数学-高二-浙江省杭州市某重点中学2013-高二上学期抽测数学理试题

浙江省杭州市某重点中学2013-2014学年高二上学期
抽测数学理试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第 Ⅰ 卷 （选择题，共50分）
注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考生号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题纸上. 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.直线013=++y x 的倾斜角是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为 （ ）
A ．对任意x R ∈,都有2
0x <
B ．不存在x R ∈,都有2
0x <
C ．存在0x R ∈,使得2
00x ≥
D ．存在0x R ∈,使得2
00x <
3.设n m 、是两条不同的直线,βα、是两个不同的平面,下列命题中正确的（ ） A.若,,,则 B.若,,,则 C.若
,
,
,则
D ．若
,
,
,则
4.直线02=++by ax ，当0,0<>b a 时，此直线必不过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
5.“
”是“直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的 ( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6.在正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BC 与1AB 所成角的大小为（ ）.
A.
2π B.3π C. 4π D. 6
π 7.一条直线l 经过点(1,2)P 且与两点(2,3)(4,5)A B -、的距离相等,则直线l 的方程是 ( )
A.460x y +-=或3270x y +-=
B.460x y +-=
C. 460x y +-=或2370x y +-=
D.460x y +-=
8.已知点()()2,33,2,A B --、若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A.34k ≥
B. 324k ≤≤
C. 3
24k k ≤≥或 D. 2k ≤
9.在二面角βα--l 中，,,,,βα⊂⊂∈∈BD AC l B l A 且
,,l BD l AC ⊥⊥若,1=AB 2==BD AC , 5=CD , 则
二面角βα--l 的余弦值为( )
A ．12
B ．12-
C ．3
D ．3-
10.如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===， 2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 ( ). A.A C BD '⊥ B.90BA C '∠=
C.CA '与平面A BD '所成的角为30
D.四面体A BCD '-的体积为3
1
第 Ⅱ 卷 （非选择题，共100分） 注意事项：
用钢笔或圆珠笔将试题卷中的题目做在答题卷上，做在试题卷上无效.
二、填空题（每小题4分，共28分）
11.点（2，1）到直线3x -4y + 2 = 0的
距离是 .
12.已知几何体A BCDE -的三视图如图所示，
其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角 三角形，正视图为直角梯形，则该几何体的体 积V 的大小为 .
13.12,l l 是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当12,l l 间的距离最大时，直线1l 的方程是 ．
侧视图
俯视图
正视图
1
4 4 4
14.如果三条直线mx +y +3=0, 022,02=+-=--y x y x 不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m 的取值构成的集合是 .
15.在三棱柱111ABC A B C -中，底面是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ,点E 是侧面
11CC BB 的中心，若13AA AB =,则直线AE 与平面11CC BB 所成角的大小为 .
16.正四棱锥（底面为正方形，顶点在底面上的射影是底面的中心）ABCD S -的底面边长为2，高为2，E 为边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持AC PE ⊥，则动点P 的轨迹的周长为 .
17..如图，正方体1111ABCD
A B C D 的棱长为2，,E F 分别为棱1,BC DD 上的点，
给出下列命题,其中真命题的序号是 ． （写出所有真命题的序号） ①在平面ABF 内总存在与直线1B E 平行的直线； ②若⊥E B 1平面ABF ，则CE 与DF 的长度之和为2； ③存在点F 使二面角1B AC F --的大小为45︒；
④记1A A 与平面ABF 所成的角为α，BC 与平面ABF 所成的角为β，则αβ+的大小与点F 的位置无关.
三、解答题(本大题共5小题，解答时，写出必要的计算步骤、推理、证明过程，5本大题满分共72分)
18.（14分）已知1,0≠>c c 且，设x c y p =函数:在R 上单调递减；
函数:q ）
，在（∞++-=2
1
12)(2cx x x f 上为增函数，若“q p 且”为假，“q p 或”为真，求实数c 的取值范围。

19.（14分）平行四边形ABCD 的边AB 和BC 所在的直线方程分别是10x y +-=、
340x y -+=，对角线的交点是()3,3O .(1)求边CD 所在直线的方程；(2) 平行
四边形ABCD 的面积.
A 1
B 1
C 1
D 1
A B
C D
E
F （第17题）
20.（14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD PD 平面⊥，CD AD ⊥，且DB
平分ADC ∠，E 为PC 的中点，1==CD AD ,2
2=DB （Ⅰ）证明BDE PA 平面// （Ⅱ）证明PBD AC 平面⊥
（Ⅲ）求直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值
21.(15分）过点P （1，4）作直线l ，直线l 与y x ,的正半轴分别交于A,B 两点，O 为原点,
（Ⅰ）△ABO 的面积为9，求直线l 的方程；
（Ⅱ）若△ABO 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.
22.（15分）如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面
ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.
(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加
以证明;
(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足1
2
DQ CP =
.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.
第22题图
高二数学理科答案
二、填空题（每题4分，共28分） 11、 54 12、 3
40
13、 032=-+y x 14、 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
---43,2,1
15、
6
π
16
17、 2和4
三. 解答题: 本大题有5小题,共72分. 18（14分）
解：若p 为真:10<<c 若q 为真：2
10≤
<c “q p 且”为假，“q p 或”为真
一真一假、q p ∴
若p 真q 假，则：
12
1
<<c 若q 真p 假，则：Φ∈c
综上所述，c 的范围是12
1
<<c
19（14分）
解：（1）设直线CD 为0=++m y x
O 到直线AB 的距离22
52
200=
+++=
B A
C By Ax d 则：
22
5
2
6=
+m ，舍去）或(111-=-=∴m m 即011,11=-+-=y x CD m 为直线
（2）由⎩⎨⎧=+-=-+04301y x y x ，得）
，即4743-(,47
43B y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-= 由⎩⎨⎧=+-=-+043011y x y x ，得)437,47(,437
47C y x 即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==
2
10
5=
∴BC O 到BC 的距离为1010
4391=+-=
h
501022
10
521=⨯⨯=
⋅=∴h BC S
20、（14分）（Ⅰ）设H BD AC =⋂， 连结EH ，在ADC ∆中，因为AD=CD ， 且DB 平分ADC ∠，所以H 为AC 的中点， 又由题设，E 为PC 的中点，故PA EH //, 又BDE PA BDE HE 平面平面⊄⊂,, 所以BDE PA 平面//
（Ⅱ）因为ABCD PD 平面⊥，ABCD AC 平面⊂，所以AC PD ⊥ 由（Ⅰ）知，AC BD ⊥,,PD
BD D =故PBD AC 平面⊥
(Ⅲ)由PBD AC 平面⊥可知，BH 为BC 在平面PBD 内的射影，所以CBH ∠为直线与平面PBD 所成的角。

由CD AD ⊥,
22
3,22,22,1==
====BH CH DH DB CD AD 可得
在BHC Rt ∆中，
31tan =
=
∠BH CH CBH ,所以直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为31。

21. （15分）
（1）解：设直线l 为：)1(4-=-x k y ，即)0(4<+-=k k kx y 则直线与轴轴和y x 的交点坐标分别为：)4,0(),0,4
1(k k
-- 则：
9)4
1)(4(21=--k
k ，所以82-=-=k k 或 则直线l 为：0128062=-+=-+y x y x 或 （2）解：由（1）可知
84416
8)88(2
1
)168(21)41)(4(21=-+-==-=-=+≥--=--=
y x l k k
k k k k k S 为：则直线所以”成立时，“当且仅当
22。