2017-2018学年贵州省遵义市第四中学高一下学期第一次月考数学试题Word版含解析

2017-2018学年贵州省遵义市第四中学高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．cos24cos36sin24sin36︒︒︒︒-的值为A. 0B. 12C. D. 12- 【答案】B【解析】cos24cos36sin24sin36︒︒︒︒- ()0001cos 2436cos60.2=+==选B. 2．在数列{}n a 中， 1111,12n na a a +==-，则5a =（ ） A. 2 B. 3 C. 1- D. 12【答案】C 【解析】()234123111111121,1112,1122a a a a a a =-=-=-=-=--==-=-= , 数列{}n a 是周期为3 的周期数列， 521a a ∴==- .故选C.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c,，则B 为( ) A.3π B. 6π C. 6π或56π D. 3π或23π【答案】D【解析】由正弦定理得：sin A = 2 sin B sin A ，∴sin B =∴B 为3π或23π故答案为： 3π或23π4．已知1sin cos 5αα+=，则sin2α=（ ） A. 2425- B. 2425 C. 1225- D. 1225【答案】A 【解析】1sin cos 5αα+=()21sin cos 25αα∴+=112sin cos 25αα∴+=24sin 225α∴=-故选B5．已知()()11tan ,tan ,0,,227αββαβπαβ-==-∈-=且、则 ( )A. 4π B. 35444πππ-、、 C. 34π- D. 544ππ、 【答案】C【解析】∵tan （α﹣β）=tan αtan 1tan αtan ββ-+=12且1tan 7β=-即tan α=12∵α，β∈（0，π）且tan 4π=1，tan 34π=﹣1∴α∈（0， 4π），β∈（34π，π）即2α﹣β∈（﹣π，﹣4π）∴tan （2α﹣β）=()()tan αtan 1tan αtan αβαβ+---=1即2α﹣β=﹣34π 故选：C ．6．已知α和β都是锐角，且5sin 13α=， ()4cos 5αβ+=-，则sin β的值是（ ） A. 3365 B. 1665 C. 5665 D. 6365【答案】C【解析】试题分析：根据题意，由于α和β都是锐角，且512sin cos 1313αα=∴=， ()()43cos sin 55αβαβ+=-∴+=，sin =sin[()]sin()cos cos()sin βαβααβααβα+-=+-+=5665，故选C. 【考点】三角函数性质点评：主要是考查了三角函数的两角和差公公式的运用，属于基础题。

7．已知△ABC 外接圆的半径为R ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且())222sin sin sin R A C b B -=-，那么角C 的大小为( )A. 30B. 60°C. 45°D. 90° 【答案】C【解析】由2R （sin 2A ﹣sin 2C ）=﹣b ）sinB ， 根据正弦定理得a 2﹣c 2=﹣b ）﹣b 2，∴cosC=2222ab a b c +-=2，∴角C 的大小为45°，故选：C ．8．在ABC ∆中， 060A =， 045C =，AB=20，则边BC 的长为（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】∵在△ABC 中，A=60°，C=45°，c=20， ∴由正弦定理a c sinA sinC =得： 206045a sin sin =︒︒， ∴a=20，故选：A ．9．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B +=，则角C 等于（ ） A.3π B. 23π C. 6π D. 4π【答案】A【解析】试题分析：tan tan tan A B A B +=()())tan 1tan tan tan tan tan 1A B A B A B A B ∴+-==-()tan tan 3A B C C π∴+===【考点】两角和的正切公式 10．函数53sin ,,66y x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的值域（ ） A. []3,3-B. ⎡-⎣C. 0,⎡⎣D. 12⎡-⎢⎣【答案】C【解析】（x+6π）， ∵x ∈[﹣6π， 56π]，∴x+6π∈[0，π]，∴sin （x+6π）∈[0，1]，∴函数的值域为[0，． 故选：C ．11．要得到函数2sin2y x =的图像，只需将cos2y x x =-的图像（ ）A. 向右平移6π个单位 B. 向右平移12π个单位C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移12π个单位【答案】D【解析】1cos22cos2x 2sin 22sin22612y x x x x ππ⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．根据左加右减的原则，要得到函数y=2sin2x 的图象只要将cos2y x x =-的图象向左平移12π个单位 故选：D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言.12．若，，且，则的值是（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】∵，∴，又0＜＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又，∴β﹣α∈（，π），∴cos （β﹣α）=﹣=﹣，∴cos （α+β）=cos [2α+（β﹣α）]=cos2αcos （β﹣α）﹣sin2αsin （β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β=，故选：A ．点睛：求角问题一般包含三步：第一步明确此角的某个三角函数值，第二步根据条件限制角的范围；第三步求出此角.二、填空题13．sin15cos15的值是_________. 【答案】14【解析】111sin15cos152sin15cos1530224sin =⨯=︒=. 故答案为：1414．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【答案】【解析】试题分析：如图所示，设炮台的顶部为A ,底部为B ,两只小船分别为,C D ,且由炮台顶部测得C 的俯角为45︒，由炮台顶部测得D 的俯角为60︒，30CBD ∠=︒.在直角三角形ABC 中，045,30ABC BC AB ∠===,在直角三角形ABD 中，060,ABC BD ∠===,又三角形BCD 中，030,CBD ∠=由余弦定理得22202cos30300,CD BC BD BC BD =+-⋅=所以CD =.【考点】1.直角三角形边角关系；2.余弦定理；3.俯角的概念. 15．计算：47173017sin sin cos cos ︒︒︒︒－＝________．【答案】12【解析】471730301717301717sin sin cos sin sin cos cos cos ︒︒︒︒︒︒︒︒︒－（＋）－＝＝30173017173030171717sin cos cos sin sin cos sin cos cos cos ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒＋－＝＝sin30°＝1216．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ,a ＝2，A ＝45°，若此三角形有两解，则b 的范围为______.【答案】2b <<【解析】∵在△ABC 中，a=2，A=45°，且此三角形有两解，∴由正弦定理sinA sinBa b==∴，B+C=180°﹣45°=135°，由B 有两个值，得到这两个值互补，若B ≤45°，则和B 互补的角大于等于135°，这样A +B≥180°，不成立； ∴45°＜B ＜135°，又若B=90，这样补角也是90°，一解，∴2＜sinB ＜1，，则2b <<故答案为： 2b <<三、解答题 17．已知()350,0,cos ,cos 22513ππαβαβα<<<<=+=． （I ）求sin β的值；（II ）求2sin2cos cos2ααα+的值．【答案】（1）1665（2）12【解析】试题分析：（I）根据()()()s i n s i n s in c o s c oββααβααβαα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦可得结果；（II ）由30,cos 25παα<<=，得4sin 5α=，进而利用正弦、余弦的二倍角公式可得结果.试题解析：（I ）由题知()412sin ,513sin αβα=+=．所以()()()1s i 1ββ⎡⎤=+-=+-+=⨯-⨯=⎣⎦．（II ）因为30,cos 25παα<<=，所以4sin 5α=． 所以22222432sin22sin cos 5512cos cos22cos sin 34255ααααααα⨯⨯===+-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18．已知A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、，若1c o s c o ss i n s i n 2B C B C -=.（1）求A ；（2）若a = 4b c +=，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23π；（2【解析】试题分析：（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos （B+C ）的值，确定出B +C 的度数，即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a 与b+c 的值代入求出bc 的值，联立即可解得b ，c 的值． 试题解析：（1）∵1cos cos sin sin 2B C B C -=，∴()1cos 2B C +=， 又∵0B C π<+<，∴3B C π+=.∵A B C π++=，∴23A π=（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅，得(()22222c o s3b c b c b c π=+--⋅，即11216222bc bc ⎛⎫=--⋅-⎪⎝⎭，∴4bc =，∴11sin 4222ABC S bc A ∆=⋅=⋅⋅= 19．已知向量13,2a ⎛=⎝⎭， ()sin ,cos b x x =， ()2f x a b =⋅+ （1）求()f x 的最大值；（2）求()f x 在区间[]0,2π上的单调减区间. 【答案】（1）3；（2）7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：（1）由题意()2f x a b =⋅+，根据平面向量数量积运算求解出f （x ）化简，结合三角函数的性质即可求解．（2）根据三角函数的图象和性质，结合内层函数的单调减区间，即得到f （x ）的单调减区间． 试题解析： 向量=（，），=（sinx ，cosx ），由f （x ）=•+2=sinx+cosx+2=sin （x+）+2函数f （x ）取得最大值3， （2）由（1）可得f （x ）=sin （x+）+2由≤x+≤+2kπ，（k ∈Z ）解得：≤x≤+2kπ，（k ∈Z ）∵x ∈[0，2π]∴单调减区间为．点睛：研究三角函数的性质首先要进行恒等变形，特别是利用降幂公式和辅助角公式把函数化为标准形式()sin y A x k ωϕ=++型，然后再求函数最小正周期、单调区间、最值、对称中心、对称轴方程等.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ， a=3，，B=2A. （1）求cosA 的值， （2）求边c 的值【答案】（1（2）5【解析】试题分析：（1）依题意，利用正弦定理3sin 2sin cos A A A=及二倍角的正弦即可求得cosA 的值；（2）易求sinB=13，从而利用两角和的正弦可求得sin （A +B ），在△ABC 中，此即sinC 的值，利用正弦定理可求得c 的值．试题解析：( 1）由正弦定理可得，即：3sin A =3sin A =，∴cos A =.（2由（1）cos A =，且0180A︒<<︒，∴sin 3A ===，∴sin sin22sin cos 2333B A A A ===⨯=，221cos cos22cos 1213B A A ==-=⨯-=⎝⎭。