《二元一次方程组及其解法》 知识清单

《二元一次方程组及其解法》知识清单
一、二元一次方程组的概念
二元一次方程组是指由两个含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

一般形式为：
＼
＼begin{cases}
a_1x ＋ b_1y ＝ c_1 ＼＼
a_2x ＋ b_2y ＝ c_2
＼end{cases}
＼
其中，＼（x\）和\（y\）是未知数，＼（a_1\）、＼（b_1\）、＼（c_1\）、＼（a_2\）、＼（b_2\）、＼（c_2\）都是常数，且\
（a_1\）、＼（b_1\）不同时为零，＼（a_2\）、＼（b_2\）不同时为零。

例如：＼（＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 7 ＼＼ x 2y ＝－1\end{cases}＼）就是一个二元一次方程组。

二、二元一次方程组的解
使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

比如上面的方程组\（＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 7 ＼＼ x 2y ＝－
1\end{cases}＼），如果\（x ＝ 1\），＼（y ＝ 5\），分别代入两个方程：
左边＼（2×1 ＋ 3×5 ＝ 2 ＋ 15 ＝ 17\neq 7\），右边＼（7\），不满足第一个方程。

左边＼（1 2×5 ＝ 1 10 ＝－9\neq －1\），右边＼（－1\），不满足第二个方程。

所以\（x ＝ 1\），＼（y ＝ 5\）不是这个方程组的解。

而如果\（x ＝ 1\），＼（y ＝ 1\），代入：
左边＼（2×1 ＋ 3×1 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 5\neq 7\），右边＼（7\），不满足第一个方程。

左边＼（1 2×1 ＝ 1 2 ＝－1\），右边＼（－1\），满足第二个方程，但不满足第一个方程，所以也不是方程组的解。

只有当\（x ＝ 1\），＼（y ＝ 1\）同时满足两个方程时，才是这个二元一次方程组的解。

三、二元一次方程组的解法
1、代入消元法
代入消元法是通过将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

例如：解方程组\（＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ 2x y ＝
1\end{cases}＼）
由第一个方程\（x ＋ y ＝ 5\）可得\（x ＝ 5 y\），将其代入第二个方程\（2x y ＝ 1\）中，得到：
＼（2(5 y) y ＝ 1\）
＼（10 2y y ＝ 1\）
＼（10 3y ＝ 1\）
＼（－3y ＝ 1 10\）
＼（－3y ＝－9\）
＼（y ＝ 3\）
将\（y ＝ 3\）代入\（x ＝ 5 y\），得\（x ＝ 5 3 ＝ 2\）
所以，方程组的解为\（＼begin{cases}x ＝ 2 ＼＼ y ＝ 3\end{cases}＼）
2、加减消元法
加减消元法是通过将两个方程相加（或相减），消去一个未知数，从而求得方程组的解。

比如：解方程组\（＼begin{cases}3x ＋ 2y ＝ 8 ＼＼ 2x 2y ＝
4\end{cases}＼）
将两个方程相加，可得：
＼
＼begin{align}
3x ＋ 2y ＋（2x 2y) ＆＝ 8 ＋ 4 ＼＼
3x ＋ 2y ＋ 2x 2y ＆＝ 12 ＼＼
5x ＆＝ 12 ＼＼
x ＆＝＼frac{12}｛5}
＼end{align}
＼
将\（x ＝＼frac{12}｛5}＼）代入第一个方程\（3x ＋ 2y ＝ 8\），可得：
＼
＼begin{align}
3×＼frac{12}｛5} ＋ 2y ＆＝ 8 ＼＼
＼frac{36}｛5} ＋ 2y ＆＝ 8 ＼＼
2y ＆＝ 8 ＼frac{36}｛5} ＼＼
2y ＆＝＼frac{40}｛5} ＼frac{36}｛5} ＼＼
2y ＆＝＼frac{4}｛5} ＼＼
y ＆＝＼frac{2}｛5}
＼end{align}
＼
所以，方程组的解为\（＼begin{cases}x ＝＼frac{12}｛5} ＼＼ y ＝＼frac{2}｛5}＼end{cases}＼）
四、应用二元一次方程组解决实际问题
1、行程问题
例如：甲、乙两人相距\（6\）千米，两人同时出发相向而行，＼（1\）小时相遇；同时出发同向而行，甲\（3\）小时可追上乙。

两人的平均速度各是多少？
设甲的平均速度为\（x\）千米/小时，乙的平均速度为\（y\）千米/小时。

根据相向而行，＼（1\）小时相遇，可列方程：＼（x ＋ y ＝ 6\）根据同向而行，甲\（3\）小时可追上乙，可列方程：＼（3x 3y ＝6\）
组成方程组：＼（＼begin{cases}x ＋ y ＝ 6 ＼＼ 3x 3y ＝
6\end{cases}＼）
解得：＼（＼begin{cases}x ＝ 4 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＼）
所以，甲的平均速度是\（4\）千米/小时，乙的平均速度是\（2\）千米/小时。

2、工程问题
例如：一项工程，甲队单独做需要\（10\）天完成，乙队单独做需要\（15\）天完成。

若两队合作完成这项工程，需要多少天？
设两队合作需要\（x\）天完成，工作总量看作单位“＼（1\）”。

甲队每天完成的工作量为\（＼frac{1}｛10}＼），乙队每天完成的工作量为\（＼frac{1}｛15}＼）。

根据工作总量＝工作时间×工作效率，可列方程：
＼（（＼frac{1}｛10} ＋＼frac{1}｛15}）x ＝ 1\）
解得：＼（x ＝ 6\）
所以，两队合作需要\（6\）天完成。

3、商品销售问题
比如：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品的进价是\（20\）元，售价是\（30\）元；乙商品的进价是\（35\）元，售价是\（48\）元。

已知商店用\（900\）元购进这两种商品共\（30\）件，求购进甲、乙两种商品各多少件？
设购进甲商品\（x\）件，购进乙商品\（y\）件。

根据购进两种商品共用\（900\）元，可列方程：＼（20x ＋ 35y ＝900\）
根据购进两种商品共\（30\）件，可列方程：＼（x ＋ y ＝ 30\）
组成方程组：＼（＼begin{cases}20x ＋ 35y ＝ 900 ＼＼ x ＋ y ＝
30\end{cases}＼）
解得：＼（＼begin{cases}x ＝ 10 ＼＼ y ＝ 20\end{cases}＼）
所以，购进甲商品\（10\）件，购进乙商品\（20\）件。

五、解二元一次方程组的注意事项
1、在使用代入消元法时，要选择系数较简单的方程进行变形，以
便于代入计算。

2、在使用加减消元法时，要注意两个方程中相同未知数的系数，
如果系数相同用减法消元，如果系数互为相反数用加法消元。

3、无论是代入消元法还是加减消元法，在求解过程中要认真计算，避免出现错误。

4、解完方程组后，要将求得的解代入原方程组进行检验，看是否
满足两个方程。

总之，二元一次方程组是数学中的重要内容，掌握其概念、解法和
应用，对于解决实际问题和进一步学习数学都具有重要意义。

希望通
过这份知识清单，能够帮助大家更好地理解和掌握二元一次方程组的
相关知识。