2017-2018学年新疆库尔勒四中高二上学期分班数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年新疆库尔勒四中高二（上）分班数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|0≤x＜5}，B={x|x＜0}，则集合A∪B=（）A．{x|0≤x＜5}B．{0}C．{x|x＜5} D．R2．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=3．已知单位向量，，则下列各式成立的是（）A．∥B．⊥C．=D．||=||4．若函数y=f（x）是函数y=3x的反函数，则f（）的值为（）A．﹣log23 B．﹣log32 C．D．5．函数y=+lg（2﹣x）的定义域是（）A．（1，2）B．[1，4]C．[1，2）D．（1，2]6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．28．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π9．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D为AB中点，则异面直线CD与A1C1所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．111．已知数列{a n}的通项a n=2n cos（nπ），则a1+a2+…+a99+a100=（）A．0 B．C．2﹣2101D．12．已知x，y满足，则的最值是（）A．最大值是2，最小值是1 B．最大值是1，最小值是0C．最大值是2，最小值是0 D．有最大值无最小值二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．若点（a，27）在函数y=3x的图象上，则tan的值为______．14．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是______．15．在△ABC中，C=90°，CB=3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为______．16．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是______．（把你认为正确命题的序号都填上）三．解答题：（本大题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x+y﹣11=0上的圆的方程．18．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．21．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a≠0）对于任意x∈R都有f（1+x）=f（1﹣x），且函数y=f （x）+2x为偶函数；函数g（x）=1﹣2x．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求证：方程f（x）+g（x）=0在区间[0，1]上有唯一实数根；（Ⅲ）若有f（m）=g（n），求实数n的取值范围．2016-2017学年新疆库尔勒四中高二（上）分班数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|0≤x＜5}，B={x|x＜0}，则集合A∪B=（）A．{x|0≤x＜5}B．{0}C．{x|x＜5} D．R【考点】并集及其运算．【分析】直接利用并集的运算法则求解即可．【解答】解：集合A={x|0≤x＜5}，B={x|x＜0}，则集合A∪B={x|x＜5}．故选：C．2．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数．【解答】解：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项B满足条件；选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；故选B．3．已知单位向量，，则下列各式成立的是（）A．∥B．⊥C．=D．||=||【考点】单位向量．【分析】根据单位向量的模相等判断即可．【解答】解：已知单位向量，，则有||=||，故选：D．4．若函数y=f（x）是函数y=3x的反函数，则f（）的值为（）A．﹣log23 B．﹣log32 C．D．【考点】反函数．【分析】由题意可得f（x）=log3x，代值计算即可．【解答】解：∵函数y=f（x）是函数y=3x的反函数，∴y=f（x）=log3x，∴f（）=log3=﹣log32故选：B5．函数y=+lg（2﹣x）的定义域是（）A．（1，2）B．[1，4]C．[1，2）D．（1，2]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意直接列出不等式组，求解即可．【解答】解：由题意的：，解得：1≤x＜2故选C．6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．7．若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x）=cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）A．1 B．C．D．2【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】可令F（x）=|sinx﹣cosx|求其最大值即可．【解答】解：由题意知：f（x）=sinx、g（x）=cosx令F（x）=|sinx﹣cosx|=|sin（x﹣）|当x﹣=+kπ，x=+kπ，即当a=+kπ时，函数F（x）取到最大值故选B．8．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π∴空间组合体的表面积是28π，故选：C．9．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，D为AB中点，则异面直线CD与A1C1所成的角的大小为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】将A1C1平移到AC，根据异面直线所成角的定义可知∠ACD为异面直线CD与A1C1所成的角，在三角形ACD中利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：∵A1C1∥AC∴∠ACD为异面直线CD与A1C1所成的角在三角形ACD中，AC=，AD=1，CD=1cos∠ACD=∴∠ACD=30°故选D．10．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．1【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得的值．【解答】解：由题意可得，cosα=，则=cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣，故选：A．11．已知数列{a n}的通项a n=2n cos（nπ），则a1+a2+…+a99+a100=（）A．0 B．C．2﹣2101D．【考点】数列的求和．【分析】由已知条件推导出数列{a n}的通项公式．由此能求出a1+a2+…+a99+a100的值．【解答】解：∵a n=2n cos（nπ），∴a1=2•cosπ=﹣2，a n=2n•cos（nπ）n为奇数时，cos（nπ）=﹣1，a n=﹣2ⁿn为偶数时，cos（nπ）=1，a n=2ⁿ，综上，数列{a n}的通项公式．∴数列{a n}是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a1+a2+…+a99+a100==．故选：D．12．已知x，y满足，则的最值是（）A．最大值是2，最小值是1 B．最大值是1，最小值是0C．最大值是2，最小值是0 D．有最大值无最小值【考点】简单线性规划．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解．【解答】解：满足约束条件的可行域，如下图所示：又∵表示的是可行域内一点与原点连线的斜率当x=3，y=0时，有最小值0；当x=1，y=2时，有最大值2．故选C．二、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）13．若点（a，27）在函数y=3x的图象上，则tan的值为．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据点与曲线的关系求出a的值，然后代入即可得到三角值．【解答】解：∵点（a，27）在函数y=3x的图象上，∴3a=27=33，即a=3．则tan=tan，故答案为：14．不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是﹣14．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），可得a＜0且方程ax2+bx+2=0的解为﹣，；从而求解．【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴，解得：a=﹣12，b=﹣2；故答案为：﹣14．15．在△ABC中，C=90°，CB=3，点M是AB上的动点（包含端点），则•的取值范围为[﹣9，0] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，表示出点C、B、A，设出点M的坐标，求出•的取值范围．【解答】解：如图所示，以C为坐标原点，CB，CA所在直线为x，y轴建立直角坐标系，则C（0，0），B（3，0），A（0，a），其中a＞0；设M（x，y），其中0≤x≤3，则=（﹣x，﹣y），=（3，0），∴•=﹣3x；由于0≤x≤3，∴﹣9≤﹣3x≤0，∴•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．16．已知两条不同直线m、l，两个不同平面α、β，给出下列命题：①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；②若l∥α，则l平行于α内的所有直线；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊂β，l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l．其中正确命题的序号是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【分析】对于①，由直线与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于②，由直线平行于平面的性质知l与α内的直线平行或异面；对于③，由平面与平面垂直的判定定理知α与β不一定垂直；对于④，由平面与平面垂直的判定定理能够判断真假；对于⑤，由平面与平面平行的性质知m∥l或m与l异面．【解答】解：①l垂直于α内的两条相交直线，由直线与平面垂直的判定定理知l⊥α，故①正确；②若l∥α，则l与α内的直线平行或异面，故②不正确；③若m⊂α，l⊂β且l⊥m，则α与β不一定垂直．故③不正确；④若l⊂β，l⊥α，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故④正确；⑤若m⊂α，l⊂β且α∥β，则m∥l或m与l异面，故⑤不正确．故答案为：①④．三．解答题：（本大题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求与直线l切于点（2，2），圆心在直线x+y﹣11=0上的圆的方程．【考点】圆的切线方程；直线的斜率；圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由直线方程的点斜式，可得直线方程，化为一般式即可；（Ⅱ）同（Ⅰ）可得过点（2，2）与l垂直的直线方程，联立方程解方程组可得圆心为（5，6），可得半径，可得圆的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由直线方程的点斜式，可得方程为，化为一般式即得所求直线方程为：3x+4y﹣14=0．…（Ⅱ）过点（2，2）与l垂直的直线方程为4x﹣3y﹣2=0，…由得圆心为（5，6），…∴半径，…故所求圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣6）2=25．…18．已知等差数列{a n}，S n为其前n项和，a5=10，S7=56．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n+（），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）根据题意和等差数列的前n项和公式、通项公式，求出公差和首项，再求出数列{a n}的通项公式；（2）由（1）求出b n，由分组求和法和等差、等比数列的前n项和公式求出T n．【解答】解：（1）由S7=56得=56，则7a4=56，解得a4=8，因为a5=10，所以公差d=a5﹣a4=10﹣8=2，则a4=a1+3d，解得a1=8﹣6=2，所以a n=2+2（n﹣1）=2n；（2）由（1）得，b n=a n+（）=2n+3n，所以T n=（2+3）+（4+32）+（6+33）+…+（2n+3n）=（2+4+6+…+2n）+（3+32+33+…+3n）=+=，所以T n=．19．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥E﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征．【分析】（1）连接BD，AC交于O点，由已知得PO⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥面PAC，由此能证明BD⊥PC．（2）由V E﹣ABC =V B﹣AEC，利用等积法能求出三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：连接BD，AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，而AC ∩PO=O ，∴BD ⊥面PAC ，∴BD ⊥PC ．（2）解：由（1）知BD ⊥面PAC ，==3，∴V E ﹣ABC =V B ﹣AEC ===．21．已知函数f （x ）=ax 2+bx +1（a ≠0）对于任意x ∈R 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），且函数y=f （x ）+2x 为偶函数；函数g （x ）=1﹣2x ．（Ⅰ）求函数f （x ）的表达式；（Ⅱ）求证：方程f （x ）+g （x ）=0在区间[0，1]上有唯一实数根；（Ⅲ）若有f （m ）=g （n ），求实数n 的取值范围．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】（I ）根据对于任意x ∈R 都有f （1+x ）=f （1﹣x ）可知对称轴为x=1，由此得a ，b 的方程，再由y=f （x ）+2x 为偶函数可求得b 值，从而求得a 值；（II ）设h （x ）=f （x ）+g （x ），方程f （x ）+g （x ）=0在区间[0，1]上有唯一实数根转化为证明函数h （x ）在[0，1]上有唯一零点，根据零点存在定理判定其存在性，利用单调性判定其唯一性；（III ）求出f （x ），g （x ）的值域及其交集，据f （m ）=g （n ）知g （n ）属于该交集；【解答】（I ）解：∵对于任意x ∈R 都有f （1+x ）=f （1﹣x ），∴函数f （x ）的对称轴为x=1，得b=﹣2a ．又函数y=f （x ）+2x=ax 2+（b +2）x +1为偶函数，∴b=﹣2，从而可得a=1．∴f （x ）=x 2﹣2x +1=（x ﹣1）2．（II ）证明：设h （x ）=f （x ）+g （x ）=（x ﹣1）2+1﹣2x ，∵h （0）=2﹣20=1＞0，h （1）=﹣1＜0，∴h （0）h （1）＜0．∴函数h （x ）在区间[0，1]内必有零点，又∵（x ﹣1）2，﹣2x 在区间[0，1]上均单调递减，所以h （x ）在区间[0，1]上单调递减，∴h （x ）在区间[0，1]上存在唯一零点．故方程f （x ）+g （x ）=0在区间[0，1]上有唯一实数根．（III ）解：由题可知∴f （x ）=（x ﹣1）2≥0．g （x ）=1﹣2x ＜1，若有f （m ）=g （n ），则g （n ）∈[0，1），则1﹣2n ≥0，解得 n ≤0．故n 的取值范围是n ≤0．2016年10月5日。