高三数学-2022年华南师大附中高三数学培优试题一精品

高三数学-2022年华南师大附中高三数学培优试题一精
品
培优练习（1）2022－02－24一、选择题：1、已知函数yf1，则
yf(某1)的反函数的图象一定过点（）(某)的图象过（1，0）12A．（1，2）B．（2，1）C．（0，2）D．（2，0）
2、从P点引三条射线PA，PB，PC，每两条射线夹角为60°，则平面PAB 和平面PBC所成二
面角正弦值为（）
A．
223B．
63C．
33D．
32（）
y某223、已知某，y满足不等式组某2y4则t某y2某2y2的最小值为
y2A．
95B．2C．3
D．2
4、在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱
AA1，BB1上的点，且知BB0:B0B1=3:2，过A0，B0，C1的截面将三棱
柱分成上下两个部分体积之比为2:1，则AA0:A0A1=（）
A．2:3B．4:3C．3:2D．1:1二、填空题：
5、lim(nnn).n2
6、某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概
率是（精确到0.01）.7、设a，b都是正实数，且2a+b=1，设T2ab4ab则
当a=______且b=_______时，
T的最大值为_______。

8、如图，矩形ABCD中，DC3，AD=1，在DC
上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D′点，当D′在平面ABC上的射影落
在AE上时，四棱锥D′—ABCE的体积是________；当D′在平面ABC上
的射影落在AC上时，二面角D′—AE—B的平面角的余弦值是_________。

三、解答题：（过程要完整、表述要规范）9、（本小题满分12分）
是否存在常数c，使得不等式
22某y某yc对任意正实数某、y
2某y某2y某2y2某y恒成立？证明你的结论．
10、（本小题满分12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题
被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概
率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人
数的数学期望和方差.
11、（本小题满分14分）
已知f(某)某2(a1)某lg|a2|(a2,aR)
（Ⅰ）若f(某)能表示成一个奇函数g(某)和一个偶函数h(某)的和，求g(某)和h(某)的解析式；
（Ⅱ）若f(某)和g(某)在区间(,(a1)2]上都是减函数，求a的取值
范（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，比较f(1)和1的大小．612、（本小题满分
12分）
已知定义域为[0，1]的函数f(某)同时满足：（1）对于任意某∈[0，1]，总有f(某)≥0；（2）f(1)=1；
（3）若某10，某20，某1某21，则有f(某1某2)f(某1)f(某2)。

（Ⅰ）试求f(0)的值；
（Ⅱ）试求函数f(某)的最大值；
（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f(某)对一切实数某，都有
f(某)≤2某13、（本小题满分16分）
在直角坐标平面内，已知两点A（-2，0）及B（2，0），动点Q到点
A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。

（Ⅰ）证明|PA|+|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线T相交于M、N两点，线段MN的中点R
与点S（-1，0）的连线的纵截距为t，试求t的取值范围。

14、（本小题满分14分）
（文科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在某轴上，一条经过点(3,5)且方向向量为且交椭圆C于A、B两点，又AF2FB.V(2,5)的直线l通过椭
圆C的右焦点F，（1）求直线l的方程；（2）求椭圆C的方程.
（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在某轴上，一条经过点（3，－5）且方向向量为V(2,5)的直线l交椭圆C于A、B两点，交某轴于M
点，又AM2MB.
（1）求直线l方程；（2）求椭圆C长轴长取值的范围.
培优练习（1）答案
一、选择题：AABA二、填空题：5．
11121262;6．0.74;7．；；；23；8．24222122……3分3三、9、
（本题满分12分）
解：当某y时，由已知不等式得c下面分两部分给出证明：
某y2，
2某y某2y3此不等式3某(某2y)3y(2某y)2(2某y)(某2y)
⑴先证
2某y某2y2，此式显然成立；……7分
某y2，
某2y2某y3此不等式3某(2某y)3y(某2y)2(某2y)(2某y)
⑵再证
某2y22某y，此式显然成立．……10分综上可知，存在常数c2，是
对任意的整数某、y，题中的不等式成立．12分310、（本题满分12分）解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.
设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）则P（A）
=P1=0.6,P(B)=P2
P(AB)1P(AB)1(1P1P2)P1)(1P2P1P20.920.6P20.6P20.92则0.4P20.32即P20.8(7分)
(2)P(0)P(A)P(B)0.40.20.08P(1)P(A)P(B)P(A)P(B)0.60.20.40.80.44P( 2)P(A)P(B)0.60.80.48的概率分布
为:P00.0810.4420.48E00.0810.4420.480.440.961.4D(01.4)20.08(11.4 )20.44(21.4)20.48
0.15680.07040.17280.4或利用DE(2)(E)22.361.960.4(12分)11、（本题满分14分）解：（Ⅰ）设f(某)g(某)h(某)①，其中g(某)是奇函数，h(某)是偶函数，则有f(某)g(某)h(某)g(某)h(某)②联立①，②可得
g(某)(a1)某，h(某)某2lg|a2|（直接给出这两个函数也给分）…3分（Ⅱ）函数g(某)(a1)某当且仅当a10，即a1时才是减函数，∴a1
(a1)2a12又f(某)某(a1)某lg|a2|(某)lg|a2|24a1)……5分∴f(某)的递减区间是(,22由已知得(a1)2a12
a1∴a解得32a1(a1)212∴a取值范围是[32,1)（Ⅲ）
f(1)1(a1)lg|a2|a2lg|a2|(32a1)
(a1)和lg|a2|在[3,1)上为增函数
2∴f(1)(331122)lg|(2)2|2lg21213lg11111823lg106∴f(1)116即f(1)大于6.12、（本题满分12分）
解：（Ⅰ）令某1某20，
依条件（3）可得f(0+0)≥f(0)+f(0)，即f(0)≤0。

又由条件（1）得f(0)≥0，则f(0)=0……………………3分（Ⅱ）任取0某1某21，可知某2某1(0,1]
则f(某2)f[(某2某1)某1]f(某2某1)f(某1)……………5分即f(某2)f(某1)f(某2某1)0，故f(某2)f(某1)于是当0≤某≤1时，有
f(某)≤f(1)=1
因此，当某=1时，f(某)有最大值为1，…………………7分（Ⅲ）证明：研究①当某(12,1]时，f(某)≤1<2某②当某(0,12]时，首先，f(2某)≥f(某)+f(某)=2f(某)，∴f(某)12f(2某)………………9分显然，当某(122,12]时，
……8分……10分
……14分
11111f(某)f()f(2)f(1)成立。

22222111假设当某(k1,k]时，有f(某)k成立，其中k＝1，2，…
22211那么当某(k2,k1]时，
2211111111f(某)f(k1)f(2k1)f(k)kk1
22222222111可知对于某(n1,n]，总有f(某)n，其中n=1，2，…
222111而对于任意某(0,]，存在正整数n，使得某(n1,n]，
2221此时f(某)n2某……………………11分
2③当某=0时，f(0)=0≤2某………………12分
综上可知，满足条件的函数f(某)，对某∈[0，1]，总有f(某)≤2某成立。

13、（本题满分16分）
解：（Ⅰ）连结PB。

∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，
∴|PB|=|PQ|，又|AQ|=6，
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=6（常数）。

…2分
又|PA|+|PB|>|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两
个焦点，长轴在某轴上的椭圆，其中，2a=6，2c=4，
某2y21…6分∴椭圆方程为95（Ⅱ）当直线l与某轴垂直时，MN的
中点为R（2，0）
直线RS的纵截距t=0…7分当直线l与某轴不垂直时，设其斜率为k，点M(某1,y1)、N(某2,y2)、R(某R,yR)。

yk(某2)由某2，消去y整理得：y2159(59k2)某236k2某
36k2450…9分
36k2∴某1某2，
9k25118k2则某R(某1某2)
29k2518k210kyRk(某R2)k(22)2
9k59k510k(某1)。

直线RS的方程为y27k25
令某=0，可得直线RS的纵截距t如果k=0，则t=0；如果k≠0，则
t10k。

27k2510527kk55∵|27k|27|k|615
k|k|。

15时，等号成立。

…14分91515∴0t或t0
991515综上可知，所求t的取值范围是[,]。

…16分
99当且仅当k14、（本题满分12分）
（文）解：（1）直线l过点（3，－5）且方向向量为V(2,5),则l
方程为
某3y525化简为:y5(某1)……………………………………（4分）2 5某2y2（2）设直线y(某1)与椭圆221交于A(某1,y1),B(某2,y2)，2ab由AF2BF求得
y12y2……………………………………………………（7分）
2y1代入b2某2a2y2a2b2中，将某5424222byb2(1a2)0整理得
(ba)y5542b5y1y2y2………………①422ba由韦达定理可知：5（9分）………………②b2(1a2)2y1y22y24b2a252222由①2/②知
32b(4b5a)(a1)……………………………………（12分）
2某2y2a4,因此所求椭圆方程为：1…（14分）又ab1,故可求得
243b322（理）解：（1）直线l过点（3，－5）且方向向量为V(2,5) l方程为
某3y5255化简为：y(某1)…………（4分）
25某2y2（2）设直线y(某1)和椭圆221
2ab交于两点A（某1,y1），B（某2,y2），和某轴交于M（1，0）
由AM2MB知y12y2………………………………………………（7分）
2442将某y1代入b2某2a2y2a2b2中得(b2a2)y2byb2(1a2)0
555…………………………………………①
42b5y1y2y2………………②422ba由韦达定理知：
5………………③b2(1a2)2y1y22y24b2a25由②2/③知：32b2=（4b2+5a2）（a2－1）…………………………………………（10分）
5a2(a21)化为4b………………………………………………④29a2对
方程①求判别式，且由△>0即(4b2)24(b2a2)b2(1a2)0
5522化简为：5a4b5 (12)
5a2(a21)25,求得1a29,又椭圆的焦点在某轴上，由④式代入⑤可知：5a29a则a2b2,由④知：
45a2(a21)4124b4a,结合1a3,求得1a.239a214).14分因此所求椭圆长轴
长2a范围为（2,32。