carnot群上的hardy不等式及唯一延拓

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shi dian lun tan
C a r n o t群上的H a r d y不等式及唯一延拓
◎谢乐雄
摘要:Carnot群在次黎曼几何的研究过程中起着非常重要的作用，推动了 Carnot群上Hardy不等式在偏微分方程中研究的新进展，受到了数 学工作者的关注，对带奇异位优势的p-sub-Laplace方程的非负弱解建立二重性和唯一延拓性。

关键词：Carnot群;Hardy不等式；唯一延拓性
由N.Garofalo和 Lancone论证的 Heisenberg群 H n上的 Hardy不
等式，设 <|)(x)G C。

（H n\{0})，则 ▽H n<|)(x)|2dzdt彡
(l^L j^x^dzdtd.l)；
式中：VHn-------7]<平梯度；▽Hn c|) (X)---------; (Xi<|) (x JjX n^fx JjY iC j) (x),Y n c|)(x))；Q----2n+2。

2003年-2008年这五年时间里，钮鹏程、毛颜军、A.Goldstein和 Kombe等数学工作者对Hardy不等式的Lp形式做进一步证明获得在Carnot群G上的 Hardy不等式 |g|VG<})U)|p dx為
丨小(x)|p dx(1.2);式中:l<p<Q，A---齐次模。

Shen、金永阳在一般Carnot群上建立了加权Hardy不等式根据
—类带特殊权的p-sub-Laplace方程的解。

|g|▽G<|>(x)|P A«|▽g AF—c I x為(Q+「p) ^|<j>(x)|P A”|▽g A|2c I x(1.3);
式中:a e R，l<p<Q+〇t。

一、准备知识
一般Carnot群G上带奇异位优势的p-sub-Laplace方程解的唯
一延拓性。

-AG u+V<|>u=0(2.1)。

式中:设^Vedl2,其中 V G—水平梯度，V G=
(xl5-"X,,),d----次Laplace算子假设的距离，A g----为次Laplace算子。

设B(■为Carnot群G上中心在原点半径为r的球，当~0+得f J B r u2<}>=0( r m)(2.2)式中：m e N，u在原点无穷消失。

定理2.1设u是方程的解，V(d)—径向函数。

-Ae u+V(d)<|>u=0 (2.3);若Br■满足V(d)^-，C—正常数，u—在原点无穷消失。

则|^<})U=0( 0^r^R)〇
二、唯一延拓性
为了证明定理2.1，需要引进引理。

引理1:设u e C T[〇，R]满足lulrONC(去|u(r)|+去|u，(r)|)若 m满足 u(r)=〇(r™)(fO+),在[0,R]上，u=0;
证明:利用Cauchy不等式
&(p)=泰(1，2命)(1抵命)=(▲Ujlsr)
命(l，2jldr)=备 1，2命
由于常数r使得a B r l^p C H，得 L p^u(P)G
(1^2]^)如=卜C q2L,2小;因为u原点无穷阶消失，所以L pCH'
(卩咖=0(叫用2m+Q替m，可得
0= lim I’土咖=lim因此 n(r) r->-〇+r^-0+卜
=0(r m)〇
定理2.1证明:在式(2.3)两边同时乘以^并在aB[■积分可得
~m fa^AGUF d T+V(r) fa^U<，>F d r=〇{3-2)
利用引理1，式(3.2)又可写为-u"(r)-^_l T(r)+V(r)l T(r)=0;
对定理2.1的假设并结合引理1，11(「)=0，则^小=厂(^^^<}>)
dp=C〇_1|aBr)G(〇u(p)dp=0〇
(作者单位:邵阳学院理学院）参考文献
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