广东省江门市第一中学高三高考数学二轮复习专题训练+19+Word版含答案

数列通项公式的求法03
三、特殊方法
1、n S 法，即⎩⎨⎧≥-==-)2()
1(11n S S n a a n n
n 。

思路：如果数列{}n a 满足的某种关系是由数列{}n a 的前n 项和n S 给出时，则可以构造出n S 式①和1-n S 式②，然后利用公式⎩⎨
⎧≥-==-)2()
1(11n S S n a a n n
n ，将①式和②式做差，使其转化为数列
{}n a 的递推关系，再根据递推关系的特点，按照构造辅助数列等的方法求出数列{}n a 通项公
式。

例1：已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n a S n n 22+=。

（1）写出数列的前3项321,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式。

解：（1）由22111+==a S a ，得21-=a 。

由422221+==+a S a a ，得62-=a ，由321a a a ++6233+==a S ，得143-=a （2）当2≥n 时，有()2211+-=-=--n n n n n a a S S a ，即221-=-n n a a ； 令()λλ+=+-12n n a a ，则λ+=-12n n a a ，与①比较得，2-=λ；
{}2-∴n a 是以421-=-a 为首项，以2为公比的等比数列；
1122)4(2+--=⋅-=-∴n n n a ，故221+-=+n n a 。

补充练习：设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=-⨯+，*N n ∈。

（1）求首项1a 与通项n a ；
（2）设2n n n T S =，*
N n ∈，证明：1
32n
i i T =<∑。

解：（1）
2111412
2333a S a ==
-⨯+，解得：12a =；
()21111441
22333n n n n n n n a S S a a +++++=-=
---()
11242n n
n n a a ++⇒+=+；
所以数列
{}
2n n a +是公比为4的等比数列，所以：
()11
1224n n n a a -+=+⨯；
得：42n n
n a =-，*
N n ∈。

（2）()()()1114124122
242221213333333n n n n n n n n S a +++=-⨯+=--⨯+=--； ()()112323112221212121n n n n n n n n T S ++⎛⎫==⨯=⨯- ⎪
----⎝⎭
；
所以，
111
3113221212
n
i n i T +=⎛⎫=
⨯-< ⎪--⎝⎭∑。

2、对数变换法
思路：将一阶递推公式p
n n ca a =+1取对数得c a p a n n lg lg lg 1+=+。

例2：若数列{}n a 中，31=a 且2
1n n a a =+（n 是正整数），则它的通项公式是n a =。

解：因为0>n a ，将2
1n n a a =+两边取对数得n n a a lg 2lg 1=+，即
2lg lg 1
=+n
n a a ，所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项，公比为2的等比数列，1
2
113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ，即
1
23-=n n a 。

补充练习：已知数列{}n a 满足21=a ，2
1-=n n a a （2≥n ），求数列{}n a 的通项公式。

解：由2
1-=n n a a 可得，1lg 2lg -=n n a a ∴1
2
1112lg 22lg 2lg lg -=⨯=⨯=--n n n n a a
故1
22
-=n n a 。

3、平方（开方）法
例3：若数列{}n a 中，1a =2且2
13-+=n n a a （2≥n ）
，求数列{}n a 的通项公式。

解：将213-+=
n n a a 两边平方整理得32
12=--n n a a 。

数列}{2n a 是以4为首项，3为公差的
等差数列，133)1(2
12+=⨯-+=n n a a n 。

因为0>n a ，所以13+=
n a n 。

4、求差（商）法 例4：若数列{}n a 满足522
1
......2121221+=+++n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

解：当1=n 时，
1472111=⇒=a a ，设5221
......2121221+=+++n a a a n n ① 当2≥n 时，322
1
...212111221+=+++--n a a a n n ②
①—②得：2,22211
≥=⇒=+n a a n n n n ，综上，⎩⎨⎧≥==+2
,21,141n n a n n 。

5、迭代法
例5：已知数列{}n a 满足3(1)2115n
n n n
a a
a ++==，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为3(1)21
n
n n n
a a
++=，所以121
323(1)2321
2
[]
n n n n n n n n n a a
a
---⋅-⋅⋅--== 2(2)(1)
32(2)(1)
3(3)(2)(1)1
12(3)(2)(1)
(1)
1
23(1)22
3(2)23(1)23
3(2)(1)23
3
23(2)(1)2
13
!2
1
[]
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a
a a a a -+---+--+-+--+++-+-+----⋅⋅--⋅-⋅⋅---⋅-⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅====
=
=
又15a =，所以数列{}n a 的通项公式为
(1)
12
3!25
n n n n n a --⋅⋅=。

评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式
3(1)2
1n
n n n
a a ++=两
边取常用对数得1lg 3(1)2lg n
n n a n a +=+⨯⨯，即
1
lg 3(1)2lg n n n
a n a +=+，再由累乘法
可推知(1)1
2
3
!21
32
112
21
lg lg lg lg lg lg lg5lg lg lg lg n n n n n n n n n a a a a a a a a a a --⋅⋅-
--=⋅⋅⋅
⋅⋅=，
从而1(1)3!2
2
5n n n n n a --⋅⋅=。

6
、换元法
例6：已知数列{}n a 满足111
(14116
n n a a a +=
++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：令n b =21(1)24n n a b =-，故2
111(1)24
n n a b ++=-， 代入11(1416n n a a +=
+
得22
1111(1)[14(1)]
241624
n n n b b b +-=+-+， 即22
14(3)n n b b +=+，因为0n b =≥，故10n b +=≥，
则12
3n n b b +
=+，即11322
n n b b +=
+，可化为11
3(3)2n n b b +-=-，
所以{3}n b -是以13332b -==
=为首项，以2
1
为公比的等比数列，因此1
21
1
32()
()2
2
n n n b ---==，则21()32n n b -=+21()32n -=+，
得2111
()()3423
n n n a =++。

补充练习：
1、已知正数数列{}n a 中，21=a ，且关于x 的方程04
1
212
=++
-+n n a x a x +∈N n ，有相等的实根。

（1）求32,a a 的值； （2）求证：
3
2
11...111121<++++++n a a a ，+∈N n 。

解：（1）由0121=--=∆+n n a a 得121+=+n n a a ，又21=a ，则11,532==a a 。

（2）由121+=+n n a a 得 ）（1211+=++n n a a ，1231-⨯=+n n a ，
1
2
31
11-⨯=+n n a )21...21211(3111...11111221-++++=++++++n n a a a 32)211(322
11)21(131<-⨯=--⨯
=n n。

2、已知数列{}n a 中11=a ，1412
1=+⨯
+n
n a a ，记2
2221...n n a a a S +++=，若
30
12m
S S n n ≤
-+对任意的+∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为。

解：由1412
1=+⨯
+n
n a a 知
4112
2
1
=-
+n
n a a ，
344)1(112
1
2
-=⨯-+=
n n a a n
3412
-=
n a n 3
)12(41
...54114112-++++++=-+n n n S S n n ，
记3
)12(41
...541141)(-++++++=
n n n n f ， 则3
)32(41
3)12(41...941541)1(-++-++++++=
+n n n n n f ，
所以01
41
9811413)32(41)()1(<+-+=+--+=
-+n n n n n f n f ，
)(n f 关于n 单调递减，)(n f 的最大值为131S S f -=）（
， 又11=a ，3412
-=n a n ，则91,51,1232221===a a a ，45
142
32213=+=-a a S S ，
由题意知
451430≥m ，3
28≥m ，又+∈N m ，故m 的最小值为10。

3、（汉诺塔问题）传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里，安放了一块黄铜板，板上插了三根宝石柱，在其中一根宝石柱上，自上而下按由小到大的顺序串有64个金盘。

要求将左边柱子上的64个金盘按照下面的规
则移到右边的柱子上。

试问一共移动了多少次？规则：①一次只能移一个盘子；②盘子只能在三个柱子上存放；③任何时候大盘不能放在小盘上面。

解：若当A 上有n 个铁片时，共需要移动n a 次才能将铁片全部移到C 上，则当A 上有1+n 个
铁片时，为了将A 上面的n 个铁片先移到B 上，根据假设为此需移动n a 次，这样在移动1次就可将A 上的最下面的一个大铁片移到C 上，然后将B 上的n 各铁片移到C 上，这又需要移动n a 次，于是一共移动了121+=+n n a a （N n ∈）次。

由此可得，数列{}n a 的递推公式为
⎩⎨
⎧∈+==+)(121
1
1N n a a a n n ， 即)1(211+=++n n a a ，则数列}1{+n a 是以11+a 为首项，
21
1
1=+++n n a a 为公比的等比数列，
所以，112)1(1-+=+n n a a ，1212)1(11-=-⨯+=-n
n n a a 。