高考数学一轮练之乐 1.1.11函数模型及其应用 文

【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.1.11函数模型及其应用
文
一、选择题
1．(2013·福州质检)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A ．y ＝2x －2
B ．y ＝12(x 2
－1)
C ．y ＝log 3x
D ．y ＝2x
－2 答案：B
2．某种商品，现在定价每件p 元，每月卖出n 件．根据市场调查显示，定价每上涨x 成，卖出的数量将会减少y 成，如果涨价后的销售总金额是现在的1.2倍，则用x 来表示y 的函数关系式为( )
A ．y ＝10x －20x －10
B ．y ＝10x ＋10x －10
C ．y ＝10x －20x ＋10
D ．y ＝10x ＋20
x ＋10
解析：1.2pn ＝(p ＋x 10p )(n －yn 10)，化简得y ＝10x －20
x ＋10
.
答案：C
3．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A
(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产
品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( ) A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25 D ．60,16
解析：因为组装第A 件产品用时15分钟，所以
c A ＝15(1)，所以必有4＜A ，且c 4＝c
2
＝30(2)，联立(1)(2)解得c ＝60，A ＝16，故选D.
答案：D
4．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚得最大利润，售价应定为( ) A ．每个110元 B ．每个105元 C ．每个100元 D ．每个95元 解析：设售价为x 元，则利润 y ＝[400－20(x －90)](x －80) ＝20(110－x )(x －80)
＝－20(x 2
－190x ＋8800)
＝－20(x －95)2＋20×952
－20×8800. ∴当x ＝95时，y 最大为4500元． 答案：D
5．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的平均利润最大( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2
＋11，
则营运的年平均利润y x ＝－x －25x
＋12＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋25x ＋12≤12－225＝2，
当且仅当x ＝25
x
，即x ＝5时取等号．
答案：C
6．某医院研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的关系用如图所示曲线表示．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为( )
A ．4小时
B ．47
8小时
C ．415
16
小时 D ．5小时
解析：当0＜t ≤1时，y ＝4t ，
当t ≥1时，y ＝(12)t －3；当y ≥14时，4t ≥14，则t ≥1
16.
或(12)t －3≥14＝(12)2
，∴t －3≤2，t ≤5， 从而时间t ＝1516＋4＝41516
.
答案：C
二、填空题
7．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣率 不超过500元的部分 5% 超过500元部分
10%
某人在此商场购物总金额为x 元，可以获得的折扣金额为y 元，则y 关于x 的解析式为
y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0，0＜x ≤800，5%x －800，800＜x ≤1300，10%x －1300＋25，x ＞1300.
若y ＝30元，则他购物实际所付金额为__________元．
解析：若x ＝1300元，则y ＝5%(1300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x ＞1300. ∴10%(x －1300)＋25＝30，得x ＝1350(元)． 答案：1350
8．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2
和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．
解析：设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，所获利润y ＝5.06x －0.15x 2
＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30，该二次函数的对称轴为x ＝10.2，又x ∈N ，所以当x ＝10时，能获最大利润．L max ＝－15＋30.6＋30＝45.6. 答案：45.6
9．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．
解析：根据题目条件可知，c －a ＝x (b －a )，b －c ＝b －a －(c －a )＝(1－x )(b －a )，最佳乐
观系数满足：c －a 是b －c 和b －a 的等比中项，所以有[x (b －a )]2
＝(1－x )(b －a )(b －a )，又因为(b －a )＞0，所以x 2＝1－x ，即x 2
＋x －1＝0，解得x ＝－1±52
，又0＜x ＜1，所以
x ＝
－1＋5
2
. 答案：－1＋5
2
三、解答题
10．经市场调查，某超市的一种小商品在过去近20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时
间t (天)的函数，且日销售量(件)近似函数g (t )＝80－2t ，价格(元)近似满足f (t )＝20－
1
2|t －10|.
(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值． 解析：(1)y ＝g (t )·f (t )
＝(80－2t )·(20－1
2|t －10|)
＝(40－t )(40－|t －10|)
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
30＋t 40－t ，0≤t ＜10
40－t
50－t ，10≤t ≤20
.
(2)当0≤t ＜10时，y 的取值范围是[1200,1225]，当t ＝5时，y 取得最大值为1225； 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]，当t ＝20时，y 取得最小值为600.
综上，第5天，日销售额y 取得最大值为1225元；第20天，日销售额y 取得最小值为600元．
11．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米．
(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长度应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解析：设AN 的长为x (x ＞2)米， 由|DN ||AN |＝|DC ||AM |，得|AM |＝3x x －2， ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2
x －2.
(1)由S 矩形AMPN ＞32，得3x
2
x －2＞32，
又x ＞2，于是3x 2
－32x ＋64＞0，
解得2＜x ＜8
3
，或x ＞8，
即AN 长的取值范围为(2，8
3)∪(8，＋∞)．
(2)y ＝3x 2
x －2＝
3
x －2
2
＋12x －2＋12
x －2
＝3(x －2)＋12
x －2
＋12 ≥2
3
x －2·
12
x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝
12x －2
， 即x ＝4时，y ＝3x
2
x －2
取得最小值24，
∴当AN 的长度是4米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．
12．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；
(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)
解析：(1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，
再由已知得⎩⎪⎨
⎪
⎧
200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1
3，b ＝200
3.
故函数v (x )的表达式为
v (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
60，0≤x ＜20，1
3200－x ，20≤x ≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
60x ，0≤x ＜20，1
3
x 200－x ，20≤x ≤200.
当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋200－x 2]2＝10000
3，
当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．
所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10000
3.
综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值
10000
3
≈3333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．。