江西省宜春市丰城河洲中学高三数学理联考试题含解析

江西省宜春市丰城河洲中学高三数学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=
A．2 B．
C．1 D．
参考答案：
A
由题意可知即,所以.
2. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是
（A）f(x)＝x|x| （B）f(x)＝－x3
（C）f(x)＝sin x（x∈[0，]）（D）f(x)＝
参考答案：
A
略
3. 已知的三顶点坐标为,,,点的坐标为,向内部投一点,那么点落在内的概率为( ).
A. B. C.
D.
参考答案：
A
略
4. 抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线
的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．
【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7
∴x1+x2=5，
∴A、B到y轴的距离之和为5，
故选：D．
5. 要得到函数的图象，只需将函数的图
象（）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
参考答案：
D
略
6. 函数y=x2＋x (－1≤x≤3 )的值域是
A. [0,12]
B.
C. [,12]
D.
参考答案：
D
略
7. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函
数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是
A．，B．，
C．，D．，
参考答案：
B
8. 己知集合￥，则下列结论正确的是
A. B.3 B C. D.
参考答案：
D
略
9. 若，，，
则（）
A．c>a>b B．b>a>c C．a>b>c D．b>c>a
参考答案：
C
略
10. 若全集U=R，集合A={x|1＜2x＜4}，B={x|x﹣1≥0}，则A∩?U B=（）
A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】本题考查集合的运算，将两个集合化简，故直接运算得出答案即可．
【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜2x＜4}={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，
则?U B={x|x＜1}，
∴A∩（?U B）={x|0＜x＜1}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知△ABC中，AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，则当AD最小时，△ABC 的面积为
．
参考答案：
【考点】余弦定理的应用；三角形的面积公式．
【分析】根据余弦定理可得：AC 2=AD 2+22﹣4AD?cos∠ADC，且
，进而，结合二次函数的图象和性质，可得AC=2时，AD取最小值，由余弦定理求出cos∠ACB，进而求出sin∠ACB，代入三角形面积公式，可得答案．
【解答】解：∵AB+AC=6，BC=4，D为BC的中点，
根据余弦定理可得：AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC，且AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos∠ADB，
即AC2=AD2+22﹣4AD?cos∠ADC，且，
∵∠ADB=π﹣∠ADC，
∴，
∴，
当AC=2时，AD取最小值，
此时cos∠ACB==，
∴sin∠ACB=，
∴△ABC的面积S=AC?BC?sin∠ACB=，
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点是余弦定理的应用，三角形面积公式，同角三角函数的基本关系，难度中档．
12. 已知函数，若将f(x)的极值点从小到大排列形成的数列记为
，则
参考答案：
13. 已知函数
，则，则a 的取值范围
是。

参考答案：
14. 已知函数
，设
，若
，则
的取值范围是
____________.
参考答案：
略
15. 若双曲线的一条渐近线方程为，则以双曲线的顶点和焦点分
别为焦点和顶点的椭圆方程为 参考答案：
16. 若直线的极坐标方程为
，圆：（为参数）上的点到直
线的距离为，则的最大值为 参考答案：
17. 某班级54名学生第一次考试的数学成绩为
，其均值和标准差分别为90分和4分，若
第二次考试每位学生的数学成绩都增加5分，则这54位学生第二次考试数学成绩的均值与标准差的
和为 分
参考答案：
99
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin （A ﹣B ）=sinAcosB ﹣
sinBcosA ．
（1）求证：A=B ；
（2）若A=，a=，求△ABC 的面积．
参考答案：
【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）sin （A ﹣B ）=
sinAcosB ﹣
sinBcosA ，展开利用正弦定理可得：acosB ﹣
bcosA=cosB ﹣cosA ，化简即可证明．
（2）A=B ，可得b=a=．c=2bcosA ，可得S △ABC =bcsinA=3sin
=3sin
，展开即可得
出．
【解答】（1）证明：∵sin （A ﹣B ）=sinAcosB ﹣sinBcosA ，
∴sinAcosB ﹣cosAsinB=
sinAcosB ﹣
sinBcosA ，
利用正弦定理可得：acosB ﹣bcosA=cosB ﹣cosA ，
化为：cosA=cosB ，又A ，B ∈（0，π）， ∴A=B ．
（2）解：∵A=B ，∴b=a=．
∴c=2bcosA=2
cos
， ∴S △ABC =bcsinA=
×2
cos
×sin
=3sin=3sin=3=．
【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 抛物线在点，处的切线垂直相交于点，直线与
椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点与椭圆的左焦点的距离；
（Ⅱ）设点到直线的距离为，试问：是否存在直线，使得，，
成等比数列？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（I）抛物线的焦点
，………1分
椭圆的左焦点
， (2)
分
则
．
………3分
（II）设直线，，，，，
由，得， (4)
分
故，
．
由，得，
故切线，的斜率分别为，，
再由，得
，
即，
故，这说明直线过抛物线的焦点
．………7分
由，得，
,即．………8分于是点到直线的距离. ………9分
由，得
，………10分从而，………11分
同理，
．………12分
若，，成等比数列，则，………13分
即，
化简整理，得，此方程无实根，
所以不存在直线，使得，，成等比数列．…
略
20. 在中，分别为角的对边，且
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，试判断的形状.
参考答案：
解：（Ⅰ）由正弦定理及已知，得
…………2分整理，得…………3分
有余弦定理，得…………5分
在中，，所以…………7分
（Ⅱ）由正弦定理及已知，得
…………9分即
结合及已知解得
即…………12分
因此是一个等腰钝角三角形…………13分
略
21. 已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为2+2a=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（2）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞a，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（1）因为f′（x）=﹣2a，x＞0，
因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，
所以f′（x）=2在（0，+∞）上有解，
即﹣2a=2在（0，+∞）上有解，也即2+2a=在（0，+∞）上有解，
所以2+2a＞0，得a＞﹣1，
故所求实数a的取值范围是（﹣1，+∞）；
（2）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，
因为g′（x）=，
①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，
②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，
因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，
又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，
所以g′（x1）=﹣2ax1+=0，则a=，
要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞a，
因为x1lnx1+1﹣a=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，
令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），
所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣﹣+lnx，x∈（0，1），
则P′（x）=﹣3x+=，
当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，
所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22. （本小题满分12分）
已知向量与互相垂直，其中．
（1）求和的值；
（2）求函数的值域。

参考答案：
解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入
得，
又，∴．（2）
，当，有最大值；当，有最小值。

所以，值域为
略。