高一数学一次因式检验法习题精练

高一数学一次因式检验法习题精练
1.一次因式检验法(牛顿定理)：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 为一整系数n 次多项式，若b ax -为)(x f 的整系数一次因式且1),(=b a ，则0,a b a a n ,)1()1(-+-f b a f b a ，。

【证明】 f (x ) = a n x n + a n - 1x n - 1 + … + a 1x + a 0
= (ax - b )(b n - 1 x n - 1 + b n - 2 x n - 2 + … + b 1x + b 0)，其中b 0，b 1，…，b n - 1 ∈ Z
令g (x ) = b n - 1 x n - 1 + b n - 2 x n - 2 + … + b 1x + b 0
为整数n - 1次多项式，a ，b 为互质整数
(1)比较二式系数得a n = ab n - 1，a 0 = - bb 0 ∴ a | a n ，b | a 0
(2) f (1) = (a - b )g (1)，f (- 1) = (- a - b )g (- 1)，f (1)，f (- 1)，g (1)，g (- 1) ∈ Z
∴ a - b | f (1)，a + b | f (- 1)
2.利用一次因式检验法求方程式的根：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++
++为一整系数n 次多项式，若b a
为()0f x =的一个有理根﹐其中,a b 皆为整数且互质﹐即ax b -为()f x 的一个一次因式﹐则a 为n a 的因子，b 为0a 的因子
3.泰勒展开式：【2211)1()(,)()(---==⇒=n n n x n n x f nx x f x x f 】
)(x f 除以)(a x -余式为)(a f
)(x f 除以2)a x (-余式为))((')(a x a f a f -+
)(x f 除以k
a x )(-余式为11
)()!1())((')(----++-+k k a x k f a x a f a f 。

典型例题
1.f (x) = 6x4+ax3+ bx2+cx + 5，a，b，c ∈N，则下列何者不可能是f (x)的因式？
(A) x - 1(B) x + 1(C) 2x - 1(D) x + 3(E) 3x + 5。

【解答】利用整系数一次因式检验法
若(px -q) | f (x)，则p | 6，q | 5，即p = 1，2，3，6，q =± 1，± 5
∴(x + 3)f (x)
又a，b，c ∈N，若f (α) = 0，则α< 0，可知(x-1)及(2x - 1)均不可能
故选(A)(C)(D)
随堂练习.设a，b，c ∈Z，则下列何者恒非（不可能是）多项式f (x) = 2x4+ax3+ bx2+cx+ 5
的因式？(A) x - 1(B)2x - 1(C) x + 2(D) 5x - 1(E) 3x- 5。

【解答】利用一次因式检查定理
若f (x)有px -q的因式，,p q∈Z，p ≠ 0，(,p q) = 1，则p | 2，q | 5
∴设p2或q5，则f (x)必无px -q的因式
∴x + 2，5x - 1，3x- 5恒非f (x)的因式
而x - 1，2x- 1可能是f (x)的因式，也可能不是f (x)的因式
故选(C)(D)(E)
随堂练习.（）设f (x) = 3x4+ax3+bx2+cx+ 2且a﹐b﹐c为整数﹐则下列哪些不可能
为f (x)的因式﹖(1)x+ 1(2)x+ 3(3)2x+ 1(4)3x+ 1(5)3x+ 2﹒
【解答】利用整系数一次因式检查法﹐f (x)可能的整系数一次因式
为x± 1﹐x± 2﹐3x± 1﹐3x± 2﹒
故选(C)(D)(E)
2.（）设a﹐b﹐c皆为整数﹐判断下列哪些数绝对不可能是3x4+ax3+bx2
+cx+ 2 = 0
的根﹖(1)1(2) - 3(3)
1
2
-
(4)
1
3
-
(5)
2
3
﹒
【解答】可能有理根为± 1﹐± 2﹐
1
3
±﹐
2
3
±
故选(2)(3)﹒
3.设k为负整数，若f (x) =x4- 2x3+x2+kx - 3有整系数一次因式，求k之
值。

【解答】设f (x)的整系数一次因式为ax -b，则a | 1，b | -3，则ax -b可为x ± 1，x ± 3
(1) x+ 1 | f (x)⇒f (-1) = 0⇒ 1 + 2 + 1 -k- 3 = 0⇒k = 1（不
合）
(2) x- 1 | f (x)⇒f (1) = 0⇒ 1 - 2 + 1 +k- 3 = 0⇒k = 3（不
合）
(3) x+ 3 | f (x)⇒f (- 3) = 0⇒81 + 54 + 9 - 3k- 3 = 0⇒k =
47（不合）
(4) x- 3 | f (x)⇒f (3) = 0⇒81 - 54 + 9 + 3k- 3 = 0⇒k =
-11
故k =-11
随堂练习.若4322(3)2x kx x k x +-++-有一次因式﹐求整数k =____________﹒
【解答】0或3-
可能的一次因式为1x ±﹐2x ±
(1)若一次因式为1x - ⇒ 12(3)200k k k +-++-=⇒=
(2)若一次因式为1x + ⇒ 12(3)20k k ---+-= ⇒ 3k =-
(3)若一次因式为2x - ⇒ 16882(3)20k k +-++-= ⇒ 65
k =-（不合）
(4)若一次因式为2x + ⇒ 16882(3)20k k ---+-= ⇒ 0k =
故0k =或3-
随堂练习.设a ，b ∈ N ，c ∈ Z ，若x 5 - ax 4 + x 3 - 2bx 2 + x + 2有一次因式x - c ， 则a + b + c = 。

【解答】4或5
令f (x ) = x 5 - ax 4 + x 3 - 2bx 2 + x + 2，x - c | f (x ) ⇒ c | 2 ⇒ c = ± 1，± 2
∴ a + b + c = 4或5
4.试解方程式f (x ) = 6x 4 - 23x 3 + 28x 2 - 13x + 2 = 0﹒
【解答】
∴ f (x ) = (x - 1)(x - 2)(6x 2 - 5x + 1) = (x - 1)(x - 2)(2x - 1)(3x - 1)
∴ f (x ) = 0之各根为1﹐2﹐21﹐3
1 5.（ ）多项式2x 5 - 17x 4 + 54x 3 - 79x
2 + 52x - 12所含的一次因式有 (1)x +
4 (2)x - 2
(3)x - 3 (4)2x - 3 (5)2x - 1﹒
【解答】2x 5 - 17x 4 + 54x 3 - 79x 2 + 52x - 12 = (x - 2)(x - 3)(2x - 1)(x 2 - 3x + 2) 12217547952122426564612213282360-+-+--+-+-+-+ 21328236362121627720-+-+-+--+- 27721322640-+--+-+
故选(2)(3)(5)﹒
随堂练习.试求多项式2x5- 17x4+ 54x3- 79x2+ 52x- 12的整系数一次因式﹒【解答】令f (x) = 2x5- 17x4+ 54x3- 79x2+ 52x- 12﹐则f (x)可能的一次因式为x± 1﹐x± 2﹐x± 3﹐x± 4﹐x± 6﹐x± 12﹐2x± 1﹐2x± 3﹐逐项检查得﹕
∴原式= (x- 2)(x- 3)(2x- 1)(x2- 3x+ 2)
= (x- 2)(x- 3)(2x- 1)(x- 1)(x- 2) = (x- 1)(x- 2)2(x- 3)(2x- 1)∴一次因式有x- 1﹐x- 2﹐x- 3﹐2x- 1﹒
随堂练习.设f (x) =x3- 7x- 6﹐则(1)试求f (x)的所有整系数一次因式﹒(2)解方程式f (x) = 0﹒
【解答】由牛顿定理：f (x) = (x+ 1)(x+ 2)(x- 3)﹒
(1)一次因式有x+ 1﹐x+ 2﹐x- 3﹒
(2)f (x) = 0的三根为- 1﹐- 2及3﹒
6.因式分解多项式3x4- 2x3- 5x2- 4x - 4 =。

【解答】令f (x) = 3x4- 2x3- 5x2- 4x - 4，f (-1) = 3 + 2 - 5 + 4 - 4 = 0
f (2) = 3．16 - 2．8 - 5．4 - 4．2 - 4 = 0
⇒(x + 1) | f (x)且(x - 2) | f (x)⇒(x + 1)(x - 2) = (x2-x - 2) | f (x)
⇒
⇒ f (x) = (x2-x - 2)(3x2+x + 2) = (x + 1)(x - 2)(3x2+x + 2)
随堂练习.方程式4x4- 8x3+ 15x2- 24x+ 9 = 0的根为。

【解答】1. 设 f (x ) = 4x 4 - 8x 3 + 15x 2 - 24x + 9
∵ f (x )系数「正负相间」 ∴ f (x ) = 0无负根
2.利用有理根检查法，f (x ) = 0的有理根可能是1，3，9，21，23，2
9，41，43或4
9 3.∵ f (21) = 0，f (2
3) = 0 ∴ f (x ) = (2x - 1)(2x - 3)(x 2 + 3) 4.∴ f (x ) = 0的根为21，2
3或±i 3
7.整系数方程式x4- 5x3+mx2+nx+ 14 = 0有四相异有理根﹐则最大根为
__________﹒
【解答】利用有理根检验法
若有有理根q
p
﹐则p | 1且q | 14﹐即p=± 1﹐q=± 1﹐± 2﹐± 7﹐± 14
设四相异有理根为α﹐β﹐γ﹐δ∈{± 1﹐± 2﹐± 7﹐± 14}
又
5
14
αβγδ
αβγδ
+++=
⎧
⎨
=
⎩
∴四根为1﹐- 1﹐- 2及7﹐最大根为7
8.设a﹐b∈Z﹐方程式x4+ 3x3+ax2+bx+ 10 = 0有四个相异有理根﹐则其最大
根为__________﹒
【解答】设有理根为q
p
﹐(p﹐q) = 1﹐则p | 1﹐q | 10﹐所以有理根必为整数根﹐
故设四根为α﹐β﹐γ﹐δ
则x4+ 3x3+ax2+bx+ 10 = (x-α)(x-β )(x-γ )(x-δ )
∴α+β+γ+δ=- 3﹐αβγδ= 10
⇒四根为1﹐- 1﹐2﹐- 5﹐故最大根为2
随堂练习.设b﹐c∈Z﹐x4- 8x3+bx2+cx- 15 = 0有四个相异有理根﹐求数对(b﹐
c) = __________﹒
【解答】(14﹐8)
由整系数一次因式检验法可知
若α﹐β﹐γ﹐δ为x4- 8x3+bx2+cx- 15 = 0之有理根
则α﹐β﹐γ﹐δ必为整数﹐且α | 15﹐β | 15﹐γ | 15﹐δ | 15
故α﹐β﹐γ﹐δ之可能值为± 1﹐± 3﹐± 5﹐± 15
又由根与系数之关系﹐可知α+β+γ+δ= 8且αβγδ=- 15
故四相异有理根为1﹐- 1﹐3﹐5
所以x4- 8x3+bx2+cx- 15 = (x- 1)(x+ 1)(x- 3)(x- 5) =x4- 8x3+ 14x2
+ 8x- 15
得b= 14﹐c= 8
9.一次因式检验法：若整系数n次多项式f (x) =a n x n+a n- 1x n- 1+…+a1x+a0
有一次因式
ax-b﹐其中a﹐b是互质整数﹒试证：(1) a | a n且b | a0﹒(2) (a-b) | f (1)且(a+
b) | f (- 1)﹒
【解答】f (x) =a n x n+a n- 1x n- 1+…+a1x+a0= (ax-b)(b n- 1x n- 1+b n- 2x n- 2 +…+b1x+b0)
其中b0﹐b1﹐…﹐b n- 1∈Z
令g(x) =b n- 1x n- 1+b n- 2x n- 2+…+b1x+b0为整系数n- 1次多项式﹐
a﹐b为互质整数
(1)比较二式系数得a n=ab n- 1﹐a0=-bb0∴a | a n﹐b | a0
(2) f (1) = (a-b)g(1)﹐f (- 1) = (-a-b)g(- 1)﹐f (1)﹐f (- 1)﹐g(1)﹐g(- 1)
∈Z
∴a-b | f (1)﹐a+b | f (- 1)。