人教A版高中数学必修三试卷岳野第一学期期末联考试题.doc

岳野2007—2008第一学期期末联考数学试题
命题人：岳西中学 储炳南 审题人：野寨中学：徐金友
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（试题卷）和第Ⅱ卷（答题卷）两部分,共150分。

考试时间120分钟。

2．考生一律不准使用计算器。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共11小题，每小题5分，共55分；每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合要求的。

）
1．已知向量(56)=-，
a ，(65)=，
b ，则a 与b （ ） A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
2.设A={x|-1<x<2},B={x|x 2
<a},若B ⊆A,则实数a 的取值范围是( ) A ．a<1 B ．a ≤1 C ．0≤a ≤1 D ．1≤a ≤4 3、下列不等式中解集为实数集R 的是 （ ）
A ．012
>+-x x B ．00
>x C ．
x
x 1
11<- D ． 0442>++x x 4.若等差数列前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项之和为（ ） A.84 B.72 C.36 D.-24
5.若2tan sec =+θθ
，则)2
4tan(θ
π-的值为 （ ）
A 、2
B 、
21 C. -2 D. 2
1- 6.已知x x f 2cos 3)(sin -=,且方程a x f =)(cos 的解依次成等差数列,则a 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2、3、4
7. 在12
3)(x x +的展开式中，任取一项，则取出的是有理项的概率为（ ）
A ．
3
1 B ．
4
1 C ．
13
3 D ．
12
1 8．下列关于函数|2||1||12|)(-+-+-=x x x x f 的叙述正确的是（ ） A ．当且仅当x=1时，)(x f 取得最小值
2 B ．当且仅当2
1
=
x 时，)(x f 取得最小值2 C ．当且仅当]1,2
1
[∈x 时，)(x f 取得最小值2 D ．当且仅当2=x 时取得最大值4 9． 已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取得极大值，则a 的取
值范围是
（ ）
A ．（－∞，－1）
B ．（－1，0）
C ．（0，1）
D ．（0，+∞）
10.已知函数c bx x x f ++=2
)(，若方程0)(=x f 的两根分别为21,x x ,若)2,1(,21∈x x ,则)2()1(f f 的最大值为( )
A ．
2
1
B ．
4
1 C ．
16
1 D ．1
11．已知bx ax x f +=2
)(，满足2)1(1≤-≤f 且4)1(2≤≤f ，则a
b
的取值范围是（ ） A ．[0，1] B ．（0，1） C ．[)1,0 D ．]5
3,0[
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
12.设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ∆∆-=+与则,2的面积之比为
13. 已知16
16221082)2(x a x a x a a x x ++++=-- ，则1a =
14．在等比数}{n a 中,21=a ,前n 项和为n S ,若数列}1{+n a 也是等比数列,则n S 等于
15．随机变量ξ的分布列为)1()(+==k k c k P ξ,k =1、2、3、4，c 为常数，则)
2
5
21(<<ξP 的值为
三、解答题（本大题共6小题，共79分）
16．（12分）已知集合}0)3)((|{},086|{2
<--=<+-=a x a x x B x x x A
（1）若B A ⊆，求a 的取值范围；（2）若}43|{<<=⋂x x B A ，求a 的取值范围。

17．（12分）设函数)0)(2sin()(πϕϕ<<+-=x x f ,)(x f y =图像的一条对称轴是直线
8
π
=
x .（1）求ϕ值；（2）求函数)(x f y =的单调递减区间； (3)已知A 、B 函数)(x f y =的图像上任意两点，求直线AB 的斜率的取值范围。

18．（14分）已知函数a
x ax x f 3
13)(2
3
-
+-=在),2(+∞上是增函数。

（1）求a 的取值范围；（2）求)(x f 的极值；（3）若0)(=x f 有三个不同的实根，求a 的取值范围。

19.（14分）某工程建设中，需用宽为2，长为l 的矩形铁皮建造大量的长度为l 的引水槽，按工程设计要求，引水槽过水横断面应设计为等腰梯形，为了使引水槽的过水流量最大，应使引水槽的横断面面积S 为最大，如果设引水槽横断面的等腰梯形的腰长为x ，腰与下底的夹
角为θ（如图所示）。

（1）试将S 表示成关于x 和θ的函数； （2）当θ一定时，求S 的最大值)(θf ；
（3）当θ为何值时，(2)中)(θf 取得最大值，并求出最大值和此时x 的值。

20．（13分）在正方体骰子的六个面中,有三个面标有数字0,两个面标有数字1,一个面标有数字2, 现同时抛掷三枚骰子.
（1）求三枚骰子出现的数字之积最大的概率；（2）求数字0、1、2各出现一次的概率；（3）求三枚骰子出现的数字之积的分布列与数学期望。

21．（14分）有一种摇奖盘是将一单位圆分成n （3≥n ）个均匀的扇形区域构成的（如图所示），现需将这n 个扇形区域用三种不同颜色涂色，并要求三种颜色都要使用，且相邻的区域不能同色。

如果把含有n （3≥n ）个扇形区域的摇奖盘的涂色方法数记为n a 。

（1）求：3a 、
4a ；（2）试用n a 、1+n a 表示2+n a （只要求写出关系式）；并证明数列}{1++n n a a （3≥n ）
H
D
C B
A x
θ
5
12
3
4
n
…
是等比数列；（3）求数列}{n a （3 n ）的通项公式。

第Ⅱ卷(答题卷)
二、填空题：
12． ；13． ；14． ；15． 。

三、解答题(注意:答题时不要超出方框)
16. 17.
18. 19.
H
D
C B
A
x θ
20.
123
4
5
123
4
n
…
12
3
21.
参考答案:
一、选择题 1.A; 2.B ; 3. A ;4. C ; 5. B ;6. D; 7.C ;8.C ; 9.B ; 10.C 11.D . 1.A
2.解析：当0≤a 时，A B ⊆=φ，当0≥a 时，}|{a x a x B <
<-=
由B ⊆A 102
1≤≤⇒⎪⎩⎪⎨
⎧≤-≥-⇒a a a ∴a ≤1,故选B.
另解: 128
tan
18
tan
18
tan 24
tan
2-=⇒=-=π
π
π
π
.
3. ∵012
>++x x 的解集为R ，故选A 4.解析：思路1：特殊值法，令n=1，则
S 1=a 1=48,a 2=S 2-S 1=12
∴d=-36 ∴a 3=a 2+d=-24, ∴S 3=48+12-24=36 故选 C 思路2；由⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S n 成等差数列，知： 6034823323=+⋅=+n n n n S
n S n S n S 即
∴ 363=n S 故选 C
思路3： 由S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列得： 2(S 2n -S n )=S n +(S 3n -S 2n ) 得: S 3n =3(S 2n -S n )=36 故选 C
5. 解析: ∵22
tan 12tan
12sin 2cos 2sin 2cos cos sin 1tan sec =-+=-+=
+=+θθ
θθθθθθθθ 2)24tan(=+⇒θπ， ∴2
1)24cot()24tan(=+=-θπθπ
∴故选B.
6. 解析: 由x x f 2cos 3)(sin -=，
x
x x f x f 2cos 3)2(2cos 3)]2[sin()(cos +=--=-=⇒π
π
∴由a x f =)(cos 的解依次成等差数列，
a x =+⇒2cos 3的解依次成等差数列，
0,13±=-a ,即a=2或3或4
故选D.
7. ∵6
612312121)()
(r
r
r r r r x C x x C T --+=⋅=,∴当12,6,0=r 时为有理项,又因为
123)(x x +的展开式共有13项,所以从中任取一项为有理项的概率为
13
3
,故选C 8. 【解析】
∵ |2||1||12|-+-+-=x x x y =|2||1||21
|2-+-+-
x x x |
2||1||21
||21|-+-+-+-=x x x x |)
2||21
(||)1||21(|-+-+-+-=x x x x 2
2321|)2(21||)1(21|=+=---+---≥x x x x
“=”当且仅当1210
)2)(21(0)1)(21(≤≤⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤--≤--x x x x x 时成立。

故选C
9.利用检验法可得B 正确
10.解析: ∵方程0)(=x f 的两根分别为x 1,x 2,
∴可设:))(()(21x x x x x f --=
∵)2,1(,21∈x x ,
∴01,0121>->-x x ,02,0221>->-x x ∴)2)(2()1)(1()2()1(2121x x x x f f --⋅--=⋅
)2)(1()2)(1(2211x x x x --⋅--= 2
222
11221221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≤x x x x
16
1
=。

故选C 。

11.解析:方法一:由1≤-≤f ()12且214≤≤f ()
1411)1()1(41≤+-≤⇒≤-≤⇒
b
a b a f f 11141≤+-≤
⇒a b a b ,记k a b =, 则有: 11141≤+-≤k k
⇒0)111)(4111(
≤-+--+-k
k
k k 53
00)1(4)53(2
≤≤⇒≤+--⇒
k k k k
即
a b 的取值范围是]5
3
,0[;故选D. 方法二: 由1≤-≤f ()12且214≤≤f ()
⎩⎨
⎧≤+≤≤-≤⇒4
22
1b a b a ……(Ⅰ) 画出不等式组(Ⅰ)表示的可行域, 记k a
b
=,由图象可知:当直线b=ka 过点A 时,k 取得最大值53, 当直线b=ka 过点B 时,k 取得最小值0, ∴a b 的取值范围是]5
3,0[; 二、填空题
4
2
-2
5
B: (2.00, 0.00)
b=ka a-b=2
a-b=1
a+b=2
a+b=4
A: (2.50, 1.50)B A
图1
D
B
A
C
O
12.
2
1； 解析:以OA 、OB 为平行四边形的的边， 作平行四边形OADC ，则 ,OD OC OA =+ ∵ ,2OB OC OA -=+∴,2OB OD -= ∴|,|2||OB OD = ∴AOB AOD AOC S S S ∆∆∆==2
∴2:1:=∆∆AOC AOB S S 13. 1024；
解析：方法1：由16
16221082)2(x a x a x a a x x ++++=-- ，两边同时求导得：
151********)12()2(8x a x a a x x x +++=--- ，令x=0得：10241=a ；
方法2：88
82)2()1()2(-+=--•
x x x x ，∴1024)2()2(7788781=-+-⋅=C C a 14．因数列}{n a 为等比，则1
2-=n n q a ，因数列}1{+n a 也是等比数列,则
12)1)(1()1(12221=⇒=+⇒++=+++++q a a a a a a n n n n n n
即，2=n a ，所以n S n 2=。

15．
6
5； 解析：由1)4()3()2()1(==+=+=+=ξξξξP P P P 得：
45154433221=⇒=⨯+⨯+⨯+⨯c c c c c ,则6
5)2()1()2521(==+==<<ξξξP P P 三、解答题
16． 解：}42|{<<=x x A ……2分
（1）},3|{,0a x a x B a <<=>时
234
4
32≤≤⇒⎩⎨⎧≥≤∴a a a 应满足……4分
a <0时，
无解应满足⎩⎨⎧≥≤<<=4
2
3}3|{a a a x a x B ……6分
a=0时,Φ=B 显然不符合条件。

∴B A ⊆时， a 的取值范围是]2,3
4
[ ……8分
（2）要满足3,0}43|{=><<=a a x x B A 显然 时成立 ∵此时B }43|{},93|{<<=<<=x x B A x x 而 故所求的a 值为3。

………12分 17．解析：（1）因为)(x f y =图像关于直线8
π
=
x 对称， 所以, 1)8
2sin(±=+⨯-ϕπ
, ……2分
即1)4
sin(±=+-
ϕπ
，所以2
4
π
πϕπ
+
=+-
k ，k ∈Z ，
解得4
3π
πϕ+
=k ，k ∈Z ， 又因为πϕ<<0，故取4
3π
ϕ=。

……4分
（2）由（1）⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=π432sin )(x x f ， 由2243222π
πππ
π+≤+-≤-
k x k ，∈k Z ……6分 Z k k x k ∈+-≤≤+-⇒,8
58π
πππ
故f(x)单调减区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
++
πππ
π85,8k k ，∈k Z （注：写成⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+-+
-πππ
π85,8k k ，∈k Z 也可）……8分 （3）因为对于连续函数)(x f y =的图像上任意两点A 、B ，在图象上总存在一点P ，使得过点P 的切线斜率等于直线AB 的斜率，因此，我们只需求出过)(x f y =的图像上任意一点切线的斜率的取值范围。

由 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
-=π432sin x y ，
得：⎪⎭
⎫
⎝⎛+
--=π432cos 2'x y ，……10分 ∴ 2|'|≤y 即曲线切线的斜率的取值范围是[-2，2]
∴直线AB 的斜率的取值范围[-2，2] ……12分 18．解：（1）∵a
x ax x f 3
13)(2
3-
+-=， ∴0)2(363)('2
≥-=-=ax x x ax x f 在),2(+∞上恒成立……（2分） ∴x
a ax 202≥⇒≥- ∵),2(+∞∈x ，∴
12
<x
∴1≥a 即a 的取值范围为),1[+∞……（4分） （2）由a
x x ax x x f 200)2(3)('==⇒=-=或 ∵当)0,(-∞∈x 时，0)('>x f 当)2,0(a
x ∈时，0)('<x f ，
当),2(+∞∈a
x 时，0)('>x f ……（7分） ∴a
a a f x f 3
31)0()(-=
-
==极大值， 2
2
3
)1)(4(31232)2()(a a a a a a a a f x f +-=-+⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==极小值
……（9分） （3）∵0)(=x f 有三个不同的实根， ∴03
)(>-=
a
a x f 极大值， 0)1)(4()(2
<+-=a a a x f 极小值
……（12分）
∴4310)1)(4(032
<<⇒⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧≥<+->-a a a a a a a ∴a 的取值范围为（3，4）……（14分）
19．解：（1）由题意可知：AB=CD=x ，BC=2-2x ，上底AD=2-2x+2xcos θ，高DH=xsin θ，
∴2
sin )cos 244(θθx x x S +-= θθsin )cos 22(x x x +-= 即x x S ⋅+--=θθθsin 2)cos 2(sin 2
，（2
0πθ<<）……4分
（2）由（1）知：
x x S ⋅+--=θθθsin 2)cos 2(sin 2
=θ
θ
θθθcos 2sin )cos 21)(cos 2(sin 2-+
----x ∴θ
θ
θcos 2sin )(-=
f ……8分
（3）方法1: 由θθθcos 2sin )(-=f 2
cos sin --
=θθ
, 构造点:)sin ,(cos θθP ,A(2,0),则)(θf 为PA 的斜率的相反数,由于点P 在单位圆上,由几何
知识得: 3
π
θ=时,)(θf 取得最大值
3
3
……12分 又因为当3
π
θ=
时，3
2
cos 21=-=
θx
∴当3
π
θ=
时, )(θf 取得最大值
33，此时3
2
=x 。

……14分 方法2:记θ
θ
cos 2sin -=
y ⇒y y 2sin cos =+θθ⇒y y 2)sin(12=++φθ
⇒1
2)sin(2
+=
+y y φθ（其中1
sin 2
+=
y y φ，1
1cos 2
+=
y φ）
3
301|1
2|2≤
<⇒≤+y y y 由3
3
=
y 得：2
11
2)sin(2
π
φθφθ=
+⇒=+=+y y ，
2
1
1
sin 2=
+=
y y φ，231
1
cos 2=
+=y φ6πφ=⇒。

∴3
πθ= ∴3
3
cos 2sin )(≤-=
≤θθθf S ，
H D C B A x
θ
12
3
1
23
4
5
123
4
n
…
“=”当且仅当3
π
θ=
，3
2
cos 21=-=
θx 时成立，
∴当3
π
θ=
时, )(θf 取得最大值
33，此时3
2
=x 。

……14分 其它方法酌情给分 20．解析：
(1) 因为三枚骰子出现的数字均为2时其积最大，而每枚骰子出现数字2的概率均为6
1
，∴216
1
6161611=
⨯⨯=
P ……3分 （2）∵每枚骰子出现数字0、1、2的概率均分别为
21、31、61
， ∴数字0、1、2各出现一次的概率为6
16131213
32=⨯⨯⨯=A P ……7分
（3）设三枚骰子出现的数字之积为ξ，则ξ=0、1、2、4、8
∵8
7]6131)6
1()3
1[(21)6
131()2
1()2
1()0(1
222
1
32
2
33=⨯⨯
++⨯++⨯⨯+==C C C P ξ 27
1
)31()1(3=
==ξP 181)31(61)2(21
3=⨯⨯==C P ξ
361
31)61()4(223=
⨯⨯==C P ξ 216
1
)61()8(3=
==ξP ∴三枚骰子出现的数字之积的分布列为： ξ 0
1
2
4
8
P
87 271 181 361 216
1 ……11分
数学期望为： 27
88216143612181271=⨯+⨯+⨯+=ξE ……13分
注：求)0(=ξP ，利用)8()4()2()1(1)0(=-=-=-=-==ξξξξξP P P P P 较为方便。

21．解：
（1）63
33==A a ……（2分）
…n+2
n
5
4
3
2
11
2
3
4
5
n+2
…
n+1
121
21312134=⋅+⋅=C C C C a ……（4分）
（2）如果我们在含有n 区域的摇奖盘中的某一区域内再插入一个区域（如图3所示），则共有n+2个区域，而此时插入的这个区域有2种涂色方法，故此时n+2个区域共有2n a 种涂色方法；
如果我们在含有n+1区域的摇奖盘中的某两个相邻的交界线上再插入一个区域（如图4所示），则共有n+2个区域，而此时插入的这个区域只有1种涂色方法，故此时n+2个区域共有
1+n a 种涂色方法；所以： 122+++=n n n a a a ……（7分）
⇒122+++=n n n a a a ⇒)(2112n n n n a a a a +=++++
∴}{1++n n a a （3≥n ）是以2为公比的等比数列……（8分）
（3）由（3）可知233
341292)612(2
)(---+⋅=⋅+=+=+n n n n n a a a a ⇒2129-+⋅+-=n n n a a
⇒89
2212
1
1+⋅-=++n n n n a a 令n
n n a b 2
=
，则有89211+⋅-=+n n b b ……（10分） ⇒)43
(21431--=-
+n n b b )4
3
()21()43()21()43(214333221--==--=--=----b b b b n n n n ……（12分）
又∵04
3
8643243333=-=-=-a b ∴4
3=
n b ， ∴n
n n
n b a 2432⋅=⋅=，即223-⋅=n n a （3≥n ）……（14分） 注: 由)43(21431--=-+n n b b ,得出数列}43{-n b 是以2
1
- 为公比的等比数列,得出
0)21)(43(4333=--=--n n b b ⇒4
3
=n b ,扣2分
其它方法酌情给分。