高中数学人教A版选修-学案第一章微积分基本定理含解析

(cos x＋1)dx 等于(
0
)
A．1
B．0
C．π＋1
D．π
π
∫ 解析：选 D
(cos x＋1)dx＝(sin x＋x) Error!＝sin π＋π－0＝π.
0
1
∫ 3．已知积分
(kx＋1)dx＝k，则实数 k＝(
0
)
A．2
B．－2
C．1
D．－1
5
1
∫ 解析：选 A 因为
(kx＋1)dx＝k，
f(－x)dx＝( )
1
A.56
B.12
C.23
D.61
2
∫ 解析：选 A ∵f(x)＝xm＋nx 的导函数是 f′(x)＝2x＋1，∴f(x)＝x2＋x，∴
f(－
1
∫ ( ) x)dx＝
2
11
5
(x2－x)dx＝
1
3x3－2x2
Error!＝6.
∫ ( ) 3．若
a
1
1 2x＋x dx＝3＋ln 2，则 a 的值是(
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图①，则
b
∫ f(x)dx＝S 上． a
b
∫ (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图②，则
f(x)dx＝－S
a
下．
1
b
∫ (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图③，则
f(x)dx＝S 上－
a
b
∫ S 下，若 S 上＝S 下，则
∫ ∫ ∫ 解析：
1
f(x)dx＝
－1
1
x2dx＋
－1
1
(cos x－1)dx
0
＝13x3Error!＋(sin x－x) Error!
6
[ ＝
1 3
×
1 03－3
－1 3 ＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)]
] ×
2
＝sin 1－3.
答案：sin 1－23
3
∫ 8． 已 知 等 差 数 列 {an}的 前 n 项 和 为 Sn， 且 S10＝
∫ ( ) 由题意得，
k
11
1119
0 (kx－x2)dx＝ 2kx2－ x3 Error!＝2k3－3k3＝6k3＝2，∴k＝3.
3
答案：3
6.从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x，y)，则点 M 取自阴影
部分的概率为________
∫ 解析：长方形的面积为 S1＝3，S 阴＝
1
S阴 1
0 3x2dx＝x3Error!＝1，则 P＝ S1 ＝3.
由①②③式得 a＝6，b＝0，c＝－4.
7
法二：设 f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|
＝Error!
如图，所求积分－3(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝S＝2×2×(6＋12)×2＋3×6＝
45.
层级二 应试能力达标
x
∫ 1．函数 F(x)＝
cos tdt 的导数是(
－ 3－8
)] [(8－83 ＋
－0
)]
＝－3－83＋8＋8－83＝233.
2
∫ 6.
(x2－x)dx＝__________.
0
) ( ) ( ) 解析：∵
x3 1 3－ 2x2
′＝x2－x，∴原式＝
x3 1 3 －2x2
20＝
83－2
2 －0＝ .
(3
2
答案：3
1
∫ 7. 设 f(x)＝Error!则 －1f(x)dx＝_________.
3
∫ 5.
|x2－4|dx＝(
0
)
21
22
A. 3
B. 3
C.233
D.235
解析：选 C ∵|x2－4|＝Error!
3
∫ ∴ |x2－4|dx＝ ∫ ∫ 0
3
(x2－4)dx＋
2
2
(4－x2)dx
0
( ) ( ) ＝ 13x3－4x Error!＋ 4x－13x3 Error!
[ ＝ 9－12
(8
微积分基本定理
预习课本 P51～54，思考并完成下列问题 (1)微积分基本定理的内容是什么？
(2)被积函数 f(x)的原函数是否是唯一的？
[新知初探]
1．微积分基本定理
b
∫ 如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x)，那么
f(x)dx＝ F(b)－
a
F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．
故 a，b 为方程 x2＋3t＋2 1x＋t＝0 的两个实数根， 3t＋1 2
所以 Δ＝ 4 －4t≥0，整理，得 9t2－10t＋1≥0， 即(t－1)(9t－1)≥0，解得 t≤19或 t≥1.
( ] 所以 ab 的取值范围是 －∞，19 ∪[1，＋∞)．
含有参数的定积分问题的处理办法与注意点 (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定 理计算定积分是解决此类综合问题的前提．
∫ ∫ ∫ (2)解：
2
f(x)dx＝
0
1
f(x)dx＋
0
2
f(x)dx
1
∫ ∫ ＝
1
0(1＋2x)dx＋
21x2dx＝(x＋x2)10＋13 x321
＝1＋1＋13(8－1)＝133.
1．由微积分基本定理求定积分的步骤
当被积函数为两个函数的乘积时，一般要转化为和的形式，便于求得函数 F(x)，再计
[活学活用]
计算下列定积分：
1
∫ (1)
(x3－2x)dx；(
0
(x＋cos x)dx；
21
∫ (3) 1 x x＋1 dx.
∫ ( ) 解：(1)
1
1
3
0 (x3－2x)dx＝ 4x4－x2 Error!＝－ . 4
(2)
( ) 1
(x＋cos x)dx＝ 2x2＋sin x
π2 ＝ 8 ＋1.
(3)f(x)＝x
)
A．6
B．4
C．3
D．2
∫ ( ) 解析：选 D
a 1
1 2x＋x
dx＝(x2＋ln x)1a＝(a2＋ln a)－(1＋ln 1)＝(a2－1)＋ln a＝3＋ln
2.
∴Error!∴a＝2.
1
1
∫ ∫ 4．若 f(x)＝x2＋2
f(x)dx，则
0
f(x)dx＝(
0
)
A．－1
B．－13
1
C.3
D．1
即 0≤f(x)<2 ，所以函数 f(x)的值域是[0,2)．
答案：[0,2)
1
∫ (2)解：
[(3ax＋1)(x＋b)]dx
0
1
∫ ＝
[3ax2＋(3ab＋1)x＋b]dx
0
[ ] ＝
1 ax3＋2
3ab＋1 x2＋bx
Error!
＝a＋12(3ab＋1)＋b＝0，
即 3ab＋2(a＋b)＋1＝0.
算定积分，具体步骤如下．
第一步：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
第二步：计算函数的增量 F(b)－F(a)．
2．分段函数的定积分的求法
(1)由于分段函数在各区间上的函数式不同，所以被积函数是分段函数时，常常利用定
积分的性质(3)，转化为各区间上定积分的和计算．
(2)当被积函数含有绝对值时，常常去掉绝对值号，转化为分段函数的定积分再计算．
＝(6t2＋4at) Error!
＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)
＝6x2＋4ax－2a2，
1
1
∫ ∫ ∵F(a)＝ [f(x)＋3a2]dx＝
(6x2＋4ax＋a2)dx
0
0
＝(2x3＋2ax2＋a2x) Error!＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1≥1，
∴当 a＝－1 时，F(a)最小值＝1.
f(x)dx＝0.
a
[小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导数．( )
(2)应 用 微 积 分 基 本 定 理 求 定 积 分 的 值 时 ， 为 了 计 算 方 便 通 常 取 原 函 数 的 常 数 项 为
0.( )
求出 F(x)．
(2)牛顿－莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转
化成求原函数(F(x)叫做 f(x)的原函数)的问题，提示了导数和定积分的内在联系，同时也提
供计算定积分的一种有效方法．
2．定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下．则
∫ ∫ ( ) 解析：选 B 设
1
0f(x)dx＝c，则 c＝
1
1
1
0(x2＋2c)dx＝ 3x3＋2cx Error!＝3＋2c，解
8
得 c＝－13.
5． 函 数
y＝ x2 与
y＝
kx(k>0)的
图
象
所
围
成
的
阴
影
部
分
的
面
积
为
9 2，
则
k＝
________________.
解析：由Error!解得Error!或Error!
1 x＋1
＝1x－x＋1 1.
取 F(x)＝ln x－ln(x＋1)＝lnx＋x 1，
11 则 F′(x)＝x－x＋1，
∫ ∫ ( ) 所以
21 1 x x＋1 dx＝
21 1
x
4
1 x－x＋1 dx＝lnx＋1Error!＝ln3.
定积分的综合应用
3
1
∫ [典例] (1)已知 x∈(0,1]，f(x)＝
b
∫ 为了方便，我们常常把 F(b)－F(a)记为 F(x)Error!，即
f(x)dx＝ F(x)Error!＝ F(b)－
a
F(a)．
[点睛] 对微积分基本定理的理解
b
∫ (1)微积分基本定理表明，计算定积分
f(x)dx 的关键是找到满足 F′(x)＝f(x)的函
a
数 F(x)，通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上
层级一 学业水平达标
1．下列各式中，正确的是( )
b
∫ A.
F′(x)dx＝F′(b)－F′(a)
a
b
∫ B.
F′(x)dx＝F′(a)－F′(b)
a
b
∫ C.
F′(x)dx＝F(b)－F(a)
a
b
∫ D.
F′(x)dx＝F(a)－F(b)
a
解析：选 C 由牛顿－莱布尼茨公式知，C 正确．
π
∫ 2.
D．1
答案：C
定积分的求法
1
∫ [典例] (1)定积分
(2x＋ex)dx 的值为(
0
)
A．e＋2
B．e＋1
C．e
D．e－1
2
∫ (2)f(x)＝Error!求
f(x)dx.
0
1
∫ [解析] (1)
(2x＋ex)dx＝(x2＋ex) Error!＝(1＋e)－(0＋e0)＝e，因此选 C.
0
2
答案：C
法一：由于(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥4ab，
( 3ab＋1
所以 － 2 2≥4ab，即 9(ab)2－10ab＋1≥0，
) 得(ab－1)(9ab－1)≥0，解得 ab≤19或 ab≥1. ( ] 所以 ab 的取值范围是 －∞，19 ∪[1，＋∞)．
法二：设 ab＝t，得 a＋b＝－3t＋2 1，
f(x)dx＝－2，求 a，
0
b，c 的值．
解：由 f(－1)＝2 得 a－b＋c＝2， ①
又 f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0, ②
1
1
∫ ∫ 而
0 f(x)dx＝
(ax2＋bx＋c)dx
0
( ) ＝
11 3ax3＋2bx2＋cx
01＝13a＋12b＋c，
∴13a＋12b＋c＝－2, ③
0
)
A．F′(x)＝cos x
B．F′(x)＝sin x
C．F′(x)＝－cos x
D．F′(x)＝－sin x
x
∫ 解析：选 A F(x)＝
cos tdt＝sin tError!＝sin x－sin 0＝sin x.
0
所以 F′(x)＝cos x，故应选 A.
2
∫ 2．若函数 f(x)＝xm＋nx 的导函数是 f′(x)＝2x＋1，则
(1－2x＋2t)dt，则 f(x)的值域是_________．
0
1
∫ (2)已知
[(3ax＋1)(x＋b)]dx＝0，a，b∈R，试求 ab 的取值范围．
0
1
∫ [解析] (1)
(1－2x＋2t)dt＝[(1－2x)t＋t2] Error!＝2－2x，即 f(x)＝－2x＋2，
0
因为 x∈(0,1]，所以 f(1)≤f(x)<f(0)，
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√
2．下列积分值等于 1 的是( )
1
∫ A.
xdx
0
1
∫ C.
1dx
0
答案：C
π
∫ 3．计算：
sin xdx＝(
0
)
A．－2
B．0
1
∫ B.
(x＋1)dx
0
∫1 1
D.
0 2dx
C．2
0
( ) 所以 12kx2＋x Error!＝k.
所以 12k＋1＝k，所以 k＝2.
a
∫ 4.
|56x|dx≤2 016，则正数 a 的最大值为( )
－a
A．6
B．56
C．36
D．2 016
解析：选 A 即 0<a≤6.
a
a
56
∫ ∫ |56x|dx＝2 －a
0 56xdx＝2× 2 x2Error!＝56a2≤2 016，故 a2≤36，
4
(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、
积分区间与函数 F(x)等概念．
[活学活用]
x
1
∫ ∫ 已知 f(x)＝
－a(12t＋4a)dt，F(a)＝
[f(x)＋3a2]dx，求函数 F(a)的最小值．
0
x
∫ 解：∵f(x)＝ －a(12t＋4a)dt
(1＋ 2x)dx， 则 a ＋ a ＝
0
5
6
__________.
3
∫ 解析：S10＝
(1＋2x)dx＝(x＋x2)30＝3＋9＝12.
0
因为{an}是等差数列，
10 a5＋a6
12
所以 S10＝ 2 ＝5(a5＋a6)＝12，所以 a5＋a6＝ 5 .
12 答案： 5
1
∫ 9．已知 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 f(－1)＝2，f′(0)＝0，