2020-2021学年高二数学新教材苏教版选修2-1课时分层练习：2.5 圆锥曲线的统一定义 (含解析)

课时分层作业(二十三)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．直线y ＝x －3与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，过A ，B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P ，Q ，则梯形APQB 的面积为( )
A ．48
B ．56
C ．64
D ．72
A [由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －3，
y 2＝4x
得x 2－10x ＋9＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9，y ＝6.
∴|AP |＝10，|BQ |＝2，|PQ |＝8，
∴梯形APQB 的面积为S ＝12(|AP |＋|BQ |)×|PQ |＝12
(10＋2)×8＝48.] 2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.3＋12
D.5＋12
D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c .
∴b a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0.两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，
解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]
3．已知双曲线x2
4－
y2
b2＝1的右焦点与抛物线y
2＝12x的焦点重合，则该双曲线
的焦点到其渐近线的距离等于()
A. 5 B．4 2 C．3 D．5
A[∵抛物线y2＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线x2
4
－y2
b2
＝1的右焦点为(3,0)，
即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±
5
2x，
∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
5
2×3
1＋
5
4
＝ 5.]
二、填空题
4．已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为1
2，E的右焦点与抛物线C：y
2
＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝________.
[解析]抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，
又c a ＝1
2，∴a＝4，b
2＝a2－c2＝12，
从而椭圆方程为x2
16＋y2
12
＝1.
∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴x A＝x B＝－2，
将x A＝－2代入椭圆方程可得|y A|＝3，由图象可知|AB|＝2|y A|＝6.
[答案] 6
5．若椭圆x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点到右准线的距离等于3a，则椭圆的离
心率为________．
[解析]由题意知，a2
c
＋c＝3a，即a2＋c2＝3ac，
∴e 2－3e ＋1＝0，解得
e ＝3－52⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝3＋52＞1舍去. [答案]
3－52 6．已知抛物线y 2＝16x 的焦点恰好是双曲线x 212－y 2
b
2＝1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________．
[解析] 由抛物线方程y 2＝16x 得焦点坐标为(4,0)，从而知双曲线x 212－y 2b 2＝1的右焦点为(4,0)，∴c ＝4，∴12＋b 2＝16，∴b ＝2.又a ＝23，∴双曲线渐近线方
程为y ＝±b a x ，即y ＝±33
x . [答案] y ＝±33x 7．已知椭圆x 2100＋y 2
36
＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P 到两准线的距离之和为________．
[解析] 设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1，F 2，由椭圆方程，可得a ＝10，b
＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45
，则PF 1＋PF 2＝2a ＝20. 又3PF 1＝PF 2，∴PF 1＝5，PF 2＝15.
设点P 到两准线的距离分别为d 1，d 2，可得d 1＝PF 1e ＝254，d 2＝PF 2e ＝754
.故点P 到两准线的距离分别为
254，754，254＋754
＝25. [答案] 25 8．已知点P 在双曲线x 216－y 2
9
＝1上，并且P 到双曲线的右准线的距离恰是P 到双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P 的横坐标是________．
[解析] 记实半轴、虚半轴、半焦距的长分别为a ，b ，c ，离心率为e ，点P
到右准线l 的距离为d ，则a ＝4，b ＝3，c ＝5，e ＝c a ＝54，右准线l 的方程为x ＝a 2c
＝165
.如果P 在双曲线右支上，则PF 1＝PF 2＋2a ＝ed ＋2a .从而，PF 1＋PF 2＝(ed ＋2a )＋ed ＝2ed ＋2a >2d ，这不可能；故P 在双曲线的左支上，则PF 2－PF 1＝2a ，PF 1＋PF 2＝2d .两式相加得2PF 2＝2a ＋2d .
又PF 2＝ed ，从而ed ＝a ＋d .故d ＝a e －1＝454
－1＝16.因此，P 的横坐标为165－16＝－645
. [答案] －645
三、解答题
9．已知椭圆的一个焦点是F (3,1)，相应于F 的准线为y 轴，l 是过F 且倾斜角为60°的直线，l 被椭圆截得的弦AB 的长是165
，求椭圆的方程． [解] 设椭圆离心率为e ，M (x ，y )为椭圆上任一点，
由统一定义MF d ＝e ，得(x －3)2＋(y －1)2
|x |
＝e ， 整理得(x －3)2＋(y －1)2＝e 2x 2.①
∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，②
①②联立得(4－e 2)x 2－24x ＋36＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得x 1＋x 2＝
244－e
2， ∴AB ＝e (x 1＋x 2)＝e ·244－e
2＝165，∴e ＝12， ∴椭圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝14
x 2， 即(x －4)24＋(y －1)2
3
＝1. 10．已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 2
12＝1的右焦点，点M 在椭圆上
运动，求AM＋2MF的最小值，并求此时点M的坐标．[解]∵a＝4，b＝23，∴c＝a2－b2＝2，
∴离心率e＝1 2.
A点在椭圆内，设M到右准线的距离为d，
则MF
d ＝e，即MF＝ed＝1
2d，右准线l：x＝8，
∴AM＋2MF＝AM＋d.
∵A点在椭圆内，
∴过A作AK⊥l(l为右准线)于K，交椭圆于点M0.
则A，M，K三点共线，即M与M0重合时，AM＋d最小为AK，其值为8－(－2)＝10.
故AM＋2MF的最小值为10，此时M点坐标为(23，3)．
[能力提升练]
1．已知双曲线y2－x2
2＝1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，
N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2＝()
A.1
2B．－
1
2C．2D．－2
A[设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x0，y0)，则y21－x21
2
＝1，y22－x22
2
＝1，根据点差
法可得(y1－y2)(y1＋y2)＝(x1－x2)(x1＋x2)
2，所以直线l的斜率k1＝
y1－y2
x1－x2
＝
x1＋x2
2(y1＋y2)
＝x0
2y0，直线OP的斜率k2＝y0
x0，所以k1k2＝
x0
2y0·
y0
x0
＝1
2，故选A.]
2．过圆锥曲线C的一个焦点F的直线l交曲线C于A，B两点，且以AB为直径的圆与F相应的准线相交，则曲线C为________．
[解析]设圆锥曲线的离心率为e，M为AB的中点，A，B和M到准线的距
离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝FA ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2
.由题意知R >d ，则e >1，圆锥曲线为双曲线．
[答案] 双曲线
3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)恒过定点A (1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值为________．
[解析] ∵A (1,2)在椭圆上，∴1a 2＋4b 2＝1， ∴b 2＝4a 2a 2－1，则椭圆中心到准线距离的平方为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＝a 4
c 2＝a 4a 2－b 2＝a 4
a 2－4a 2a 2－1
＝a 4－a 2
a 2－5
. 令a 2－5＝t >0，
f (t )＝(t ＋5)2－(t ＋5)t ＝t ＋20t ＋9≥9＋4 5.
当且仅当t ＝20t 时取“＝”，
∴a 2c ≥ 9＋45＝5＋2，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2c min ＝5＋2. [答案] 5＋2
4．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．
(1)求证：PF ⊥l ；
(2)若|PF |＝3，且双曲线的离心率e ＝54
，求该双曲线的方程． [解] (1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则
P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2c ，ab c ，又F (c,0)， ∴k PF ＝ab c －0a
2c －c
＝－a b . 又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·b a ＝－1.∴PF ⊥l .
(2)∵|PF |的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离， ∴|bc |
a 2＋
b 2＝3，即b ＝3，又e ＝
c a ＝54， ∴a 2＋b 2a 2＝2516，∴a ＝4.故双曲线方程为x 216－y 29＝1.。