上海民办永昌学校中考数学几何综合压轴题易错专题

上海民办永昌学校中考数学几何综合压轴题易错专题
一、中考数学几何综合压轴题
1．如图所示，在△ABC 中，AB BC =，D 、E 分别是边AB 、BC 上的动点，且BD BE =，连结AD 、AE ，点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点，设B α∠=．
（1）观察猜想
①在求MN CE 的值时，小明运用从特殊到一般的方法，先令60α=︒，解题思路如下： 如图1，先由,AB BC BD BE ==，得到CE AD =，再由中位线的性质得到PM PN =， 60NPM ∠=︒，进而得出△PMN 为等边三角形，∴12MN NP CE CE ==． ②如图2，当90α=︒，仿照小明的思路求
MN CE 的值； （2）探究证明
如图3，试猜想
MN CE 的值是否与()0180αα︒<<︒的度数有关，若有关，请用含α的式子表示出MN CE
，若无关，请说明理由； （3）拓展应用
如图4，2,36AC B =∠=︒，点D 、E 分别是射线AB 、CB 上的动点，且AD CE =，点M 、N 、P 分别是线段CD 、AE 、AC 的中点，当1BD =时，请直接写出MN 的长．
解析：（1）②
2MN CE =2）MN CE 的值与α的度数有关，sin 2MN CE α=；（3）MN 的长55-35+ 【分析】
（1）②先根据线段的和差求出AD CE =，再根据中位线定理、平行线的性质得出,45PM PN APN CPM =∠=∠=︒，从而可得出90NPM ∠=︒，然后根据等腰直角三角形的性质即可得；
（2）参照题（1）的方法，得出PMN 为等腰三角形和NPM ∠的度数，再利用等腰三角形的性质即可求出答案；
（3）分两种情况：当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时和当点D 、E 分别是边AB 、CB
的延长线上的动点时，如图（见解析），先利用等腰三角形的性质与判定得出
,ABC BCE CAB AFC ∠=∠∠=∠，再根据相似三角形的判定与性质得出BC 、CE 的长，由根据等腰三角形的三线合一性得出1,182BP AC CBP ABC ⊥∠=∠=︒，从而可得sin18︒的值，最后分别利用（2）的结论即可得MN 的长．
【详解】
（1）②,AB BC BD BE ==
∴AD CE =
,90AB BC B =∠=︒
∴ABC 为等腰直角三角形，45ACB CAB ∠=∠=︒
∵点M 、N 、P 分别是CD 、AE 、AC 的中点
11//,,//,22
PN CE PN CE PM AD PM AD ∴== ,45,45PM PN APN ACB CPM CAB ∴=∠=∠=︒∠=∠=︒
∴18090NPM APN CPM ∠=︒-∠-∠=︒
∴PMN 为等腰直角三角形，
∴222
MN PN CE ==
即22MN CE =； （2）MN CE
的值与α的度数有关，求解过程如下： 由（1）可知，PM PN =，即PMN 为等腰三角形
180180NPM APN CPM ACB CAB B α∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=
如图5，作PH MN ⊥
则11,222
NH MN NPH NPM α=∠=∠= 在Rt NPH 中，sin NH NPH PN
∠=，即1
2sin 122
MN CE α= 则sin 2
MN CE α=；
（3）依题意，分以下两种情况：
①当点D 、E 分别是边AB 、CB 上的动点时
如图6，作ACB ∠的角平分线交AB 边于点F ，并连结BP
2,36,AC ABC AB AC =∠=︒=
72ACB CAB ∴∠=∠=︒ 136,722ACE BCE ACB AFC ABC BCE ∴∠=∠=∠=︒∠=∠+∠=︒ ,ABC BCE CAB AFC ∴∠=∠∠=∠
2BF CF AC ∴===，ACF ABC ~
AF AC AC AB
∴=，即2AC AF AB =⋅ 设==AB BC x ，则2AF AB BF x =-=-
22(2)x x ∴=-
解得15x 或15x =-（不符题意，舍去）
即15BC =+
1515CE BC BE BC BD ∴=-=-=+-=
由（2）可知，36sin sin182
MN CE ︒==︒ sin185sin18MN CE ∴=⋅︒=︒
点P 是AC 上的中点
1,182BP AC CBP ABC ∴⊥∠=∠=︒，112
CP AC ==（等腰三角形的三线合一） 在Rt CBP 中，sin CP CBP BC ∠=
，即151sin18415-︒==+ 51555sin18544
MN --∴=︒=⨯= ②如图7，当点D 、E 分别是边AB 、CB 的延长线上的动点时
同理可得：15BC =+
15125CE BC BE BC BD ∴=+=+=++=+
5135sin18(25)44
MN CE -+∴=⋅︒=+⨯= 综上，MN 的长为554-或354
+．
本题考查了中位线定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况，并结合题（2）的结论是解题关键．
2．（1）（问题背景）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是直线BC 上的一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°至AE ，连接CE ，求证：ABD ACE △≌△； （2）（尝试应用）如图2，在（1）的条件下，延长DE ，AC 交于点G ，BF AB ⊥交DE 于点F ．求证：2FG AE =；
（3）（拓展创新）如图3，A 是BDC 内一点，45ABC ADB ∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，3BD =，直接写出BDC 的面积为_____________．
解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）32
【分析】
（1）【问题背景】如图1，根据SAS 证明三角形全等即可．
（2）【尝试应用】如图2，过点D 作DK ⊥DC 交FB 的延长线于K ．证明△ECG ≌△DKF （AAS ），推出DF ＝EG ，再证明FG ＝DE ＝2AE 即可．
（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE ⊥AD 交BD 于E ，连接CE ．利用全等三角形的性质证明CE ＝BD ，CE ⊥BD ，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】
（1）【问题背景】证明：如图1，
∵90BAC DAE ∠=∠=︒，
∴DAB EAC ∠=∠，
在ABD △和ACE 中，
DAB EAC AB AC ⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ABD ACE SAS △≌△．
（2）【尝试应用】证明：如图2，过点D 作DK DC ⊥交FB 的延长线于K ．
∵DK CD ⊥，BF AB ⊥，
∴90BDK ABK ∠=∠=︒，
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴45ABC ACB ∠=∠=︒，
∴45DBK K ∠=∠=︒，
∴DK DB =，
∵ABD ACE △≌△，
∴135ABD ACE ∠=∠=︒，DB EC DK ==，
∴45ECG ∠=︒，
∵BF AB ⊥，CA AB ⊥，
∴AG BF ∥，
∴G DFK ∠=∠，
在ECG 和DKF △中，
ECG K G DFK CE KD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ECG DKF AAS ≌△△，
∴DF EG =， ∵2DE AE ， ∴2DF EF AE +=， ∴2EG EF AE +，即2FG AE =．
（3）【拓展创新】如图3中，过点A 作AE AD ⊥交BD 于E ，连接CE ．
∵45ADB ∠=︒，90DAE ∠=︒，
∴ADE 与ABC 都是等腰直角三角形，
同法可证ABD ACE △≌△， ∴3CE BD ==， ∵45AEC ADB ∠=∠=︒， ∴90CED CEB ∠=∠=︒，
∴11333222
BDC S BD CE =⋅⋅=⨯⨯=△． 故答案为：32
． 【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
3．综合与实践
数学问题：
（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，过斜边的中点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，则AB ，BE ，AF 之间的数量关系为______．
问题解决：
（2）如图2，在任意Rt ABC 内，找一点D ，过点D 作正方形DECF ，分别交BC ，AC 于点E ，F ，若AB BE AF =+，求ADB ∠的度数；
图2
拓展提升：
（3）如图3，在（2）的条件下，分别延长ED ，FD ，交AB 于点M ，N ，则MN ，AM ，BN 的数量关系为______．
图3
（4）在（3）的条件下，若3AC =，4BC =，则MN =______．
解析：（1）)2AB AF BE +；（2）135°；（3）222MN AM BN =+；（4）
2512
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的斜边与直角边的关系及正方形的性质即可得出数量关系； （2） 延长AC 至点P ，使FP BE =，连接DP ，根据正方形的性质易证DFP DEB △△≌
，从而可得DP =DB ，进而可证ADP ADB △△≌，从而可得12
DAC DAB CAB ∠=∠=∠，12
ABD CBD ABC ∠=∠=∠，由三角形内角和定理即可求得∠ADB 的度数； （3）由正方形的对边平行的性质易得AM =DM ，BN =DN ，从而在Rt △MDN 中，由勾股定理即可得MN 、AM 、BN 的数量关系；
（4）由（2）知FP =BE ，即可求得DE =DF =1，根据相似三角形的性质可分别求得EM 、FN 的长，从而可得DM 、DN 的长，在Rt △MDN 中，由勾股定理即可求得MN 的长．
【详解】
（1）∵ABC 是等腰直角三角形，且AB =AC ， ∴2AB =，∠A =∠B =45°，
∵四边形DECF 是正方形，且D 是AB 的中点，
∴DF =FC =CE =DE ，∠DFA =∠DEB =90°，DF ∥BC ，DE ∥AC ，
∴∠ADF =∠B =45°，∠BDE =∠A =45°，
∴AF =DF ，BE =DE ，
∴F 、E 分别是AC 、BC 的中点，
∴CF =BE ，
∴AC =AF +CF =AF +BE ， ∴()2AB AF BE =+；
（2）延长AC 至点P ，使FP BE =，连接DP ．
∵四边形DECF 是正方形，
∴DF DE =，90DFC DEC ∠=∠=︒．
∵FP BE =，90DFC DEB ∠=∠=︒，DF DE =，
∴()SAS DFP DEB ≌△△．
∴DP DB =．
∵AB AF BE =+，AP AF FP =+，FP BE =，
∴AP AB =．
又∵DP DB =，AD AD =，
∴()SSS ADP ADB ≌△△．
∴12
DAC DAB CAB ∠=∠=∠． 同理可得：12ABD CBD ABC ∠=∠=
∠． ∵90ACB ∠=︒，
∴90CAB CBA ∠+∠=︒．
∴()1452
DAB ABD CAB CBA ∠+∠=∠+∠=︒． ∴()180135ADB DAB ABD ∠=︒-∠+∠=︒．
（3）∵DF ∥BC ，DE ∥AC ，
∴∠CBD =∠NDB ， ∠DAC =∠ADM ，
∵ABD CBD ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，
∴∠ABD =∠NDB ，∠ADM =∠DAB ，
∴BN =DN ，AM =DM ．
在Rt △MDN 中，由勾股定理得：22222MD DN MN AM BN ==++
故答案为：222MN AM BN =+，
（4）∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4，
∴由勾股定理得：AB =5，
设正方形DECF 的边长为x ，
由（2）知，AP =AB =5，BE =FP ，CP =AP -AC =2，
∵FP =CP +CF ，BE =BC -CE ，
即4-x =2+x ，解得x =1，
∴BE =BC -CE =3，AF =AC -CF =2，
∵EM ∥AC ，FN ∥BC ，
∴△BME ∽△BAC ，△AFN ∽△ACB ∴34ME BE AC BC ==，23
FN AF BC AC ==， ∴94ME =
，83FN =． ∵DM =ME -DE =54
，DN =FN -DF =53， 22
2255254312MN DM DN ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：2512
MN =
． 【点睛】 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，截长补短法作辅助线是本题的关键．
4．在ABC 中，点D ，E 分别是AB AC ，边上的点，//DE BC ．
基础理解：
（1）如图1，若43AD BD ==，，求
AE AC
的值； 证明与拓展：
（2）如图2，将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △，连接11,BD CE ；
①求证：11BD AD CE AE
=； ②如图3，若90,6,BAC AB AC AD ADE ∠=︒<=，在旋转的过程中，点1D 恰好落在DE 上时，连接1113,
4BD EE CE =，则11E D E 的面积为________． 解析：（1）47
；（2）①见详解；②13.44 【分析】
（1）利用平行线分线段定理，直接求解即可；、
（2）①先推出11AD AB AE AC
=，从而得11ABD ACE ∽，进而即可得到结论；②先推出AE =AE 1 =8，DE =D 1E 1=10，过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM = 3.6，D 1E =2.8，再证明∠D 1EE 1=90°，进而即可求解．
【详解】
解：（1）∵//DE BC ，43AD BD ==，， ∴AE AC =44437
AD AB ==+； （2）①∵将ADE 绕点A 逆时针旋转a 度，得到11AD E △， ∴1AD =AD ，1AE =AE ，∠BAD 1=∠CAE 1，
∵//DE BC ， ∴AD AE AB AC =，即AD AB AE AC
=， ∴11AD AB AE AC
=， ∴
11ABD ACE ∽， ∴1111BD AD AD CE AE AE
==； ②由①可知11ABD ACE ∽， ∴
111134BD AD CE AE ==， ∵将ADE 绕点A 逆时针旋转，得到11AD E △，点1D 恰好落在DE 上， ∴AD 1=AD =6，∠D 1AE 1=∠DAE =90°，
∴AE =AE 1=43
AD 1=8，DE =D 1E 1
10=， 过点A 作AM ⊥DE 于点M ，则DM =D 1M =AD ×cos ∠ADE = AD ×AD DE =6×610=3.6，
∴D 1E =10-3.6 ×2=2.8，
∵∠D 1AE 1=∠DAE =90°，
∴∠DAD 1=∠EAE 1，
又∵AD 1=AD ，AE =AE 1，
∴∠ADE =11118018022
DAD EAE AEE ︒-∠︒-∠==∠， ∴∠AED +1AEE ∠=∠AED +∠ADE =90°，即：∠D 1EE 1=90°，
∴22110 2.89.6EE =-=，
∴11E D E 的面积=12D 1E ∙EE 1=12
×2.8×9.6=13.44． 故答案是：13.44．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解题的关键．
5．
情境观察：将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D ，如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC 相等的线段是 ▲ ，∠CAC′= ▲ °．
问题探究：如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
拓展延伸：如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB=k AE，AC=k AF，试探究HE与HF之间的
数量关系，并说明理由.
解析：情境观察：AD（或A′D），90
问题探究：EP=FQ. 证明见解析
结论： HE=HF. 证明见解析
【详解】
情境观察
AD（或A′D），90
问题探究
结论：EP=FQ.
证明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.
∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.
∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP. ∴AG=EP.
同理AG=FQ. ∴EP=FQ
拓展延伸
结论： HE=HF.
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.
∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP.
∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，
同理△ACG∽△FAQ，
∵AB= k AE，AC= kAF，∴EP=FQ.
∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH. ∴HE=HF
6．平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠BOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向形如旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．
发现（1）当α＝0°，即初始位置时，点P____直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B？
（2）在OQ旋转过程中．简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值：
（3）如图，当点P恰好落在BC边上时．求α及S阴影．
拓展如图．当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x（x＞0），用含
x 的代数式表示BN 的长，并求x 的取值范围．
探究当半圆K 与矩形ABCD 的边相切时，求sin α的值．
解析：发现：（1）在，15°；（2）当α=60°时，最小距离为1；（3）30°，3=+1624S π阴影．拓展：x 的范围是0221x <≤-； 探究：sinα的值为43310
-或62110-或32
． 【详解】
解：发现
（1）在；当OQ 过点B 时，在Rt △OAB 中，AO ＝AB ，
得∠DOQ ＝∠ABO ＝45°，
∴α＝60°－45°＝15°．
（2）如图3．
连AP ，有OA ＋AP≥OP ，当OP 过点A ，即α＝60°时等号成立．
∴AP≥OP －OA ＝2－1＝1．
∴当α＝60°时．P ，A 间的距离最小．
∴PA 的最小值为1．
（3）如图3，
设半圆K 与PC 交点为R ，连接RK ，过点P 作PH ⊥AD 于点H ，过点R 作RE ⊥KQ 于点E ． 在Rt △OPH 中，PH ＝AB ＝1，OP ＝2，∴∠POH ＝30°，
∴α＝60°－30°＝30°．
由AD//BC 知，∠RPQ ＝∠POH ＝30°．
∴∠RKQ ＝2×30°＝60°．
2
160236024
KRQ S ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∴==扇形， 在Rt △RKE 中，3sin 60RE RK =⋅︒=
13·2PRK S PK RE ∆∴=
= 324S π∴=阴影； 拓展
如图5，∠OAN ＝∠MBN ＝90°，∠ANO ＝∠BNM ，所以△AON ∽△BMN ． ∴AN AO BN BM =，即11BN BN x
-=， ∴1x BN x =
+． 如图4，当点Q 落在BC 上时，x 取最大值，作QF ⊥AD 于点F ．
2222311221BQ AF OQ QF AO =-=-=．
∴x 的范围是0221x <≤．
【注：如果考生答“221x ≤或221x <”均不扣分】
探究
半圆与矩形相切，分三种情况：
①如图5，半圆K 与BC 切于点T ，设直线KT 与AD 和OQ 的初始位置所在直线分别交于S ，O′，则∠KSO ＝∠KTB ＝90°，作KG ⊥OO ′于点G ．
Rt △OSK 中，222253222OS OK SK ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． Rt △OSO′中，tan 6023SO OO ︒''==，3232
KO '=-
． Rt △KGO′中，∠O′=30°，KG=13=3-.24KO ' Rt △OGK 中，334334sin 510
2
KG OK α--===
②半圆K 与AD 切于点T ，如图6，同理可得
11()22sin 5522
O K O T KT KG OK
α''-=== 22
5113222621⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==
③当半圆K与CD相切时，成Q与点D重合，且为切点．∴α＝60°，∴3
sin sin60
2
α=︒=．
综上述，sinα的值为433
10
-
或
621
10
-
或
3
2
．
考点：圆，直线与圆的位置关系，锐角三角函数，相似，三角形法则求最值
7．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A 顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
解析：（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由见解析；（3）10
4
17
或12
37
【分析】
（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形
ACBD′面积即可．
【详解】
（1）矩形或正方形；
（2）AC=BD ，理由为：连接PD ，PC ，如图1所示：
∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线，
∴PA=PD ，PC=PB ，
∴∠PAD=∠PDA ，∠PBC=∠PCB ，
∴∠DPB=2∠PAD ，∠APC=2∠PBC ，
即∠PAD=∠PBC ，
∴∠APC=∠DPB ，
∴△APC ≌△DPB （SAS ），
∴AC=BD ；
（3）分两种情况考虑：
（i ）当∠AD′B=∠D′BC 时，延长AD′，CB 交于点E ， 如图3（i ）所示，
∴∠ED′B=∠EBD′，
∴EB=ED′，
设EB=ED′=x ， 由勾股定理得：42+（3+x ）2=（4+x ）2， 解得：x=4.5，
过点D′作D′F ⊥CE 于F ，
∴D′F ∥AC ，
∴△ED′F ∽△EAC ， ∴
D F ED AC A
E ''=， 即 4.544 4.5
D F '=+， 解得：D′F=3617
， ∴S △ACE =12AC×EC=12×4×（3+4.5）=15；S △BED′=12BE×D′F=12×4.5×3617=8117
，
则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣81
17
=10
4
17
；
（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，如图3（ii）所示，
∴四边形ECBD′是矩形，
∴ED′=BC=3，
在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=7，
∴S△AED′=1
2AE×ED′=1
2
×7×3=
37
2
，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣7）×3=12﹣37，
则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=37
2+12﹣37=12﹣
37
2
．
【点睛】
此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．
8．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．
（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．
解析：（1）=；（2）成立，证明见解析；（3）135°.
【分析】
试题（1）由DE∥BC，得到DB EC
AB AC
，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，再简单计算即可．
【详解】
（1）∵DE ∥BC ， ∴DB EC AB AC
=， ∵AB=AC ，
∴DB=EC ，
故答案为=，
（2）成立．
证明：由①易知AD=AE ，
∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，
又∵AD=AE ，AB=AC
∴△DAB ≌△EAC ， ∴DB=CE ，
（3）如图，
将△CPB 绕点C 旋转90°得△CEA ，连接PE ， ∴△CPB ≌△CEA ，
∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，
∴∠CEP=∠CPE=45°，
在Rt △PCE 中，由勾股定理可得，PE=22 在△PEA 中，PE 2=（222=8，AE 2=12=1，PA 2=32=9， ∵PE 2+AE 2=AP 2，
∴△PEA 是直角三角形
∴∠PEA=90°，
∴∠CEA=135°，
又∵△CPB ≌△CEA
∴∠BPC=∠CEA=135°．
【点睛】
考点：几何变换综合题；平行线平行线分线段成比例. 9．（基础巩固）
（1）如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，直线l 过点C ，分别过A
B 、两点作,AE l BD l ⊥⊥，垂足分别为E D 、．求证：BD
C CEA ∆∆． （尝试应用）
（2）如图2，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 是BC 上一点，过D 作AD 的垂线交AB 于点
E ．若4
,tan ,205
BE DE BAD AC =∠==，求BD 的长．
（拓展提高）
（3）如图3，在ABCD 中，在BC 上取点E ，使得90AED ∠=︒，若
4
,
,143
BE AE AB CD EC ===，求ABCD 的面积．
解析：（1）见解析；（2）32BD =；（3）710【分析】
（1）由直角三角形的性质证得∠BDC =∠AEC ，由相似三角形的判定定理可得出结论； （2）过点E 作EF ⊥BC 于点F ，由相似三角形的性质得出DE DF
DA AC
=，由锐角三角函数的定义求出DF =16，则可求出答案；
（3）过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点D 作DN ⊥BC ，交BC 的延长线于点N ，证明△ABM ≌△DCN （AAS ），由全等三角形的性质得出BM =CN ，AM =DN ，设BE =4a ，EC =3a ，由（1）得△AEM ∽△EDN ，得出比例线段AM EN
ME DN
=，求出a =1，b 10，由平行四边形的面积公式可得出答案． 【详解】
解：（1）∵90ACB ∠=︒， ∴90BCD ACE ∠+∠=︒， ∵AE CE ⊥， ∴90AEC ∠=︒， ∴90ACE CAE ∠+∠=︒， ∴BCD CAE ∠=∠． ∵BD DE ⊥， ∴90BDC ∠=︒， ∴BDC AEC ∠=∠， ∴BDC
CEA ∆∆
（2）过点E 作EF BC ⊥于点F ，
由（1）得EDF DAC ∆∆，
∴
DE DF
DA AC
= ∵AD DE ⊥，4
tan ,205
BAD AC ∠==，
∴
4520
DF =， ∴16DF = ∵BE DE =， ∴BF DF = ∴32BD =
（3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥的延长线于点N ，
∴090AMB DNC ∠=∠= ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴//,AB CD AB CD =， ∴B DCN ∠=∠， ∴ABM DCN ∆≅∆， ∴,BM CN AM DN ==， ∵,AB AE AM BC =⊥， ∴BM ME = ∵
4
3
BE EC =，设4,3BE a EC a == ∴2,5BM ME CN a EN a ==== ∵90AED ∠=︒， 由（1）得AEM EDN ∆∆，
∴AM EN
ME DN =， ∴
25b a a b
=
∵14CD =， ∴()2
2214a b +=
∴1,10a b == ∴
ABCD 的面积1
77102
BC DN a b =⨯⨯=⨯=
【点睛】
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．
求证：BCE
1
S
2
=
S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究
（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．
（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．
解析：【问题情境】见解析；【探究应用1】18
y x
=；【探究应用2】见解析；【迁移拓1927 【分析】
（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝1
2BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论； （2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝1
2AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝1
2BD×AM ＝1
2平行四边形的面积＝9，即可得出结果；
（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝1
2平行四边形ABCD 的面积，得出1
2AF×BM ＝1
2CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分
（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝1
2AB ＝2x ，BQ ＝1
2BE ，AP ＝
＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，
QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝，CE ，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果． 【详解】
（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示： 则S △BCE ＝1
2BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12
BCE
ABCD
S
S =
．
（2）
解：连接OH ，如图2所示： ∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝1
2AD ＝3，
∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥BD ，
∴△ABD 的面积＝1
2BD×AM ＝1
2平行四边形的面积＝9， 即1
2xy ＝9，
∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x
； （3）
证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：
同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝1
2平行四边形ABCD 的面积， ∴
12
AF×BM ＝1
2CE×BN ，
∵AF ＝CE ， ∴BM ＝BN ， ∴BG 平分∠AGC ．
（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示： ∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°， ∴∠ABP ＝60°，
∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，
∴BP ＝1
2AB ＝2x ，BQ ＝1
2BE ，AP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，
∴BE ＝2x ，BF ＝2x ， ∴BQ ＝x ，
∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，
由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝1
2平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ，
∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．
11．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题．
（1）尝试解决：如图①，在等腰Rt ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点M 是BC 上的一点，1cm BM =，2cm CM =，将ABM 绕点A 旋转后得到ACN △，连接MN ，则
AM =___________cm ．
（2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD 中，,,AB AD a CB CD AB BC ===⊥于点B ，AD CD ⊥于点D ，点P 、Q 分别是AB AD 、上的点，且PCB QCD PCQ ∠+∠=∠，求APQ 的周长．（结果用a 表示）
（3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD ，
,60,75,2AD CD ADC ABC AB BC =∠=︒∠=︒==，求四边形ABCD 的面积．
解析：（12）2a ；（3）2 【分析】
（1）由旋转的性质可得△ABM ≌△ACN ，从而得出∠MCN =∠ACB +∠ACN =90°，再根据勾股得出AM 的长；
（2）将BCP 绕点C 旋转后得到DCM △，利用SAS 得出△QCP ≌△QCM ，从而得出APQ 的周长
（3）连接 BD ，由于AD =CD ，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，连接BB ′，延长BA ，作B ′E ⊥BE ；易证△AFB ′是等腰直角三角形，△AEB 是等腰直角三角
形，利用勾股定理计算AE =B ′E BB ′=△ABB ′和△BDB ′的面积和即可． 【详解】
（1）∵90,BAC AB AC ∠=︒=， ∴∠B =∠ACB =45°，
将ABM 绕点A 旋转后得到ACN △，此时AB 与AC 重合，由旋转可得： △ABM ≌△ACN ，
∴∠BAM =∠CAN ，AM =AN ，BM =CN =1，∠B =∠ACN =45°， ∴∠MCN =∠ACB +∠ACN =90°，∠MAN =∠ABC =90°， ∴
MN ==
∴
AM AN ==
=
（2）∵AD CD ⊥，,CB CD AB BC =⊥，
∴将BCP 绕点C 旋转后得到DCM △，此时BC 与DC 重合， ∴△BCP ≌△DCM ，
∴∠DCM =∠PCB ，BP =DM ，PC =CM ， ∵PCB QCD PCQ ∠+∠=∠， ∴DCM QCD PCQ ∠+∠=∠， ∴QCM PCQ ∠=∠， ∵PC =CM ，QC =QC , ∴△QCP ≌△QCM ， ∴PQ =QM ， ∴APQ 的周长=AQ +AP +PQ = AQ +AP +QM = AQ +AP +DQ +DM = AQ +AP +DQ +BP =AD +AB ， ∵==AB AD a ，
∴
APQ 的周长=2a ；
（3）如图3，连接 BD ，由于AD =CD ，所以可将△BCD 绕点D 顺时针方向旋转60°，得到△DAB ′，
连接BB ′，延长BA ，作B ′E ⊥BE ；
AD CD CDB ADB BD B D '=⎧⎪
∠=∠⎨='⎪⎩
∴△BCD ≌△B ′AD ∴S 四边形ABCD =S 四边形BDB ′A ， ∵∠ABC =75°，∠ADC =60°， ∴∠BAB ′=135° ∴∠B ′AE =45°， ∵2B A BC '== ∴B ′E =AE 2
∴BE =AB +AE 2232 ∴()(
)
2
2
352
2
2BB '=
+=∵等边△DBB ′，∴BB ′上的高=3
2515== ∴11.222222ABB S AB B E ''
∆=⋅⋅=⨯=
∴ 1
215532
5S BDB '∆=⨯=
∴S 四边形ABCD =S 四边形BDB ′A =S △BDB ′-S △ABB ′=532=；
【点睛】
本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．
12．在Rt ABC 中，9072ACB AB AC ∠=︒==，，，过点B 作直线m AC ∥，将ABC 绕点
C 顺时针旋转得到A B C '''（点A B ，的对应点分别为A B ''，）．
（1）问题发现如图1，若P 与A 重合时，则ACA '∠的度数为____________；
（2）类比探究：如图2，设AB 与BC 的交点为M ，当M 为A B ''的中点时，求线段PQ 的长；
（3）拓展延伸在旋转过程中，当点P Q ，分别在CA CB ''，的延长线上时，试探究四边形
PA B O ''的面积是否存在最小值．若存在，直接写出四边形PA B O ''的最小面积；若不存
在，请说明理由．
解析：（1）60︒；（2）7
2
；（3）33
【分析】
（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到3∠A'BC=90°，可得3
cos BC A CB A C ''∠=
=
，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°； （2）根据M 为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM ，进而得到33
2
PB ==，依据tan ∠Q=tan ∠3
3，进而得出PQ=PB+BQ=72； （3）依据S 四边形PA'B′Q =S △PCQ -S △A'CB '=S △PCQ 3S 四边形PA'B′Q 最小，即S △PCQ 最小，而S △PCQ =123
，利用几何法或代数法即可得到S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA'B′Q =3-3
解：（1）由旋转可得：2AC A C ''==，
90,2ACB AB AC ∠=︒==，
BC ∴
90ACB ∠=︒，m AC ∥， 90A BC '∴∠=︒，
cos BC A CB A C '∴∠=
=
' 30A CB '∴∠=︒，
60ACA ∴'∠=︒．
（2）M 为A B ''的中点，
A CM MA C ''∴∠=∠,
山旋转可得，MA C A '∠=∠，
A A CM '∴∠=∠，
tan tan PCB A ∴∠-∠
3
2
PB ∴=
=，
tan tan BQC PCB ∠=∠=
2
BQ BC ∴===， 7
2
PQ PB BQ ∴=+=
；
（3）S 四边形PA B Q PCQ A CB PCQ S S S ''''==-△△△
S ∴四边形PA B Q ''最小即PCQ
S
最小，
12PCQ S PQ BC ∴=⨯⨯=△，
取PQ 的中点C ，90PQC ∠=︒，1
2
CC PQ '∴=
，即2PQ CC '=， 当CG 最小时，PQ 最小，CG PQ ∴⊥，即CG 与CB 正合时,CG 最小，
min CG ∴=min PQ =，
PCQ S ∴△的最小值3=， S 四边形PA B Q ''=3
【点睛】
此题考查四边形综合题，旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题关键在于掌握旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
13．如图1，边长为4的正方形与边长为()14a a <<的正方形CFEG 的顶点C 重合，点E 在对角线AC 上．
（1）如图1，AE 与BF 的数量关系为______． 类比探究
（2）如图2，将正方形CFEG 绕点C 旋转m 度（030m ︒<<︒）．请问（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由． 拓展延伸
（3）若F 为BC 的中点，在正方形CFEG 的旋转过程中，当点A ，F ，G 在一条直线上时，线段AG 的长度为______．
解析：（1）2AE BF ；（2）成立，见解析；（3302302【分析】
问题发现：证出AB ∥EF ，由平行线分线段成比例定理得出2AE CE
BF CF
=论；
类比探究：证明△ACE ∽△BCF ，得出
2AE AC
BF CB
== 拓展延伸：分两种情况，连接CE 交GF 于H ，由正方形的性质得出AB=BC=4，242AC ==2GF CE CF =，GH=HF=HE=HC ，得出1
22
CF BC =
=，22GF CE ==2HF HE HC ===2230AH AC HC -得出答案． 【详解】 [问题发现]
解：2AE BF =，理由如下：
∵四边形ABCD 和四边形CFEG 是正方形，
∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，2CF ，CE ⊥GF ， ∴AB ∥EF ， ∴2AE CE
BF CF
∴
== 2AE BF ∴=；
故答案为：2AE BF ∴=； [类比探究]
解：上述结论还成立，理由如下： 连接CE ，如图2所示：
∵∠FCE=∠BCA=45°， ∴∠BCF=∠ACE=45°-∠ACF ， 在Rt △CEG 和Rt △CBA 中， 2,2CE CF CA CB ==，
2CE CA
CF CB
∴
==， ∴△ACE ∽△BCF ， 2AE AC
BF CB
∴
==， 2AE BF ∴=；
[拓展延伸] 解：分两种情况： ①如图3所示：
连接CE 交GF 于H ，
∵四边形ABCD 和四边形CFEG 是正方形，
∴AB=BC=4，AC=2AB=42，GF=CE=2CF ，HF=HE=HC ， ∵点F 为BC 的中点，
∴CF=1
2BC=2，GF=CE=22，GH=HF=HE=HC=2， ∴2222(42)(2)30AH AC HC =-=-=， ∴302AG AH HG =+=+； ②如图4所示：连接CE 交GF 于H ，
同①得：GH=HF=HE=HC=2，
∴2222
=-=-=，
(42)(2)30
AH AC HC
∴302
=-=-；
AG AH HG
故答案为：302
-．
+或302
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
14．
问题背景：已知的顶点在的边所在直线上（不与，重合）．交所在直线于点，交所在直线于点．记的面积为，的面积为．
（1）初步尝试：如图①，当是等边三角形，，，且，时，则；
（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点沿平移，使，再将绕点旋转至如图②所示位置，求的值；
（3）延伸拓展：当是等腰三角形时，设．
（I）如图③，当点在线段上运动时，设，，求的表达式（结果用，和的三角函数表示）．
（II）如图④，当点在的延长线上运动时，设，，直接写出
的表达式，不必写出解答过
程．
解析：(1)12;(2)12；（3）（ab）2sin2α．（ab）2sin2α．
【解析】
试题分析：（1）首先证明△ADM，△BDN都是等边三角形，可得S1=•22=，
S2=•（4）2=4，由此即可解决问题；
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．首先证明△AMD∽△BDN，可得，推出
，推出xy=8，由S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，可得
S1•S2=x•y=xy=12；
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由
S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，可得S1•S2=（ab）2sin2α．
（Ⅱ）结论不变，证明方法类似；
试题解析：（1）如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°，
∵DE∥BC，∠EDF=60°，
∴∠BND=∠EDF=60°，
∴∠BDN=∠ADM=60°，
∴△ADM，△BDN都是等边三角形，
∴S1=•22=，S2=•（4）2=4，
∴S1•S2=12，
（2）如图2中，设AM=x，BN=y．
∵∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，
∴∠AMD=∠NDB，∵∠A=∠B，
∴△AMD∽△BDN，
∴，
∴，
∴xy=8，
∵S1=•AD•AM•sin60°=x，S2=DB•sin60°=y，
∴S1•S2=x•y=xy=12．
（3）Ⅰ如图3中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，
∴S1•S2=（ab）2sin2α．
Ⅱ如图4中，设AM=x，BN=y，
同法可证△AMD∽△BDN，可得xy=ab，
∵S1=•AD•AM•sinα=axsinα，S2=DB•BN•sinα=bysinα，
∴S1•S2=（ab）2sin2α．
考点：几何变换综合题．
15．(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=90°,B,C,D在一条直线上.
填空:线段AD,BE之间的关系为 .
(2)拓展探究
如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,请判断AD,BE的关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5,连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化,直接写出PC的范围.
解析：(1) AD=BE ，AD ⊥BE ．(2) AD=BE ，AD ⊥BE ．(3) 5-32≤PC≤5+32． 【分析】
（1）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），得AD=BE ，∠EBC=∠CAD ，延长BE 交AD 于点F ，由垂直定义得AD ⊥BE ．
（2）根据等腰三角形性质证△ACD ≌△BCE （SAS ），AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，由垂直定义得∠OHB=90°，AD ⊥BE ；
（3）作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ，PC=BE ，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值=PB-PE ；当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值=PB+PE ，故5-32≤BE≤5+32. 【详解】
（1）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ． 理由：如图1中，
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ， ∠ACB=∠ACD=90°， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD=BE ，∠EBC=∠CAD 延长BE 交AD 于点F ， ∵BC ⊥AD ， ∴∠EBC+∠CEB=90°， ∵∠CEB=AEF ， ∴∠EAD+∠AEF=90°， ∴∠AFE=90°，即AD ⊥BE ．
∴AD=BE ，AD ⊥BE ． 故答案为AD=BE ，AD ⊥BE ． （2）结论：AD=BE ，AD ⊥BE ．
理由：如图2中，设AD 交BE 于H ，AD 交BC 于O ．
∵△ACB 与△DCE 均为等腰直角三角形， ∴AC=BC ，CE=CD ，∠ACB=∠ECD=90°， ∴ACD=∠BCE ， 在Rt △ACD 和Rt △BCE 中
AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD=BE ，∠CAD=∠CBE ，
∵∠CAO+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH ， ∴∠BOH+∠OBH=90°， ∴∠OHB=90°， ∴AD ⊥BE ， ∴AD=BE ，AD ⊥BE ．
（3）如图3中，作AE ⊥AP ，使得AE=PA ，则易证△APE ≌△ACP ， ∴PC=BE ，
图3-1中，当P 、E 、B 共线时，BE 最小，最小值2， 图3-2中，当P 、E 、B 共线时，BE 最大，最大值2
∴5-32≤BE≤5+32，
即5-32≤PC≤5+32．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
16．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，。