复变函数7.3第7.3节 黎曼定理

y
D
A B C x B(1) A(0)
O
CO
D(i)
z 平面
wC'平面
D(1) A(0) B(1) C
w 平面
例1：
根据在保形映射下区域及其边界之间的对应关
系，已给半圆盘映射到w'平面上的区域，应当
在周界ABC的左方，因此它是第三象限。
最后作映射，w=w’2
当w'在第三象限中变化时，argw'在及之间变化

A() 平面
z 平面
w1 平面
例5：
把z平面的第一及第二象限分别映射成w‘平面的 上半平面及下半平面。这时射线AD被映射成w‘ 平面上正实轴的上沿，DC被映射成从0到h2的线 段的上沿，CB被映射成这条线段的下沿，BA被 映射成正实轴的下沿，于是z平面上已给区域被 保形映射成w'平面除去射线
2
解：把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并 且应用指数函数做映射，我们求得函数
w' eiz ,
例4：
把上述半带域映射成w'平面上的半圆盘。
把坐标系按反时针方向旋转一个直角，并且应
用例1中的映射，得到函数
w1


iw'1
2


iw'1
,
例4图：
y
D
D
A B Cx O
z 平面
y A()B(1) C(0)
（3）如果某一z0 (0<| z0 |<1)和它的象的模相等 ，或者|f'(0)|=1，那么 f (z) z, 其中 是一个模等于1的复常数。 注解2、施瓦茨引理在复变函数论的发展历史上 ，曾因和比伯巴赫猜想有关而受到广泛关注。
共形映射的基本问题
问题一：对于给定的区域D和定义在D上 的解析函数 w=f(z)，求象集G=f(D)，并 讨论f(z)是否将D保形地映射为G；
直交上面的两条直线。
由于分式线性函数中的系数是实数，所以z平面 上的实轴映射成w‘平面上的实轴；
又由于z=0映射成w'=-1，半圆的直径AC映射成 w'平面上的负半实轴。
例1图：
显然圆|z|=1映射成w'平面上的虚轴；又由于z=i 映射成w’=(i+1)/(i-1)，半圆ADC映射成w'平面上 的下半虚轴
圆的外部|z|>1保形映射成扩充w平面上去掉割
线
1 Re w 1, Imw 0,
而得的区域。
解：容易验证，分式线性函数
w' w 1, w 1
把此割线保形映射成w'平面上的负实轴，把扩
充w平面上已给区域保形映射成w'平面上除去负
实轴（包括0）而得的区域。
例3图：
y
x
O
O
z 平面
注解2、此定理的结论具有非常明确的物理 意义。
注解3、此定理是复变函数论的基础定理之 一，证明方法非常多，我们的证明方法是其 中较简单的一种。
最大模原理的推论
系6.1设D是一个有界区域，其边界为有限条简 单闭曲线C。设f(z)在D及其边界组成的闭区域上 连续，在D内解析，并且不恒等于常数。设M是 |f(z)|在上的最大值，即f(z)在闭区域上的最大模 ，那么f(z)在边界C上而且只在边界C上达到最大 模。
并且任给一实数0 ( 0 )，要求函数 w f (z)满足f (z0 ) w0，且arg f '(z0 ) 0，
则映射w f (z)是唯一的。
共形映射实例：
在解决某些实际问题以及数学理论问题时，我 们往往要把有关解析函数的定义域保形映射成 较简单的区域，以便进行研究及计算，我们下 面给出几个实例。
。因此w'平面上的第三象限就映照成w平面上的
上半平面。因此，所求单叶函数为：
w

w'2


z
1
2
,
z 1
例2：
例2、求作一个单叶函数，把z平面上的带形
0 Imz ,
保形映射成w平面上的单位圆|w|<1。 解：函数
w ez,
把z平面上的已给带形保形映射成w'平面上的上 半平面。
闭曲线双方单值地映射成简单函数单闭曲线的边界为简边界对应原理设区定理112233为边界的区域则是以的正向并令绕行方向定为的正向绕行时相应的函数两点则一定存在解析它们的边界至少包意给定的两个连通区域定理设定理黎曼存在唯一性是唯一的
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第七章 共形映射
第7.3节 黎曼定理
或者如果|f'(0)|=1，那么在|z|<1内 f (z) z,
其中 是一个复常数，并且 | | 1 。
施瓦茨引理的证明：
证明：由于f(0)=0，f(z)在|z|<1内有泰勒级数 f (z) 1z 2z2 ... n zn ... zg (z),
其中 g(z) 1 2z ... 在|z|<1内解析。
去负实轴而得的区域。因此我们得到
w
1


z
12
,
w1 z 1
例3：
由此可得函数
w 1 z 1 , 2 z
例4：
例4、求作一个单叶函数，把z平面上半带域
Re z , Im z 0,
2
2
保形映射成w平面上的上半平面，并且使得
f ( ) 1, f (0) 0.
解：首先作映射，把割线去掉，使已给区域的 全部边界都变到w'平面的实轴上。为此，用在 上述区域内的单叶解析函数
w' z2
例5图：
y C(hi) C(h2 )D(0)
A()
A
BD
x
B(0) A() w'平面
B(h)C(0)D(h)
O
A D(h2) C(0)B(h2 )
A() A() A() w
Im w' 0, Re w' h2 ,
而例得的5：区域。显然，函数，
w1 w'h2 ,
把w'平面的上述区域映射成w1平面上除去正实 轴所得的区域；而函数
w w1,
又把这一区域映射成w平面上的上半平面，其中 开方应理解为在正实轴的上沿取正值的一个解 析分支。
结合以上讨论，我们得到所求的单叶函数是：
w w1 1 ,
w1 1
例4：
最后得到所求的单叶函数：
w (iw'1)2 (iw'1)2 (iw'1)2 (iw'1)2
w'2 1 1 (eiz eiz ) sin z. 2iw' 2i
例5：
例5、在z平面的上半平面上，沿虚轴作一长h为 的割线。求作一个单叶函数，把上述半平面去 掉割线而得的区域保形映射成w平面上的上半平 面。
w0 f (z0 ) D1
而且w0必有一个充分小的邻域包含在D1内。
最大模原理：
于是在这个邻域内可以找到一点w'满足
| w'|| w0 |
从而在D内有一点z'满足w'=f(z')以及
| f (z) || f (z0 ) |
这与所设矛盾。因此f(z)在D内恒等于常数。
注解：
注解1、此定理表明，在一个区域内不恒等 于常数的解析函数，其模不可能在这个区域 内达到最大值；
w w1 w'h2 z2 h2 .
It’s The End！
Thank You！
Complex Function Theory
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例2图：
y
i
i
x
O
z 平面
O i
w'平面
1 O
w 平面
取w'平面上关于实轴的对称点-i及i，那么函数
w w'i , w'i
例2：
把的w'平面上的上半平面保形映射成w平面上的 单位圆|w|<1。
因此，我们得到所求的单叶函数为：
w

e.z ez

i i
.
例3：
例3、求作一个单叶函数，把扩充z平面上单位
注解2、边界对应确定映射函数；
注解3、注意边界对应的方向性。
图 z1
z2
D
z3
C
w1 w2
w3
w1
w3 D

w2
共形映射的存在唯一性
定理（黎曼存在唯一性定理）设D与G是任 意给定的两个连通区域, 它们的边界至少包含 两点，则一定存在解析函数w f (z)把D保形 地映射为G。 如果在D和G内再分别任意指定一点z0和w0，
因为当|z|<1时，|f(z)|<1，所以对于|z|=r(0<r<1) ，我们有
| g(z) || f (z) | 1 , zr
由最大模原理，当 | z | r 时，仍然有 | g(z) | 1 , r
施瓦茨引理的证明：
令 r 1 ，我们就得到：当|z|<1时
| g(z) | 1,
于是当0<|z|<1时，
证明：显然。
施瓦茨引理：
引理6.1设f(z)是在开圆盘|z|<1内的解析函数。设 f(0)=0，并且当|z|<1时，|f(z)|<1。在这些条件下 ，我们有
（1） 当|z|<1时，| f (z) || z |;
（2） 、| f '(0) | 1;
（3） 、如果对于某一个复常数 z0 (0 | z0 | 1),| f '(z0 ) || z0 |
C
D O
Bx
A w'平面
w1 平面 A(1) B(0) C(1)
w 平面
例4：
因此，我们到把以给半带域保形映射成w1平 面的上半平面的单叶函数，不过这时
z / 2,0, / 2,
分别被映射成 w1 ,1,0,
作分式线性函数，把上述三点分别映射成w=-
1,0,+1，
定理 （边界对应原理）设区域D的边界为简 单闭曲线C，函数w f (z)在D D C上解析， 且将C双方单值地映射成简单闭曲线。 当z沿C的正向绕行时，相应的w绕行方向定为 的正向，并令G是以为边界的区域，则w f (z)将D保形映射成区域G。
注解1、解析函数把区域变成区域；
g(z)
其中 是一个模为1的复常数。
注解：
注解1、此引理表明，设f(z)在|z|<1内解析。设 在 映 射 w=f(z) 下 ， |z|<1 的 象 在 |w|<1 内 ， 并 设 f(0)=0，那么
（1）|z|<r(0<r<1)的象在| w| r 内；
（2）| f '(0) | 1;
最大模原理：
最大模原理及施瓦茨引理也是解析的基本 性质之一，它在复变函数论中有大量应用。
定理6.1 如果函数w=f(z)在区域D内解析，并且 |f(z)|在D内某点达到最大值，那么f(z)在D内恒等 于常数。
证明：由定理1.3，假定f(z)在D内不恒等于常数 ，那么D1=f(D)是一个区域。
设|f(z)|在D的内部z0 达到最大值。显然，
例 1 、 求 作 一 个 单 叶 函 数 ， 把 半 圆 盘 |z|<1 ， Imz>0保形映射成上半平面。
解：因为圆及实轴在-1及+1直交，所以作分式
线性函数
w z 1, z 1
例1：
把-1及+1分别映射成w‘平面上的0及无穷两点，
于是把|z|=1及Imz=0映射成w‘平面上在原点互相
问题二：给定两个区域D和G，求一个解 析函数w=f(z)，使得f(z)将D保形地映射 为G；
问题二一般称为基本问题，我们一般用 单位圆作为一个中间区域。
图
z 平面
w 平面
平面
G
D f (z)
g(w)
| | 1
w g 1(w)
w g 1( f (z))
C 平面
另一方面，分式线性函数
z 1,
z 1
O
w'平面
1
1
w 平面
例3：
把圆|z|=1保形映射成复平面上的虚轴。由于它
把z=2映射成 3
可见它把扩充z平面上单位圆的外部|z|>1保形映 射成复平面上的右半平面。显然，
w' 2 ,
把此平面上的这一部分保形映射成w'平面上除
| f (z) | 1, z
即
| f (z) || z |
由于f(0)=0，当z=0时，上式成立，我们就得到 引理中的结论(1)；（2）的结论也显然成立。
施瓦茨引理的证明：
设在某一点 z0 (0 | z0 | 1), | f '(z0 ) || z0 |,
那么，或者|g(z)|在z0达到它的最大模1。 或者设|f'(0)|=1，那么我们有|g(0)|=| f'(0)|=1，即 在|g(z)|在0达到它的最大值1。因此，由极大模 原理，在|z|<1内，