江西省新余市分宜中学2024届数学高一下期末检测模拟试题含解析

江西省新余市分宜中学2024届数学高一下期末检测模拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设二次函数()2
2f x ax ax c =-+在区间[]0,1上单调递减，且()()0f m f ≤，则
实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0]
B ．[2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D ．[0，2]
2．已知函数1
,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩
，若方程2
3()(23)()20mf x m f x -++=有5个解，
则m 的取值范围是（） A ．(1,)+∞
B ．(0,1)(1,)⋃+∞
C ．31,2⎛⎫ ⎪
⎝⎭
D ．331,,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3．在等差数列中，
，
，则数列的通项公式为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点
(2P -，则cos sin 2παα⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．2
B 22
C 3
D ．23
5．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为( ) A ．①随机抽样法，②系统抽样法 B ．①分层抽样法，②随机抽样法
D ．①②都用分层抽样法
6．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛
⎫
>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图，
则π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值为( )
A ．
62
-B 62
+C 32
+ D 32
-7．各项不为零的等差数列}{
n a 中，2
3711440a a a -+=，数列}{
n b 是等比数列，且
77b a =，则68b b =（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．64
8．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()
0 1n
n P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势
B ．呈上升趋势
C ．摆动变化
D ．不变
9．下列函数中，值域为[)0,+∞的是（ ） A ．2x y =
B ．1
2y x =
C ．tan y x =
D ．cos y x =
10．已知球面上有,,A B C 三点，如果||||||23AB AC BC ===且球心到平面ABC 的距离为1，则该球的体积为 （ ） A ．
20
3
π B ．
205
3
C 155
D ．
105
3
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．若点()5,1P -为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在的直线的方程为___________.
12．关于x 的不等式1(tan 1)tan 4+-+≥x x m m ，对于0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，则实数m
13．圆22640x y x y +-+=和圆22450x y x +--=交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________. 14．已知锐角α、β满足5
sin 5
α=
，310cos 10β=，则αβ+=________.
15．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______． 16．英国物理学家和数学家艾萨克·牛顿（Isaac newton ，1643-1727年）曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型.现把一杯温水放在空气中冷却，假设这杯水从开始冷却，x 分钟后物体的温度()f x 满足：5
ln 53
()1550x f x e
-=+（其中 2.71828e =…为
自然对数的底数）.则从开始冷却，经过5分钟时间这杯水的温度是________（单位：℃）. 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．已知定义在R 上的函数()()()sin 0,0f x A x x A ωϕ=+>>的图象如图所示
（1）求函数()f x 的解析式； （2）写出函数()f x 的单调递增区间
（3）设不相等的实数，()12,0,x x π∈，且()()122f x f x ==-，求12x x +的值. 18．某运动爱好者对自己的步行运动距离x （单位：千米）和步行运动时间y （单位：分钟）进行统计，得到如下的统计资料：
如果y 与x 存在线性相关关系，
（1）求线性回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.01）；
个，求抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率． 参考数据：
(
)()()
6
6
6
2
1
1
1
175.4,=80.30,14.30i
i i
i
i i i y
x x
y y x x ====---=∑∑∑，
参考公式：()()
()
6
1
6
2
1
ˆi
i
i i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆy bx
a =+． 19．已知函数2
()12sin 2cos 2([0,])f x x a x a x π=---∈，设其最小值为()g a
（1）求()g a ； （2）若1
()2
g a =
，求a 以及此时()f x 的最大值. 20．一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.
（Ⅰ）请按字母F ，G ，H 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由） （Ⅱ）判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系.并说明你的结论. （Ⅲ）证明：直线DF
平面BEG
21．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，1AA ⊥平面ABCD ，
1AB =，12AA =，60BAD ∠=︒，点P 为1DD 的中点．
（1）求证：直线1BD ∥平面PAC ； （2）求证：AC ⊥平面11BDD B ；
（3）求直线CP 与平面11BDD B 所成的角的正切值．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
求出导函数'()2(1)f x a x =-，题意说明'()0f x ≤在[0,1]上恒成立（不恒等于0），从而得0a >，得开口方向，及函数单调性，再由函数性质可解. 【题目详解】
二次函数()2
2f x ax ax c ＝－＋在区间[]
0,1上单调递减，则0a ≠，
()()'210f x a x <＝－，所以0a >，即函数图象的开口向上，对称轴是直线1x ＝．所
以f (0)＝f （2），则当()()0f m f ≤时，有02m ≤≤． 【题目点拨】
实际上对二次函数2
()f x ax bx c =++，当0a >时，函数在(,]2b
a
-∞-
递减，在[,)2b a -
+∞上递增，当0a <时，函数在(,]2b a -∞-递增，在[,)2b
a
-+∞上递减.
【解题分析】
利用因式分解法，求出方程的解，结合函数()f x 的性质，根据题意可以求出m 的取值范围. 【题目详解】
23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=，
2()3f x =
，或1()f x m =，由题意可知：1(0)f m =，由题可知：当0x ≠时，2()3
f x =有2个解且1()f x m =有2个解且213
32
m m ≠⇒≠ ，
当0x ≠时，(1())x
x f x e e -==，因为11()))((()x x f x e e f x -===-，所以函数()
f x 是偶函数，当0x >时，函数()f x 是减函数，故有0()1<<f x ，函数()f x 是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当0x ≠时有，0()1<<f x ，所以011
1m
m <<⇒>，综上所述；
m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故本题选D.
【题目点拨】
本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键. 3、C 【解题分析】
直接利用等差数列公式解方程组得到答案. 【题目详解】
故答案选C 【题目点拨】
本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型. 4、D 【解题分析】
根据任意角三角函数定义可求得cos α；根据诱导公式可将所求式子化为2cos α，代入求得结果.
由(P -得：cos
3α=
=-
cos sin cos cos 2cos 2πααααα⎛⎫
+-=+=∴= ⎪⎝⎭
本题正确选项：D 【题目点拨】
本题考查任意角三角函数值的求解、利用诱导公式化简求值问题；关键是能够通过角的终边上的点求得角的三角函数值. 5、B 【解题分析】
①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法
要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会
解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响 而社区中各个家庭收入差别明显 ①用分层抽样法，
而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中 个体之间差别不大，且总体和样本容量较小， ∴②用随机抽样法 故选B 6、B 【解题分析】
根据函数的部分图象求出A 、T 、ω和ϕ的值，写出()f x 的解析式，再计算()8
f π
的
值． 【题目详解】
根据函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2
π
ϕ<
的部分图象知，
1A =，
741234T πππ=-=，2T π
πω
∴==，解得2ω=； 由五点法画图知，233
ππωϕϕπ⨯+=
+=，解得3π
ϕ=； π
1()sin(2)sin cos cos sin 88343432222
4
f πππππππ∴=⨯+=+=+⨯=
． 故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查利用三角函数的部分图象求函数解析式以及利用两角和的正弦公式求三角函数的值． 7、D 【解题分析】
根据等差数列性质可求得7a ，再利用等比数列性质求得结果. 【题目详解】
由等差数列性质可得：()2
2
2
371131177744480a a a a a a a a -+=+-=-=
又{}n a 各项不为零 78a ∴=，即78b =
由等比数列性质可得：2
68764b b b ==
本题正确选项：D 【题目点拨】
本题考查等差数列、等比数列性质的应用，属于基础题. 8、A 【解题分析】
可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【题目详解】
当10k -<<时，()011011n
k k <+<<+<，， 所以()001n
n P P k P =+<，呈下降趋势． 【题目点拨】
判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断． 9、B 【解题分析】
依次判断各个函数的值域，从而得到结果.
A 选项：2x
y =值域为()0,∞+，错误
B 选项：1
2y x =值域为[)0,+∞，正确
C 选项：tan y x =值域为R ，错误
D 选项：cos y x =值域为[]1,1-，错误
本题正确选项：B 【题目点拨】
本题考查初等函数的值域问题，属于基础题. 10、B 【解题分析】
ABC 的外接圆半径为3
r =
⨯⇒ 球半径R ⇒球的体积
为3
43
V π=
=
，故选B.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、2110x y --=； 【解题分析】
利用垂径定理，即圆心与弦中点连线垂直于弦． 【题目详解】
圆标准方程为22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)C ，101
532
CP k --==--， ∵P 是MN 中点，∴CP MN ⊥，即1
2MN PC
k k =-
=， ∴MN 的方程为12(5)y x +=-，即2110x y --=． 故答案为2110x y --=． 【题目点拨】
本题考查垂径定理．圆中弦问题，常常要用垂径定理，如弦长l =d 为圆心到弦所在直线的距离）． 12、14m ≤
或7
4
m ≥
利用换元法令tan t x =，则11
(1)(1)44
t t m m t t m m +-+
≥⇔+-≥-对任意的[0,1]t ∈恒成立，再对1
4
m -
分两种情况讨论，令(1)(),,
()(1)(1)(),,t t m t m f t t t m t t m t m +-≥⎧=+-=⎨-+-≤⎩
求出函数的最小值，即可得答案.
【题目详解】
令tan t x =，则11
(1)(1)44
t t m m t t m m +-+≥⇔+-≥-对任意的[0,1]t ∈恒成立， （1）当104
m -≤，即1
4m ≤时，上式显然成立；
（2）当1
04m -
>，即14
m >时， 令(1)(),,
()(1)(1)(),,t t m t m f t t t m t t m t m +-≥⎧=+-=⎨
-+-≤⎩
①当
114m <≤时，min ()0f t =，显然104m -≤不成立，故1
14
m <≤不成立； ②当1m 时，min ()min{(0),(1)}f t f f =，
∴1,412(1),
4m m m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≤--⎪⎩解得：74m ≥
综上所述：1
4m ≤或74m ≥. 故答案为：1
4
m ≤或74
m ≥
. 【题目点拨】
本题考查含绝对值函数的最值问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意分段函数的最值求解.
13、24y x =-+ 【解题分析】
弦AB 的垂直平分线即两圆心连线. 【题目详解】
2222450(2)9x y x x y +--=⇒-+=
弦AB 的垂直平分线即两圆心连线 方程为24y x =-+ 故答案为24y x =-+ 【题目点拨】
本题考查了弦的垂直平分线，转化为过圆心的直线可以简化运算. 14、
4
π. 【解题分析】
试题分析：由题意
cos )cos ?cos sin ?sin 5102
αβαβαβαβ=
=+=-=
，所以+4
π
αβ=
.
考点：三角函数运算. 15、24cm 【解题分析】
先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积. 【题目详解】
设扇形的半径为R,由题得4
2,2R R
=∴=. 所以扇形的面积为1
42=42
⋅⋅. 故答案为：24cm 【题目点拨】
本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16、45 【解题分析】
直接利用对数的运算性质计算即可, 【题目详解】
55ln
3
5ln 53
5ln 3
1
1
15501550155045
()53
10555e
e
f e
--=+=+⨯
=+⨯
==+.
故答案为：45. 【题目点拨】
本题考查对数的运算性质，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()=4sin 23f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦；（3）76
π；
【解题分析】
（1）根据函数的最值可得A ，周期可得ω，代入最高点的坐标可得ϕ，从而可得解析式；
（2）利用正弦函数的递增区间可解得；
（3）利用()2f x =-在(0,)x π∈内的解就是1x 和2x ，即可得到结果. 【题目详解】
（1）由函数()f x 的图象可得4A =， 又因为函数的周期72(
)1212T ππ
π=-=，所以22πωπ
==， 因为函数的图象经过点(,4)12
P π
，即4sin(2)412
π
ϕ⨯
+=，
所以2,6
2
k k Z π
π
ϕπ+
=+
∈，即2,3
k k Z π
ϕπ=+
∈，
所以()4sin(22)4sin(2)33
f x x k x ππ
π=++=+.
（2）由222,232k x k k Z πππ
ππ-≤+≤+∈，
可得5,1212
k x k k Z ππ
ππ-≤≤+∈， 可得函数()f x 的单调递增区间为：5[,],1212
k k k Z ππ
ππ-+∈， （3）因为(0,)x π∈，所以72(,
)333x πππ
+∈， 又因为()2f x =-可得1
sin(2)32
x π+=-，
所以7236x ππ+=或11236
x ππ
+=，
解得512x π
=或34
x π=，、
因为12x x ≠且()12,0,x x π∈，12()()2f x f x ==-， 所以1253147124126
x x ππππ
+=
+==.
【题目点拨】
本题考查了由图象求解析式，考查了正弦函数的递增区间，考查了由函数值求角，属于中档题.
18、（1）ˆ 5.627.31y
x =+（2）9
20
【解题分析】
（1）先计算所给数据距离、时间的平均值x ，y ，利用公式求b ，再利用回归方程求a . （2）由（1）计算30y >的个数，先求从6个y 中任取3个数据的总的取法，再计算抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的取法，利用古典概型概率计算公式可得所求. 【题目详解】
解：（1）依题意得175.4
3.9,29.236
x y ==
=， 所以()()
(
)
6
1
6
2
1
80.30
ˆ 5.6214.30
i
i
i i i x x y y b
x x
==--==
≈-∑∑ 又因为ˆˆ29.23 5.62 3.97.31a
y bx =-=-⨯≈， 故线性回归方程为ˆ 5.627.31y
x =+． （2）将x 的6个值，代入（1）中回归方程可知， 前3个小于30，后3个大于30 ，
所以满足ˆ30y
>分钟的有效运动数据的共有3个， 设3个有效运动数据为,,a b c ，另3个不是有效运动数据为,,A B C ，则从6个数据中
任取3个共有3
6C =20种情况（或一一列举），其中，抽取的3个数据恰有两个为有效
运动数据的有9种情况，即abA ，,,,,,,,abB abC acA acB acC bcA bcB bcC ，所以从这
6个时间数据ˆi y
中任取3个，抽取的3个数据恰有两个为有效运动数据的概率为9
20
P =
. 【题目点拨】
本题考查线性回归方程的建立，古典概型的概率，考查数据处理能力，运用知识解决实际问题的能力，属于中档题.
19、（1）21,2()21,22241,2
a a
g a a a a a <-⎧⎪⎪=----⎨⎪-+>⎪⎩（2）1a =-，()max 5f x = 【解题分析】
（1）利用同角三角函数间的基本关系化简函数解析式后，分三种情况112a
-、12
a >和
12
a
<-讨论，根据二次函数求最小值的方法求出()f x 的最小值()g a 的值即可； （2）把1
2
代入到第一问的()g a 的第二和第三个解析式中，求出a 的值，代入()f x 中
得到()f x 的解析式，利用配方可得()f x 的最大值． 【题目详解】
（1）由题意，函数2
()122cos 2cos 2f x x a x a =-+--
2
2cos 2cos 21x a x a =---2
22cos 2122a a x a ⎛
⎫=---- ⎪⎝
⎭
∵[]0,x π∈，∴cos [1,1]x ∈-， 若
12
a
<-，即2a <-，则当cos 1x =-时，()f x 取得最小值，()1g a =. 若112a -，即22a -，则当cos 2a x =时，()f x 取得最小值，2
()212
a g a a =---. 若
12
a
>即2a >，则当cos 1x =时，()f x 取得最小值，()41g a a =-+， ∴21,2()21,22241,2
a a
g a a a a a <-⎧⎪⎪=----⎨⎪-+>⎪⎩． （2）由（1）及题意，得当22a -时，
令21
()2122
a g a a =---=，解得1a =-或3a =-（舍去）
； 当2a >时，令1()412g a a =-+=
，解得1
8
a =（舍去）， 综上，1a =-，此时2
11()2cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，
则cos 1x =时，()f x 取得最大值()max 5f x =. 【题目点拨】
本题主要考查了利用二次函数的方法求三角函数的最值，要求熟练掌握余弦函数图象与性质，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质进行求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
20、（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析.
【解题分析】
（Ⅰ）点F，G，H的位置如图所示
（Ⅱ）平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD－EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH⊄平面ACH，BE⊂平面ACH，
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG＝B
所以平面BEG∥平面ACH
（Ⅲ）连接FH
因为ABCD－EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH
因为EG⊄平面EFGH，所以DH⊥EG
又EG⊥FH，EG∩FH＝O，所以EG⊥平面BFHD
又DF⊄平面BFDH，所以DF⊥EG
同理DF⊥BG
又EG∩BG＝G
所以DF⊥平面BEG.
考点：本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础
知识，考查空间想象能力、推理论证能力. 21、（1）见解析；（2）见解析；（3）15
5
【解题分析】
（1）只需证明PO ∥BD 1，即可得BD 1∥平面PAC ；（2）只需证明AC ⊥BD ．DD 1⊥AC ．即可证明AC ⊥平面BDD 1B 1（3）∠CPO 就是直线CP 与平面BDD 1B 1所成的角，在Rt △CPO 中，tan ∠CPO 15
5
CO PO ==
即可求解 【题目详解】
（1）设AC 和BD 交于点O ，连结PO ， 由于P ，O 分别是1DD ，BD 的中点，故1PO BD ，
∵PO ⊂平面PAC ，1BD ⊄平面PAC 所以直线1BD ∥平面PAC ．
（2）在四棱柱1111ABCD A B C D -中， 底面ABCD 是菱形，则AC BD ⊥
又1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，则1DD AC ⊥， ∵BD ⊂平面11BDD B ，1D D ⊂平面11BDD B ，1BD D D D ⋂= ∴AC ⊥平面11BDD B ．
（3）由（2）知AC ⊥平面11BDD B ． ∴CP 在平面11BDD B 内的射影为OP
∴CPO ∠是CP 与平面11BDD B 所成的角 因为60BAD ∠=︒，所以BCD 为正三角形
∴2
CO =
=
PO ==
在Rt CPO
中，tan 5CO CPO PO ∠===． ∴CP 与平面11BDD B
． 【题目点拨】
本题考查了线面垂直、线面平行的判定定理、线面角，属于中档题．。