江苏省南京市板桥中学高二数学理月考试题含解析

江苏省南京市板桥中学高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 命题“?x∈R，x3﹣3x＞0”的否定为（）
A．?x∈R，x3﹣3x≤0B．?x∈R，x3﹣3x＜0 C．?x∈R，x3﹣3x≤0D．?x∈R，x3﹣3x＞0
参考答案：
C
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即?x∈R，x3﹣3x≤0，
故选：C
2. 若函数在区间（0，2）内是减函数，则的取值范围是（）.
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
3. 已知，则的值为（）
A、 B、 C、
D、
参考答案：
A
略
4. 若向量与的夹角的余弦值为，则（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．或Ｄ．2或
参考答案：C
5. 已知命题，则是
A. B.
C. D.
参考答案：
A
6. 在同一坐标系中，方程的曲线大致是（）
参考答案：
A
7. 若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
略
8. 已知i是虚数单位，若iz= 1+2i，则=
A．2+i B．2-i C．D．
参考答案：
A
9. 设函数f（x）=xe x，则（）
A．x=1为f（x）的极大值点 B．x=1为f（x）的极小值点
C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点
参考答案：
D
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点
【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，
令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1
令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数
令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数
所以x=﹣1为f（x）的极小值点
故选D
10. 设、是方程的两个不相等的实数根，那么过点和
的直线与圆的位置关系是
A.相离
B.相切
C.相
交 D.不确定
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11.
参考答案：
-1或-2
12. 若圆锥的表面积为平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为
_______________。

参考答案：
解析：设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为，则由得，
而，即，即直径为
13. 函数的最大值是______________.
参考答案：
【分析】
通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.
【详解】，
当，，所以在上单调递增；
当，，所以在上单调递减；
所以.
【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则
．
14. 已知向量=(,), =(,)，若∥，则
= ▲ .
参考答案：
【知识点】向量共线的坐标表示
【答案解析】解析：解：因为∥，则.
【思路点拨】由向量共线的坐标关系，直接得到关于x的方程，解方程即可.
15. 在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．
参考答案：
2
16. 一束光线从点出发经轴反射到圆C：上的最短路程
是.
参考答案：
4
略
17. 用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做次减法.
参考答案：
4
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与抛物线C2：x2＝2py(p>0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l 与椭圆C1有一个交点的坐标是 (，－2)．
(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；
(2)若点P是直线l上的动点，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围．
参考答案：
(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以＝2，p＝4，
所以抛物线C2的方程是：x2＝8y，
椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，所以c＝2，
2a＝＋
＝4，
所以a＝2，b＝2，
即椭圆C1的方程是＋＝1.
(2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)，
抛物线方程可以化为：y＝x2，
所以y′＝x，
所以AP的方程为：y－y1＝x1(x－x1)，
所以－2－y1＝x1t－2y1，
即y1＝tx1＋2，
同理BP的方程为：y2＝tx2＋2，
所以直线AB的方程为：y＝tx＋2，
将直线AB的方程代入椭圆C1的方程得到：
(t2＋32)x2＋16tx－64＝0，
则Δ＝256t2＋256(t2＋32)>0，
且x3＋x4＝，x3x4＝，
所以·＝x3x4＋y3y4
＝ x3x4＋(x3＋x4)＋4
＝
＝－8.
因为0< ≤10，
所以·的取值范围是(－8,2]．
19. 在△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求B；
（2）若，，求△ABC的面积.
参考答案：
（1）；（2）6.
【分析】
（1）利用正弦定理及题设，得到等式，由代入等式得到关于的三角方程，再求得角的值；
（2）根据（1）中结论，利用余弦定理得到关于的方程，求出，利用面积公式
求得面积。

【详解】（1）由正弦定理及题设得：，
又
所以，即，
因为，所以。

（2）由余弦定理可得：，
解得或（舍），
因为。

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形内角和、三角形面积公式等知识，考查运算求解能力，求得，要注意写上条件，才能得到。

20. 、(12分) 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点，点为线段上的动点，
(I) 判断异面直线和所成的角的大小是否变化，并证明你的结论；
(II) 当直线和平面所成角最大时，试确定点的位置．参考答案：
(I) 不变；(II) 为的中点．
21. 如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程=x+；
（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
参考答案：
【考点】线性回归方程．
【分析】（1）根据所给的这组数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式，求得结果，再把样本中心点代入，求出的值，得到线性回归方程．
（2）根据上一问所求的线性回归方程，把x=100代入线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低标准煤的数量．
【解答】解：（1）由对照数据，计算得=4.5， =3.5，
∴==0.8
∴=0.15，
∴所求线性回归方程为=0.8x+0.15；
（2）由（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低
90﹣（0.8×100+0.15）=9.85（吨）．
22. 已知点F为抛物线y2=2px （p ＞0）的焦点，点M （2，m ）在抛物线E 上，且|MF|=3．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过x 轴正半轴上一点N （a ，0）的直线与抛物线E 交于A
，B两点，若OA⊥OB，求a 的值．参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；
（2）设直线AB的方程为x=ty+a，与抛物线方程联立，利用x1x2+y1y2=0求解即可．
【解答】解：（1）由题意，2+=3，∴p=2，
∴抛物线E的方程为y2=4x；
（2）设直线AB的方程为x=ty+a．A（x1，y1）、B（x2，y2），联立抛物线方程得y2﹣4ty﹣4a=0，y1+y2=4t，y1?y2=﹣4a
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0，
∴a2﹣4a=0
∵a＞0，∴a=4．。