第19讲水波理论2

（2） 压力分布
以无限水深为例，根据下式可确定波浪中的压力：
p − p0
ρ
=−
kz
∂ϕ − gz ∂t
p − p0
ϕ=
ag
ω
e sin( kx − ωt )
ρ
= g ae kz cos(kx − ωt ) − z
[
]
等号右边第一项为波动压力，该项中的坐标用（x0 ，z0 ）代替，则根 据轨迹方程得压力分布规律：
⎤ t⎥ ⎦
记： 则有：
k1 + k 2 k= , 2
⎡1 ⎣2
ω=
ω1 + ω 2
2
⎤ ⎦
ζ = 2a cos ⎢ (δ k ⋅ x − δω ⋅ t )⎥ sin( kx − ω t ) = ζ sin( kx − ω t )
合成后的波仍是正弦波，波数和频率为原先两波的平均值，幅值随空 间和时间缓慢变化：
h
B
o
z
λ
A
C
x
E
D
∂ϕ ρ ∂ϕ T = ∫∫∫ ∇ϕ dτ = ∫∫ ϕ dS = ∫ ϕ dl 2 τ 2 S ∂n 2 l ∂n
2
ρ
ρ
式中的l为周线OABCDE，由于波动的周期性，在积分域左右两侧上的速度 势相同，外法线方向相反，积分为零；在水底，法向速度为零，积分为 零。因此闭路积分只剩下沿自由面的OABC上的线积分。
= aω = 2 × 1.047 = 2.094 ( m/s)
例6－3：已知无限水深微幅波的波幅a=0.3m，周期τ=2s，试求波面的最大 倾角及波幅减小一半的水深。
ω 解：由周期计算圆频率： = 2π / τ = 6.282 / 2 = 3.142 (1 / s)
根据无限深的色散关系求波数：k = ω 2 / g = 3.142 2 / 9.81 = 1.006 (1 / m) 则有波面方程： ζ = a sin( kx − ωt ) = 0.3 sin(1.006 x − 3.142 t ) 波倾角的正切就是波面的斜率，所以有：
z
cg =
δω δk
2a cos
δ kx − δωt
2
c x
o
2π δk 2π k
可见，合成波分列于波形包络线内，形成独立的波浪组，称为波群。
很显然，波群的波长为： 波群的传播速度为：
4π λg = δk
cg =
δω δk
这个速度称为群速度，它决定着能量转移的速度，是波浪运动的一个重要 力学参数。 当 δ k → 0, δ ω → 0 时，并根据关系 为：
对于微幅波可 用直线代替波面，则动能表示为：
ρ λ ⎡ ∂ϕ ⎤ T = ∫ ⎢ϕ ⎥
2 0 ⎣ ∂z ⎦ z =0
dx
对于位能，以流体平衡时的位能为基准，波动后的位能增加量为：
ζ λ λ 0 ⎡ζ ⎤ 1 V = ∫ ⎢ ∫ ρgzdz − ∫ ρgzdz ⎥dx = ∫ dx ∫ ρgzdz = ρ g ∫ ζ 2 dx 2 ⎥ 0 ⎢−h −h 0 0 0 ⎦ ⎣ λ
ω = kc，k =
2π
λ
，群速度表示
dω dc dc cg = =c+k = c−λ dk dk dλ
上式称为瑞利公式，他确定了相速度和群速度的关系。
dc > 0，c g < c ①若 dλ
称为正常色散。
②若 ③若
dc < 0，c g > c dλ
dc = 0，c g = c dλ
称为反正常色散 称为无色散
两式联立，消去时间变量t，可得水质点轨迹方程：
( x − x 0 )2
⎡ ch k ( z 0 + h) ⎤ ⎢a sh kh ⎥ ⎦ ⎣
2
+
( z − z 0 )2
⎡ sh k ( z 0 + h) ⎤ ⎢a sh kh ⎥ ⎦ ⎣
2
=1
这是一个椭圆方程，说明有限水深波浪中水质点的运动轨迹是椭圆， 椭圆中心就是质点平衡位置（x0，z0）。 在水面以下，z坐标小于零，即z0 <=0，所以，随着水深的增加，长、 短半轴都是减小的。 在水面z0 =0，长轴为：
ω 2 − ω1 = δω
其中，波数和频率之差都是小量： k 2 − k1 = δ k , 两波叠加后：
ζ = a sin( k1 x − ω1t ) + a sin( k 2 x − ω 2 t ) = ω1 + ω 2 ⎡1 ⎤ ⎡ k1 + k 2 2 a cos ⎢ (δkx − δω t ) ⎥ sin ⎢ x− 2 ⎣2 ⎦ ⎣ 2
tan α = ∂ζ / ∂x = 0.3018 cos(1.006 x − 3.142 t )
解得最大波倾角： = arctan 0.3018 = 16 .79 o α 无限水深的质点做圆周运动，轨圆半径为 ae kz，波幅减为一半，即：
e
1.006 z
1 = 2
ln(1 / 2) 解得： z = = −0.689 ( m ) 1.006
质点的轨迹方程为：
V = u 2 + w2 = aωe kz0
x − x0 = −ae kz0 sin( kx0 − ωt )⎫ ⎪ ⎬ kz0 z − z0 = ae cos(kx0 − ωt ) ⎪ ⎭
或者：
(x − x0 ) + (z − z0 )
2
2
= ae
(
kz0 2
)
质点轨迹方程为圆，所以无限深进行波的质点以等角速度近似 的作圆周运动，半径是 ae kz0 。 圆半径在自由面上最大，等于波 幅a；随着水深增加，半径减小。 当水深达到半个波长时，半径是 水面的1/23，说明了水波的表面性。
轨迹的水平宽度不变，短轴随深度线性衰减，至水底为零。
对于无限水深：
h→∞
⇒ ⇒
ch k ( z0 + h) → e kz0 shkh shk ( z0 + h) → e kz0 shkh
则速度分量可表示为：
u = aωe kz0 cos(kx0 − ωt )⎫ ⎪ ⎬ kz0 w = aωe sin( kx0 − ωt ) ⎪ ⎭
第19讲 水波理论(2)
(Water Wave Theory)
主要内容： 1.平面进行波 2.波群与波速度 3.开尔文波系——船波 4.波能的转移和兴波阻力 5.不规则波
1 平面进行波
（1） 质点运动速度和轨迹
由速度势可求出流体质点的速度：
ϕ=
ag ch k ( z + h) sin( kx − ωt ) ch kh ω
z = λ /2
质点运动方向
以质点平衡位置（x0，z0）为原点，建立极坐标系，辐角表示质点与 其平衡位置连线与x轴的夹角，则迹线方程可表示为：
x − x0 = −ae kz0 sin( kx0 − ωt )⎫ π ⎪ ⎬ ⇒ θ − = kx0 − ωt kz0 2 z − z0 = ae cos(kx0 − ωt ) ⎪ ⎭
ω 2 = gk th kh
u=
∂ϕ dx ch k ( z + h) ⎫ = = aω cos(kx − ωt )⎪ ⎪ ∂x dt sh kh ⎬ ∂ϕ dz sh k ( z + h) = = aω w= sin(kx − ωt ) ⎪ ⎪ ∂z dt sh kh ⎭
流体质点的运动速度与波形传播的速度不同，流体质点在水平和垂 直方向均作简谐运动。质点速度随水深增加而减小。 任何自由浮体都不会随波前行，它只在原来位置上下左右振荡。
2 波群与群速度
驻波和进行波都是单一波长的波。实际的波动都包含诸多波长不同、 波速不同的成分。这种由两个以上波长不同的波合成的波称为波群。 简单起见，只讨论由两个波幅相同、而波长或频率差一小量的正弦波 叠加而成波群。 设两个波的波形分别为：
ζ 1 = a sin( k1 x − ω1t )
ζ 2 = a sin( k 2 x − ω2t )
⇒ c g = c = gh
3 开尔文波系——船波
前面讨论的是同方向传播的简单波的叠加情况。而不同方向传播的波 会叠加成为另一类波群。如自由面的扰动缩为一点，点扰动激起的波向四 面八方传播。 Kelvin首先得到了点扰动匀速直线运动的兴波图形。在大海中，船就 可看作一个压力点。
19 o 28′
横波
U
船体遭受的兴波阻力与首尾两个横波系之间的干扰有很大关系。线形 较为丰满的船舶，在首尾与平行中体 相连接的“肩部”都有可能形成这种 凯尔文波系。 船速低，散波系明显；船速渐高，横波系逐渐明显，离船渐远，散波 很快消失，只剩横波。
4 波能的转移和兴波阻力
（1） 波的能量
波的能量包括动能和位能两部分。 以有限深余弦波为例，取一个波长单位 宽度的流体域 τ 。设域表面为S，单位外法 向量为n，根据势流动能公式可知波的动 能：
acth kh
短轴为：a 在水底z0 =－h，长轴为： 短轴为：0
a sh kh
对于长波（浅水波）：
kh =
2π h
λ
→0
ch k ( z0 + h) 1 ⇒ → sh kh kh z0 sh k ( z0 + h) ⇒ → 1+ h sh kh

a z0 a 所以长轴为： ，短轴为： (1 + ) ，即长轴为定值，质点运动 kh h
54 o 44′
U
o
散波
一个匀速直线运动的压力点（点扰动）的兴波图形如上图。兴波分为 两组波系：
2π U 2 ① 波峰略弯的横波系，波长为： λ = g
19 o 28′
横波
54 o 44′
U
o
散波
② 散波系 横波系和散波系相互干涉，并同压力点一起前进。横波系和散波系相 交成尖角，尖角与压力点的连线称为尖角线。尖角线与运动方向的夹角 为： o 28′ ，称为凯尔文角。可见，船波仅限于顶角为 2 × 19 o 28′ 的扇形 19 区域内。 船在水中航行，船体对水的作用相当于连续分布的压力点在水面运 动，每一点都产生波浪，兴波最强的是船首尾两处，因为存在着驻点。 在驻点处流体的动能转变为压能，压力很大。因此可用首尾两个压力 点的兴波近似描绘整个船的兴波，即首尾各有一个凯尔文波系，每一波系 都有自己的横波系和散波系。
p − p0
ρ
= g ae kz0 cos(kx0 − ωt ) − z
[
]
p = p 0 − ρ gz 0
z − z0 = ae kz0 cos(kx0 − ωt )
可见质点在运动过程中，压力保持不变。上式与静力学基本方程一 致，说明静止状态下的等压面，在波动过程中仍为等压面。这些等压面 称为次波面，次波面方程由下式确定：
k = ω 2 / g = 1.047 2 / 9.81 = 0.112 (1 / m)
λ = 2π / k = 6.28 / 0.112 = 56( m)
计算波速： c = ω / k = 1.047 / 0.112 = 9.35( m / s) 波峰处质点的速度： V = aωe kz 0
z0 = 0
1 ∂ϕ η=− g ∂t
z = z0
例6－2：一浮标在无限深的涌浪中每分钟上下摆动十次，摆幅为2m。试求 波长、波形传播速度及处于波峰位置质点的速度。 解：由每分钟上下摆动10次，得周期： = 60 / 10 = 6(s) τ 由周期计算圆频率： = 2π / τ = 6.28 / 6 = 1.047 (1 / s) ω 根据无限深的色散关系求波数和波长：
上式对应于拉格朗日观点，（x0，z0）不同，表示不同的质点。在初 始时刻t = 0对上式积分：
ch k ( z0 + h) ⎫ x − x0 = −a sin(kx0 − ωt )⎪ ⎪ sh kh ⎬ sh k ( z0 + h) z − z0 = a cos(kx0 − ωt ) ⎪ ⎪ sh kh ⎭
将色散关系代入瑞利公式，对于有限水深：
c=
ω
k
=
gλ 2π h th λ 2π
dc ⇒ cg = c − λ dλ
c 2kh ⇒ c g = (1 + ) 2 sh 2kh c 2
对于无限水深：
2kh →0 sh 2kh
⇒ cg =
即无限水深时，波群的传播速度是单个波的相速度的一半。 对于浅水波：
2kh →1 sh 2kh
则旋转角速度为： dθ
dt
z
= −ω
可见，质点沿轨迹顺时针方向运动。
波传播方向
x =λ/2 x=λ
o
x
波峰，质点向右运动，与波前进方向一致；在波谷，质点速度向左， 与波的前进方向相反。 质点速度与波速之比： V ≤ aω = ak = 2π a
c
c
λ
a
λ
是小量，可见微幅波的质点振荡速度远小于波速。
质点运动轨迹
对于微幅波，质点偏离平衡位置的的距离很小，因此可以用质点平衡 位置的坐标（x0，z0）表示质点的速度：
ch k ( z 0 + h) dx ⎫ = aω cos(kx0 − ωt )⎪ ⎪ sh kh dt ⎬ sh k ( z 0 + h) dz = aω sin(kx0 − ωt ) ⎪ ⎪ sh kh dt ⎭