吉林省梅河口市第五中学高2018届高2015级高三第一学期月考文科数学试题参考答案

数学试卷参考答案(文科)
1.A
2.A
3.C
4.D
5.B
6.D
7.D
8.C
9.B
10.B
11.C
12.C
13.－1
14.(7,＋∞)
15.812
16.
2
17.解:(1)由正弦定理可得 2a 2＋b 2＝c 2,
∵b ＝2a ＝4,∴c =
由余弦定理可得
cos C = - 1 ,∴sin C =
4
. 4
∴△ABC 的面积为 1
ab sin C =2
.
cos C = = - (2)由余弦定理可得
-a 2 1
,∴a ＝b .
2ab 2
∴.c 2＝3a 2＝3,∴a ＝b ＝1,
∴△ABC 的周长为
2 .
18.解:(1)由折线图可知 5 月和 6 月的平均利润最高.
(2)第 1 年前 7 个月的总利润为 1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百 万元),
第 2 年前 7 个月的总利润为 2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元), 第 3 年前 7 个月的总利润为 4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元), ∴这 3 年的前 7 个月的总利润呈上升趋势.
(3)∵ x = 2.5 ,y = 5 ,12＋22＋32＋42＝30,1×4＋2×4＋3×6＋4×6
＝54,
∴b = 54 - 4 ⨯ 2.5 ⨯ 5 = 0.8 , 30 - 4 ⨯ 2.5
2
∴a
= 5 - 2.5 ⨯ 8 = 3 ,
∴ y = 0.8x + 3 ,
当 x ＝8 时, y = 0.8 ⨯ 8 + 3 = 9.4 (百万元),∴估计 8 月份的利润为
940 万元.
19.解:(1)当 n ≥2 时,a n ＝S n －S n －1＝2n －1＋p .
当 n ＝1 时,a 1＝S 1＝1＋p ,也满足 a n ＝2n －1＋p ,故 a n ＝2n －1
＋p .
∵a 2,a 5,a 10 成等比数列∴(3＋p )(19＋p )＝(9＋p )2,∴p
＝6,
∴a n ＝2n ＋5.
(2)由(1)可得
b
= 5 ( 1 - 1 ) + 1 , n
2 2n + 5 2n + 7
5 1 1 1 1 1 1 5 n
14 n 2
+54 n ∴T = n + ( - + - + + - ) = n + = . n
2 7 9 9 11 2 n + 5 2 n + 7 14 n + 49 14 n + 49
1
PB
20.(1)证明:在等腰△APB 中,cos ∠ABP = 2
AB = 1
, 3
则由余弦定理可得 PE 2 = ( 2 )2 + 22 - 2 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ 1 = 32 ,∴ PE = .
3 3 3
9
3
∴PE 2＋BE 2＝4＝PB 2,∴PE ⊥AB ,
∵平面 PA B ⊥平面 A BC D ,平面 PA B ∩平面 ABCD ＝AB ,
∴P E ⊥平面 ABCD .
(2)解:设平面 EFG 与棱 CD 交于点 N ,连接 E N ,因为 CF ∥AD , 所以 GF ∥平面 ABCD ,从而可得 EN ∥AD .
延长 FG 至点 M ,使 GM ＝GF ,连接 DM ,MN ,则 AFE －DMN
为直三棱柱.
∵F 到 AE 的距离为 1 PE = , AE = 7
,
2 3 3
∴
1 7 S △ AEF = ⨯ ⨯=,
2
3 3 9
2
∴V = 2 = ,V
= 1 ⨯ ⨯1 = , AFE - DMN 9
9
G - DMN
3 9 27
∴
V AFENDG = V AFE - DMN - V G - DMN =.
27
又 1
V P - ABCD = ⨯ PE ⨯ S 矩形ABCD ,
3 3
∴V : V = : (- ) = 35 : 37 . 左 右
27
3
27
21.解:(1)过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为 4
,
设右焦点的坐标为(c ,0),依题意知,
⎧ ⎪2c = 2 ⎪ 2 2 2 ⎨a = b + c ⎪
,又 b ＞1, ⎪(b -⎪⎩
2 + c 2 = 4 3
解得 a ＝2,b =
,c ＝1,
∴椭圆 C 的方程为 x 2 y 2 + = 1 .
4 3
(2)设过椭圆 C 的右焦点的直线 l 的方程为 y ＝k (x －1),
将其代入 x 2 y 2
+ = 1 中得,(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0,
4 3
设 A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
则 x + x =
8k 2
, x x = 4k -12 , 1 2 3 + 4k 2
1 2
3 + 4k 2
∴ y + y = k (x + x ) - 2k = 8k 3
- 2k = -6k , 1 2 1 2
3 + 4k 2 3 + 4k 2
∵P 为线段 AB 的中点,
, 2 2 2 2
2 ∴点 P 的坐标为(
4k 2 , -3k
) 3 + 4k 2
又直线 PD 的斜率为- 1 ,
k
3 + 4k 2
直线 PD 的方程为 y - -3k = - 1 (x - 4k 2 ) 3 + 4k 2 k 3 + 4k 2
令 y ＝0 得, x =
k ,由点 D 的坐标为( k ,0), 3 + 4k 2 3 + 4k 2
则 k = 1 ,解得 k ＝±1.
3 + 4k 2 7
22.解:(1)当 a ＝3 时, f '( x ) = 1
-
x 3 (x + 1)2 ,∴ f '(1) = 1 .
4
(2) f '( x ) = 1 - x a
( x + 1)2 = x + (2 - a ) x + 1 (x ＞0), x ( x + 1)2
令 g (x )＝x 2＋(2－a )x ＋1,
①当 0≤a ≤4 时,Δ＝(2－a )2－4≤0,g (x )≥0,即 f ′(x )≥0, 函数 f (x )在(0,＋∞)上单调递增.
a - 2 ②当 a ＞4 时,Δ＞0,令 f ′(x )＝0,则 x =
> 0 , 2
在(0,
a - 2 2 )和( a - 2 2
,＋∞)上,f ′(x )＞0,
函数 f (x )单调递增；在(
a - 2 2 ,
a - 2 + 2
)上,f ′
(x )＜0,函数 f (x )单调递减.
(3)由(1)可知,当 a ＞4 时,函数 f (x )在(0,＋∞)上有 极值.
f ( x ) ≤ (2016 - a ) x 3
+ x
+ a - 1
可化为 ax 3≤x －1－lnx ＋2016x 3, x + 1
∵x＞0,∴a ≤ 1 (x-1- ln x) + 2016 ,
x3
设h(x)＝x－1－lnx(x＞0),则h'( x) =1-1 =x -1,
x x
当0＜x＜1 时,h′(x)＜0,函数h(x)单调递减；当x＞1 时, h′(x)＞0,函数h(x)单调递增.
∴当x＞0 时,h(x)≥h(1)＝0,∴所以a≤2016.1
(x-1- ln x) +2016≥2016 , x3
又∵a＞4,∴4＜a≤2016,即a 的取值范围是(4,2016].。