1.3根与系数的关系教学设计

1.3一元二次方程的根与系数的关系
教学目标：
1.了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；
2.经历一元二次方程的根与系数关系的探究过程，加深对一元二次方程及其根的认识，提高代数推理的能力与意识．
教学重点：
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用．
教学难点：
能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学过程：
一、自主学习
1.问题：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a、b、c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
2.做一做：
（1）先解方程，再填表：
（2）方程x2-5x+6=0的两个根为x1=2, x2=3,则x2-5x+6=（x-2）（x-3），当一元二次方程二次项的系数为1时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项c，那么二次项的系数不为1时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？
3.动脑筋：
对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0时，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）
=a [ x2-（x1+ x2）x+ x1·x2]，
4.归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的.
5.小题跟进
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根x1、x2的和与积：①2x2-3x+1=0；②x2-3x+2=10；③7x2-5=x+8；
二、例题讲解
例1．已知方程x2－4x＋m＝0的一个根为－2，求该方程的另一根及m的值．
点拨：在问题中给出一元二次方程的一个根，将其代入到根与系数的关系式中确定另一个根或字母系数的取值范围．
变式训练
1．已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－2＝0的两实根的平方和等于11，则k 的值为________．
2．已知关于x的一元二次方程2(x－1)2－m＝x2＋x的一根为－1，求其另一根及m的值．
例2．已知一元二次方程2x 2－6x －1＝0的两实数根为x 1，x 2，不解方程，求代数式x 1x 2＋x 2
x 1的值．
变式训练
已知x 1，x 2是方程x 2－2x －2＝0的两实数根，不解方程求下列各式的值： (1)2x 1
＋2x 2
； (2)1x 2
－1x 1
.
三、课堂小结
本节课我们学到了哪些？
根与系数的关系：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数
根12,x x ，那么1212
,b c
x x x x a a
+=-= 该定理前提：定理成立的条件0∆≥
四、课后作业 【基础篇】
1.若3是关于方程x 2-5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是( ) A.-2 B. 2 C.-5 D.5
2.已知关于x 的一元二次方程x 2-bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=-2，则b 与c 的值分别为( )
A.b=-1，c=2
B.b=1，c=-2
C.b=1，c=2
D.b=-1，c=-2 3．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1x 2的值是( ) A ．4 B ．3 C ．－4 D ．－3
4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )
A ．－3,2
B ．3，－2
C ．2，－3
D ．2,3
则m 等于（ ） A ．2-
B ．3-
C ．2
D ．3
6．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．-1或5
B ．1
C ．5
D ．-1
7.已知一元二次方程的两根之和为7，两根之积为12，则这个方程为____________________． 【提升篇】
8.已知关于x 的一元二次方程x 2-x-3=0的两个实数根分别为α、β，则(α+3)(β+3)= .
9.已知x 1，x 2是方程x 2－3x －3＝0的两根，不解方程可求得x 21＋x 2
2＝________.
10.已知、是方程的两实数根，求的值.
*11.已知：关于x 的一元二次方程kx 2-(4k+1)x+3k+3=0(k 是整数). (1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中x 1＜x 2)，设y=x 2-x 1-2，判断y 是否为变量k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由.
1x 2x 2630x x ++=21
12
x x x x +。