答案为.
选择题
设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设公共点坐标为,则,所以有,即,解出(舍去),又,所以有,故,所以有,对求导有,故关于的函数在为增函数,在为减函数,所以当时有最大值,选A.
点睛: 本题主要考查了导函数的几何意义及导数的应用, 属于中档题. 根据题意有切线斜率相等和切点坐标相同, 求出切点坐标和之间的关系式, 利用导数求出的最大值.
选择题
空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱（其中圆柱的底面半径为2，高为4）中挖去一个四棱锥（其中四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为2），故该几何体的体积为，故选D.
选择题
已知，则下列结论中正确的是（）
A. 函数的周期为
B. 函数的最大值为
C. 将的图象向左平移个单位后得到的图像
D. 的一个对称中
心是
【答案】D
【解析】，，周期为，最大值为，故A、B不正确；将的图象向左平移个单位后得到，故C不正确；，由图象可知它的一个对称中心是.
选择题
下列函数在其定义域内既是奇函数又是单调递减函数的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A、在整个定义域内不具有单调性；对于B为非奇非偶函数；对于C既有减区间又有增区间；对于D由奇偶性和单调性可知满足题意，故选D.
解答题
已知
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若有两个不同零点，为的导函数，求证，
【答案】（Ⅰ）增区间为，减区间为；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，分别求出和的解集，故可得其单调区间；（Ⅱ）将代入导函数中①，②，两式相减，解出，原不等式等价于，设，利用导数与单调性的关系求出，最后令即可.
试题解析：（Ⅰ）的定义域为，，当时，递减，当时，递增，综上，当时，的增区间为，减区间为，
（Ⅱ）①，②②-①：
又原不等式转化为证明：
设在递增，，即，取，得
解答题
已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，直线与椭圆相交于两点，（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设分别为线段的中点，原点在以为直径的圆内，求实数的取值范围.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的定义可得，结合离心率可求出，结合可求出，故而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设,联立直线与椭圆的方程，得到，由题意可得为钝角，将其转化为向量的数量积，即，联立可得结果.
试题解析：（Ⅰ）由得，结合得，
得，故椭圆方程为
（Ⅱ）设，联立,得
依题意，当时，四边形为平行四边形，由原点在以为直径的圆内，得为钝角，得，即：
即，即把式代入得,得得，且当时同样适合题意，所以，的取值范围为
选择题
若集合，全集，则
()
A. B. 或 C. D.
【答案】A
【解析】由得：，故
，则，故选A.
解答题
如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，
分别是的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
（Ⅱ）设，求二面角大小的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，连，先证四边形为平行四边形，然后得到，故而可得到平面；（Ⅱ）连交于取中点,则两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出两个面的法向量，计算出其夹角即可.
试题解析：（Ⅰ）取的中点，连，分别是的中点，
菱形中，为的中点，
四边形为平行四边形，
又平面, 平面平面
（Ⅱ）连交于取中点,则两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则,
设是平面的法向量，则，即
，
取得
同理得
二面角的大小的正弦值为.
解答题
某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：三级为合格，级为
不合格
为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在分及以上的所有数据的茎叶图如图所示.
(Ⅰ) 求及频率分布直方图中的值；
(Ⅱ) 根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选人，求至少有人成绩是合格等级的概率；
(Ⅲ)上述容量为的样本中，从两个等级的学生中随机抽取了名学生进行调研，记为所抽取的名学生中成绩为等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和树形图求解；（Ⅱ）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（Ⅲ）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知，样本容量（Ⅱ）样本中成绩是合格等级的人数为，成绩是
合格等级的频率为，故从该校学生中任选人，成绩是合格等级的概率为，用表示事件“从该地高中学生中任选人，至少有人成绩是合格等级，则”
（Ⅲ）样本中等级的学生人数为人，等级的学生人数为人，故随机变量的所有取值
于是随机变量的分布列为
所以，
解答题
已知分别是锐角三个内角的对边，且
，且.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ)求面积的最大值；
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理将角化为边得，利用余弦定理可得；（Ⅱ）由及基本不等
式可得，故而可得面积的最大值.
试题解析：（Ⅰ）因为，由正弦定理有，既有，由余弦定理得
，.
（Ⅱ），即，当且仅当时等号成立，
当时，,
所以的最大值为.
选择题
已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的离心率等于，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】离心率等于，即，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，，则，，双曲线的渐近线为，故双曲线的焦点到其渐近线的距离等于，故选
A.
选择题
已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则；
其中，正确的个数是：（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】是两个不同的平面，是两条不同的直线，知：在①中：若，则由面面垂直的判定理定理得，故①正确；在②中：若，则或，故②错误；③若
，则或异面，故③错误；④若，则与相交、平行或，故④错误，故选B.
选择题
设是第二象限角，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴,又∵α是第二象限
角，得，∴，由此可得，因此
，故选D.
选择题
设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为
A. 0
B. 1
C.
D. 2
【答案】D
【解析】试题分析：画出可行域（如图），直线2x-y=0.将z的值转化为直线在y轴上的截距，当直线经过（-1，0）时，z最大为2，故选D。

选择题
设复数满足，则()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由得：，故选A.
解答题
已知等比数列各项都是正数，
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设,求数列的前项和.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由等比数列的性质可得，故而可得公比，由可得首项，进而可得通项公式；（Ⅱ）由错位相减法得其前项和.
试题解析：（Ⅰ）设的公比为得，
又可得，，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得所以
①，所以
②，①-②得：
，所以，所以.
填空题
过直线上的一点作圆的两条切线，切点分别为，当直线关于直线对称时，
__________．
【答案】
【解析】显然圆心不在直线上，由对称性可知，只有直线上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线，从这点做切线才能关于直线对称，所以该点与圆心连线所在的直线方程为：即与联立可求出该点坐标为，所以该点到圆心的距离为，切线长、半径以及该点与圆形连线构成直角三角形，又知圆的半径为所以夹角的一半的正弦值为，，所以夹角，
故答案为.
填空题
的展开式中常数项为__________．
【答案】10
【解析】的展开式中常数项为，故答案为10.
选择题
从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如下表，根据上表可得回归直线方程为，则（）
A. -96.8
B. 96.8
C. -104.4
D. 104.4
【答案】A
【解析】试题分析：由表中数据可得，因为一定在回归直线方程上，所以，解得，故选A．。