挖掘立体几何教学资源,培养数学逻辑推理能力

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◎范永明（江苏省梅村高级中学，江苏无锡214112）
随着教育改革的不断推进，教师对学生学科素养的培养也愈发重视起来，并利用课堂的教学资源,培养学生的相关素养，适应社会的快速发展.对高中数学而言，其学科核心素养有六个主要方面，它们在数学与生活中都有深刻的意义.以逻辑推理能力的培养为例，教师可以挖掘立体几何教学资源,通过变式练习、多元转化、循序渐进等方式，有效提高学生的数学逻辑推理能力.
一、变式练习，指导归纳与类比
数学问题是无穷无尽的，但大多有其规律性，有的是特殊的情况可以推广为一般的情况，有的则是特殊的情况可以推导出另一个特殊的情况.这两种推导被称为“归纳”与“类比”.教师在变式练习中指导学生进行归纳与类比，能够提高教学效率.
比如，在教学“推理与证明”这一单元时,笔者利用几何教学资源，指导学生学习归纳与类比这两种合情推理的方法.立体几何图形具有点、线、面这三个结构元素,那么它们之间是否满足一定的数量关系呢？笔者让学生对这一关系进行探究.学生探究后发现它们的和差关系存在规律并做出了归纳推理，即对立体几何而言，面数+顶点数-棱数= 2.然后，笔者指导学生进行了类比推理并提问，“几何图形有二维和三维之分，但同属于图形的平面与立体几何是否在结构上可以进行一定的类比呢?”学生思考并回答,“平面的点可以与空间的线类比，线段长度可以与面的面积类比，整个面积可以和整个体积类比.”“总结得很好！下面来练习一下，直角三角形满足勾股定理，在立体几何中是否可以找出类似的结论呢?”学生回答道，“直角三角形可以类比成直四面体，将两条直角边的平方和与三个直角三角形的面积的平方和类比,斜边的平方与斜面面积的平方类比，即可得到.”
数学教学中，教师要注重培养学生的思维能力，在平常的教学实践中，潜移默化地渗透对学生思维能力的培养.为此,开展变式训练，在训练中强化归纳与总结可以收到明显的效果.从上面的例子可以看出，在变式练习的过程中，学生可以通过归纳与类比，对思维进行训练，逻辑推理能力得到了培养与提高.
二、多元转化，尝试演绎与证明
证明题是高考中必考的题型之一，而演绎与证明也是逻辑推理能力的重要组成部分之一，因此，对这一逻辑推理能力的培养是一举多得的.证明的方式有很多，但不是每一种都是能够简单高效地证明出结论的，重要的是合理利用条件，进行多元转化.
比如，在教学“空间中的平行关系”这一节时，笔者为学生讲解了平行关系这一个在几何学习中非常重要的概念,而证明是否平行通常是通过线与面的转化进行证明.在这一节中有几个十分常用的定理及其推论，都可以用来证明是否平行.纵观这些定理，学生发现面与面的平行最终都转
化成了线与面或线与线的平行，而线与线的平行则是学生
十分熟悉的内容.在讲解完教学内容后，笔者为学生布置了
一道练习题,“面&与面“都与面y平行,求证面0与面“
平行.”学生做出了一个辅助平面,并假设与平面分
别相交于厶,L2,L},即可以得到结论£,〃厶，厶2〃厶，推出
LJ/L.//L,,再做该辅助面的相交面,并与另外三个面相交
于厶4,L,,L6,即可得到L t//L…,L5//L6,推出L t//L5//L6,而
且厶厶，厶与—,5分别相交，所以可以证明面e平行
于面》
通过多元转化，题目中的每个条件都可以得到充分高
效的利用，更好地为证明过程服务，使整个过程更加高效简
单.从上面的例子也可以看出，基础定理的熟练掌握对多元
转化来说是很重要的，对升华学生的逻辑推理能力能够起
到显著的效果.
三、循序渐进，学会反思与建构
学习的过程都是由简单到复杂的，逻辑推理能力的培
养也不是一蹴而就的.因此，教师要注意循序渐进地培养学
生的逻辑推理能力，使学生学会反思与建构,对自己的思维
结果等进行反思、再次认识，进而建构起更加正确的观点.
比如,在教学“点、线、面之间的位置关系”这一单元时，
笔者就注重循序渐进，从平面到空间，从点到线再到面，鼓
励学生对公理、定理的推论进行反思,建构出更加正确的推论.学生知道如果两条直线都与另一条直线相对垂直，那么
两条直线平行.那么是否可以做推论:如果两条直线都相对
另一条直线平行，那么两条直线垂直吗？显然不能,结论应
为两条直线平行，这是在前面就学习过的.那如果把这一定
理推广至三维层面，即如果平面e和平面“都垂直于平面
y,则平面e〃平面“,是否正确呢？学生反思后很快就能举
出反例来，墙角就是三个平面互相垂直的几何形状，显然上
述结论不成立，从而说明了这一结论的错误.但是如果平面
6和面“都平行于面y,那么面e〃面“这一结论成立，即直
线平行的传递性可以推广为平面平行的传递性，从而建构
起了这一个新的认识.
人都是在发展的，思维的形成也是一个不断修正的过程•循序渐进，对思维结果等进行及时的反思与再认识，总
结并建立起新的认识与观点，学生的思维将会更加成熟，逻
辑推理能力也会得到极大提升，学生的学习能力和数学素
养都会自然得以发展.
总而言之，立体几何具有点、线、面等丰富结构以及大
量的定理和公理,通过挖掘立体几何教学资源，教师可以有
效培养学生的数学逻辑推理能力.变式练习，使学生充分练
习归纳与类比;多元转化，使学生巧妙进行演绎与证明；循
序渐进，使学生及时总结反思与建构,从而使学生的数学逻
辑推理能力大大提升，数学学科核心素养得以培养.
数学学习与研究2019.
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