冀教版初中数学八年级上册 第17章 特殊三角形 单元测试

第17章特殊三角形单元测试
一、选择题(第1～10小题，每小题3分，第11～16小题，每小题2分，共42分) 1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，若∠B ＝65°，则∠A 的度数为( )
A ．70°
B ．55°
C ．50°
D ．40°
2．下列各组线段能构成直角三角形的一组是( ) A ．30，40，50 B ．7，12，13 C ．5，9，12
D ．3，4，6
3．若等腰三角形的一个内角是30°，则它的顶角是( ) A ．120°
B ．30°
C ．120°或30°
D ．60°
4．如图，△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2AB ，则AB
AC
的值为( )
A.5
2
B.12
C.255
D.
55
5．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是( ) A ．一锐角对应相等 B ．两锐角对应相等 C ．一条边对应相等
D ．两条直角边对应相等
6．如图，∠AOB ＝40°，OC 平分∠AOB ，直尺与OC 垂直，则∠1等于( )
A ．60°
B ．70°
C ．50°
D ．40°
7．如图，在长方形ABCD 中，CD 与BC 的长度比为5∶12，若该长方形的周长为34，则BD 的长为( )
A ．13
B ．12
C ．8
D ．10
8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AB 上，BC ＝BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E .△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
9．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边的中线，DE ⊥AB ，垂足为E ，等边△ABC 的边长是6cm ，则BE 的长为( )
A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．2.5cm
10．如图，已知△ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为AC 、AB 上的点．若DE ＝DC ，BC ＝BE ，∠A ＝40°，则∠BDC 等于( )
A ．40°
B ．50°
C ．60°
D ．65°
11．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，∠B ＝60°，则图中与CD (本身除外)相等的线段有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
12．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )
A ．3
B.15
4
C ．5
D.152
13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC 、AD 、AB
于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()
A．1对B．2对C．3对D．4对
14．如图，如果△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形(顶点在格点上)，那么△DEF 与△ABC的周长比为()
A．4∶1 B．3∶1 C．2∶1 D.2∶1
15．图①为一个长方体，AD＝AB＝10，AE＝6，M，N为所在棱的中点，图②为图①的表面展开图，则图②中MN的长度为()
A．11 2 B．10 2 C．10 D．8
16．已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP.其中正确的是()
A．①②③B．①②④
C．①③④D．①②③④
二、填空题(每小题3分，共12分)
17．一个三角形的三个内角的度数比是1：1：2，则这个三角形是____________三角形．18．(吉林中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm.将△ABC绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF和△BDF的周长之和为
________cm.
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°.直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出下列四个结论：①AE ＝CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF ＝1
2S △ABC ；④EF ＝AP .以上结论始终正确的有________(填正确答案的序
号)．
20．如图，∠BOC ＝10°，点A 在OB 上，且OA ＝1，按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3…这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝________．
三、解答题(共66分)
21．(10分)如图所示，等边△ABC 中，EF ⊥AB ，E 为垂足，交BC 于点D ，交AC 的延长线于点F ，判断△CDF 的形状，并证明．
22．(10分)如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 三等分∠ACB ，且CD ⊥AB . 求证：(1)CE 是Rt △ABC 的中线；(2)AB ＝2BC .
23．(10分)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？
24．(11分)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
25．(11分)如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC＋CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
26．(14分)已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，点C重合)．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE.
(1)如图①，当点D在边BC上时，求证：
①△ABD≌△ACE；
②BC＝DC＋CE；
(2)如图②，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在
的数量关系，并写出证明过程．
参考答案
1．C 2.A 3.C 4.D 5.D 6．B 7.A 8.A 9.B 10.D 11．C 12.B 13.D 14.D 15.A
16．D 解析：如图①，连接OB .∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ，∠BAD ＝12∠BAC ＝1
2×120°
＝60°，∴OB ＝OC ，∠ABC ＝90°－∠BAD ＝30°.∵OP ＝OC ，∴OB ＝OC ＝OP ，∴∠APO ＝∠ABO ，∠DCO ＝∠DBO ，∴∠APO ＋∠DCO ＝∠ABO ＋∠DBO ＝∠ABD ＝30°；故①正确；∵∠APC ＋∠DCP ＋∠PBC ＝180°，∴∠APC ＋∠DCP ＝150°.∵∠APO ＋∠DCO ＝30°，∴∠OPC ＋∠OCP ＝120°，∴∠POC ＝180°－(∠OPC ＋∠OCP )＝60°.∵OP ＝OC ，∴△OPC 是等边三角形；故②正确；
如图②，在AC 上截取AE ＝P A ，∵∠P AE ＝180°－∠BAC ＝60°，∴△APE 是等边三角形，∴∠PEA ＝∠APE ＝60°，PE ＝P A ，∴∠APO ＋∠OPE ＝60°.∵∠OPE ＋∠CPE ＝∠CPO ＝
60°，∴∠APO ＝∠CPE .在△OP A 和△CPE
中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧P A ＝PE ，∠APO ＝∠CPE ，
OP ＝CP ，
∴△OP A ≌△CPE (SAS)，∴AO ＝CE ，∴AC ＝AE ＋CE ＝AO ＋AP ；故③正确；如图③，过点C 作CH ⊥AP 于H ，∵∠P AC ＝∠DAC ＝60°，AD ⊥BC ，∴CH ＝CD ，∴S △ABC ＝1
2AB ·CH ，
S
四边形
AOCP ＝S △ACP ＋S △AOC ＝
12AP ·CH ＋12OA ·CD ＝12AP ·CH ＋12OA ·CH ＝12CH ·(AP ＋OA )＝12
CH ·AC ，∴S △ABC ＝S 四边形AOCP ；故④正确．故选D. 17．等腰直角 18. 42 19.①②③
20．8 解析：由题意可知：AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1…则∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A …∵∠BOC ＝10°，∴∠A 1AB ＝20°，∠A 2A 1C ＝30°，∠A 3A 2B ＝40°，∠A 4A 3C ＝50°…∴10°n ＜90°，解得n ＜9.由于n 为整数，故n ＝8.故答案为8. 21．解：△CDF 为等腰三角形．(2分)
证明如下：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝∠ACB ＝∠A ＝60°.(4分)
∵EF ⊥AB ，∴∠BED ＝90°.∴∠EDB ＝30°，∠F ＝30°，∴∠CDF ＝∠F ，(8分) ∴CD ＝CF ，∴△CDF 是等腰三角形．(10分)
22．证明：(1)∵CD 、CE 三等分∠ACB ，∴∠BCD ＝∠DCE ＝∠ACE ＝13×90°＝30°.
∵在Rt △CDB 中，∠DCB ＝30°，∴∠B ＝90°－30°＝60°. 又∵∠ECB ＝30°＋30°＝60°，∴CE ＝BE . 在△ABC 中，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°＝∠ACE ， ∴AE ＝CE ，∴AE ＝BE .即CE 是Rt △ABC 的中线；(7分) (2)在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴AB ＝2BC .(10分)
23．解：设竹竿长x 米，(3分)由题意知大门高(x －1)米，32＋(x －1)2＝x 2，(6分) 解得x ＝5.(8分)
答：竹竿长为5米．(10分)
24．解：如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，(3分)
另一条直角边长5×3＝15(尺)，202＋152＝625＝252，因此斜边长为25尺，(10分) 故葛藤的最短长度是25尺．(11分)
25．解：设BC ＝x cm 时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．(2分)
∵BC ＋CD ＝34cm ，∴CD ＝(34－x )cm.在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2＝36＋x 2，(4分 在Rt △ACD 中，AC 2＝CD 2－AD 2＝(34－x )2－576，∴36＋x 2＝(34－x )2－576，(8分) 解得x ＝8.(10分)
∴当C 离点B 8cm 时，△ACD 是以DC 为斜边的直角三角形．(11分) 26．(1)证明：①∵△ABC 和△ADE 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE ， ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ，∴∠BAD ＝∠EAC .(3分) 在△ABD 和△ACE 中，
∵⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，AD ＝AE ，
∴△ABD ≌△ACE (SAS)．(6分) ②∵△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE .∵BC ＝BD ＋CD ，∴BC ＝CE ＋CD ；(8分)
(2)BC ＋CD ＝CE .(9分)
证明如下：∵△ABC 和△ADE 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE . ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC ，∴∠BAD ＝∠EAC .(11分) 在△ABD 和△ACE 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS)，
∴BD ＝CE .∵BD ＝BC ＋CD ， ∴CE ＝BC ＋CD .(14分)。