数学选修4-4课后训练：4-2 曲线的极坐标方程 含解析 精品

曲线的极坐标方程练习
1．极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径为__________．
2．△ABC 中，底边BC ＝10，∠A ＝12
∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程为__________．
3．曲线的极坐标方程为ρ＝cos θ－sin θ，则其直角坐标方程为__________，轨迹为__________．
4．已知一条直线的极坐标方程为πsin 42ρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，则极点到该直线的距离是__________．
5．过π2,4A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________． 6．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为__________．
7．圆心在点(－1,1)处，且过原点的圆的极坐标方程为__________．
8．求圆心在3π2,2A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程． 9．已知双曲线的极坐标方程为312cos ρθ=-，过极点作直线与它交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求直线AB 的极坐标方程．
10．已知在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，当∠A 变化时，求∠A 的平分线与BC 的中垂线的交点P 的轨迹的极坐标方程．
参考答案
1. 答案：1
解析：∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x .
化简，得(x －1)2＋y 2＝1.∴圆的半径为1.
2. 答案：ρ＝10＋20cos θ
解析：如图，令A (ρ，θ)．
在△ABC 中，有∠B ＝θ，2A θ
∠=，又|BC |＝10，|AB |＝ρ.于是由正弦定理，得
103sin sin π22ρ
θ
θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.
3. 答案：22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
为圆心，2为半径的圆 解析：由ρ＝cos θ－sin θ，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，
即x 2＋y 2＝x －y . 整理，得22111222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 其轨迹为以11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
为半径的圆． 4.
解析：∵πππsin sin cos cos sin 444ρθρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝
＋sin cos θρθ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x ＋y ＝1.
则极点到该直线的距离2d ==. 5. 答案：ρsin θ
解析：如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线上任意一点，连接OM ，并过M 作MH ⊥x 轴于H ，
∵π2,4A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，
∴π2sin 4MH ==. 在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，
即ρsin θ
∴过π2,4A ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
且平行于极轴的直线方程为ρsin θ
6. 答案：x 2＋y 2＝0或x ＝1
解析：ρ2cos θ－ρ＝
0ρ(ρcos θ－1)＝0，
得ρ＝0或ρcos θ－1＝0，
即x 2＋y 2＝0或x ＝1.
7. 解析：
=
∴圆的直角坐标方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，
即x 2＋y 2＝－2(x －y )，
化为极坐标方程，得ρ2＝－2(ρcos θ－ρsin θ)，
即ρ＝2(sin θ－cos θ)．
答案：ρ＝2(sin θ－cos θ)
8. 解：如图，设M (ρ，θ)为圆上除O ，B 外的任意一点，连接OM ，MB ，则有OB ＝4，OM ＝ρ，∠MOB ＝θ－
3π2，π2
BMO ∠=，从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM |＝|OB |cos ∠MOB ，即3π4cos 4sin 2ρθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故所求圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ，所以x 2＋y 2＝－4y ，即x 2＋(
y ＋2)2＝4为所求圆的直角坐标方程．
9. 解：设直线AB 的极坐标方程为θ＝θ1，A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ1＋π)．则11312c o s ρθ=-， 211
3312cos(π)12cos ρθθ==-++. 121133||12cos 12cos AB ρρθθ+-+＝＋＝
＝21
614cos θ-＝6， ∴
211114cos θ±-＝.∴cos θ1
＝0或1cos 2θ=±. 故直线AB 的极坐标方程为π2θ=或π4θ=或3π4θ= 10. 解：如图，取A 为极点，AB 所在射线为极轴，建立极坐标系，
∵AP 平分∠BAC ，MP 为BC 的中垂线，∴PB ＝PC . 设ππ()0,22P ρθρθθ⎛
⎫>-<<≠ ⎪⎝⎭
，且0， 则PC 2＝AP 2＋AC 2－2AP ·AC ·cos θ＝ρ2＋16－8ρcos θ， PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ，
∴ρ2＋16－8ρcos θ＝ρ2＋36－12ρcos θ， 即π
πcos 50,22ρθρθθ⎛⎫
=>-<<≠ ⎪⎝⎭且0.
∴点P 的轨迹的极坐标方程为
ππcos 50,22ρθρθθ⎛⎫
=>-<<≠ ⎪⎝⎭且0.。