中考数学一轮复习考点27 圆的有关概念及性质(解析版)

考点27〖圆的有关概念及性质〗
【命题趋势】近三年来圆的有关概念及性质中考主要考查：垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论，主要以选择题或填空题的形式呈现。

设问角度有：求半径，弦长，弓形的高，角度等。

常命基础题。

【考查题型】选择题、填空题
【常考知识】垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论；设问角度有：求半径，弦长，弓形的高，角度等.
【夺分技巧】1.在解决有关弧或弦的问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：①利用同弧所对的圆周角相等进行角与角之间的转化；②根据同圆或等圆的圆周角所对的弧相等转化为弦相等或线段相等。

2.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件。

【易错点】①忽略圆的对称性而漏解。

②圆中一条弦对应两条弧不分情况进行讨论漏解。

一、选择题
1.（2020·甘肃·中考真卷）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC=2，AB=4，点D在⊙O上且平分BĈ，则DC的长为()
A.2√2
B.√5
C.2√5
D.√10
【答案】D
【考点】圆周角定理，勾股定理
【解析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90∘，根据勾股定理即可得结论．
【解答】解：∵ BC是⊙O的直径，
∵ ∠BAC=∠D=90∘．
又∵AC=2，AB=4，
∵ BC=√22+42=2√5．
̂，
又∵ 点D在⊙O上且平分BC
̂=CD̂，
∵ BD
∵ BD=CD.
在Rt△BDC中，DC2+BD2=BC2，
∵ 2DC2=20，
∵ DC=√10.
2.（2020·浙江·中考真卷）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70∘，则∠ADC的度数是()
A.70∘
B.110∘
C.130∘
D.140∘
【答案】B
【考点】圆内接四边形的性质
【解析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
且∠ABC=70∘，
∵ ∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−70∘=110∘.
3.（2020·陕西·中考真卷）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50∘．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O 于点D，连接BD，则∠D的大小为()
A.55∘
B.65∘
C.60∘
D.75∘
【答案】B
【考点】垂径定理，圆内接四边形的性质
【解析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180∘−∠A=130∘，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD，如图，
∵ ∠A=50∘，
∵ ∠CDB=180∘−∠A=130∘，
∵ E是边BC的中点，
∵ OD⊥BC，
∵ BD=CD，
∵ ∠ODB=∠ODC=1
2
∠BDC=65∘.
4.（2020·江苏·中考真卷）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为()
A.2√13
13B.3√13
13
C.2
3
D.3
2
【答案】A
【考点】圆心角、弧、弦的关系，锐角三角函数的定义--利用网格
【解析】首先根据圆周角定理可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：如图，连接AC，BC．
由图知，∠ADC=∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC=AC
AB
.
∵ AC=2，BC=3，
∵ AB=√AC2+BC2=√13，
∵ sin∠ABC=2
√13=2√13
13
，
∵ sin∠ADC=2√13
13
．
5.（2020·浙江·中考真卷）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC=15∘，∠CED=30∘，则∠BOD的度数为()
A.45∘
B.60∘
C.75∘
D.90∘
【答案】D
【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．
【解答】解：连接BE，
∵ ∠BEC =∠BAC =15∘，∠CED =30∘，
∵ ∠BED =∠BEC +∠CED =45∘，
∵ ∠BOD =2∠BED =90∘．
6.（2020·山东·中考真卷）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB =BC ，∠BAC =30∘，AD 是直径，AD =8，则AC 的长为( )
A.4
B.4√3
C.83√3
D.2√3
【答案】B
【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，勾股定理
【解析】连接CD ，根据等腰三角形的性质得到∠ACB ＝∠BAC ＝30∘，根据圆内接四边形的性质得到∠D ＝180∘−∠B ＝60∘，求得∠CAD ＝30∘，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接CD .
∵ AB =BC ，∠BAC =30∘，
∵ ∠ACB =∠BAC =30∘，
∵ ∠B =180∘−30∘−30∘=120∘，
∵ ∠ADC =180∘−∠B =60∘.
∵ AD 是直径，
∵ ∠ACD =90∘，
∵ ∠CAD =30∘.
∵ AD =8，
∵ CD =12AD =4，
∵ AC =√AD 2−CD 2=√82−42=4√3.
7.（2020·湖北·中考真卷）如图，半径为3的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，点D 为AC ⌢的中点，AC 与BD 交于点E ．若点E 是BD 的中点，则AC 的长为（ ）
A.3√3
B.4√2
C.3√2
D.2√6
【答案】B
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定
【解析】连接OD ，交AC 于F ，根据垂径定理得出OD ⊥AC ，AF ＝CF ，进而证得DF ＝BC ，根据三角形中位线定理求得OF =12BC =12DF ，从而求得BC ＝DF ＝2，利用勾股定理即可求得AC ．
【解答】解：连结OD ，交AC 于F ，如图，
∵ 点D 为AC ⌢
的中点，
∵ OD ⊥AC ，AF =CF ，
∵ ∠DFE =90∘.
∵ OA =OB ，AF =CF ，
∵ OF =12BC . ∵ AB 是直径，
∵ ∠ACB =90∘，
在△EFD 和△ECB 中
.{∠DFE =∠BCE =90∘,
∠DEF =∠BEC,DE =BE,
∵ △EFD ≅△ECB(AAS)，
∵ DF =BC ，
∵ OF =1
2DF ，
∵ OD=3，
∵ OF=1，
∵ BC=2.
在Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∵ AC=√AB2−BC2=√62−22=4√2.
8.（2020·广西·中考真卷）如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，连接CF，∠C＝30∘，CF＝2，则OG 的长是（）
A.1
B.
C.2
D.2
【答案】A
【考点】勾股定理，垂径定理，圆周角定理
二、填空题
9.（2020·贵州·中考真卷）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DA=EB，则∠DOE的度数是________度．
【答案】120
【考点】全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等边三角形的性质与判定
【解析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明AH=AM，继而利用
SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角
等于圆心角的一半求解本题．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵ ∠AOB=2∠C=120∘，OA=OB，
×(180∘−120∘)=30∘，
∵ ∠OAB=∠OBA=1
2
∵ ∠DAO=∠EBO=60∘−30∘=30∘．
又AD=BE，
∵ △ADO≅△BEO(SAS)，
∵ ∠AOD=∠BOE，
∵ ∠DOE=∠AOB=120∘.
̂上，则∠ADC的度数是10.（2020·山东·中考真卷）如图，在⊙O中，四边形OABC为菱形，点D在AmC
________．
【答案】60∘
【考点】圆周角定理，菱形的性质
【解析】根据菱形的性质得出∠B＝∠AOC，根据圆内接四边形的性质得出∠B+∠D＝180∘，即可得出∠D+∠AOC＝180∘，根据圆周角定理得出3∠D＝180∘，即可求得∠ADC＝60∘．
【解答】解：∵ 四边形ABCD内接于⊙O，
∵ ∠B+∠D=180∘.
∵ 四边形OABC为菱形，
∵ ∠B=∠AOC，
∵ ∠D+∠AOC=180∘.
∵ ∠AOC=2∠D，
∵ 3∠D=180∘，
∵ ∠ADC=60∘.
11.（2020·浙江·中考真卷）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD // AB，CD=8，AB=10，则CD与AB之
间的距离是________．
【答案】3
【考点】垂径定理，勾股定理
【解析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理得到CH＝DH＝4，再利用勾股定理计算出OH＝3，从而得到CD与AB之间的距离．
【解答】解：过点O作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
CD=4，
则CH=DH=1
2
在Rt△OCH中，OH=√52−42=3，
所以CD与AB之间的距离是3．
12.（2020·江苏·中考真卷）在△ABC中，若AB＝6，∠ACB＝45∘．则△ABC的面积的最大值为________．【答案】9+9
【考点】垂径定理，勾股定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【解析】首先过C作CM⊥AB于M，由弦AB已确定，可得要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，即可得当CM过圆心O时，CM最大，然后由圆周角定理，证得△AOB是等腰直角三角形，则可求得CM的长，继而求得答案．
【解答】作△ABC的外接圆⊙O，过C作CM⊥AB于M，
∵ 弦AB已确定，
∵ 要使△ABC的面积最大，只要CM取最大值即可，
如图所示，当CM过圆心O时，CM最大，
∵ CM⊥AB，CM过O，
∵ AM＝BM（垂径定理），
∵ AC＝BC，
∵ ∠AOB＝2∠ACB＝2×45∘＝90∘，
∵ OM＝AM＝AB＝＝3，
∵ OA＝＝3，
∵ CM＝OC+OM＝3+3，
∵ S△ABC＝AB⋅CM＝×6×(3+3)＝9+9．
13.（2020·四川·中考真卷）如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC＝60∘，则OD＝________．
【答案】1
【考点】勾股定理，圆周角定理，垂径定理，三角形的外接圆与外心
【解析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD．
【解答】连接OB和OC，
∵ △ABC内接于半径为2的⊙O，∠BAC＝60∘，
∵ ∠BOC＝120∘，OB＝OC＝2，
∵ OD⊥BC，OB＝OC，
∵ ∠BOD＝∠COD＝60∘，
∵ ∠OBD＝30∘，
∵ OD=1
2
OB＝1，
14.（2020·黑龙江·中考真卷）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为DE
̂上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于________度．
【答案】54
【考点】正多边形和圆，圆周角定理，垂径定理
【解析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理得出∠CPD的度数，由三角形内角和定理即可得出结果．
【解答】连接OC、OD，如图所示：
∵ ABCDE是正五边形，∵ ∠COD=360
5=72∘，∵ ∠CPD=1
2
∠COD＝36∘，
∵ DG⊥PC，∵ ∠PGD＝90∘，∵ ∠PDG＝90∘−∠CPD＝90∘−36∘＝54∘，
15.（2020·贵州·中考真卷）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB 上，若DA＝EB，则∠DOE的度数是________度．
【答案】120
【考点】圆心角、弧、弦的关系，三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质
【解析】连接OA，OB，根据已知条件得到∠AOB＝120∘，根据等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA＝30∘，根据全等三角形的性质得到∠DOA＝∠BOE，于是得到结论．
【解答】连接OA，OB，
∵ △ABC是⊙O的内接正三角形，
∵ ∠AOB＝120∘，
∵ OA＝OB，
∵ ∠OAB＝∠OBA＝30∘，
∵ ∠CAB＝60∘，
∵ ∠OAD＝30∘，
∵ ∠OAD＝∠OBE，
∵ AD＝BE，
∵ △OAD≅△OBE(SAS)，
∵ ∠DOA＝∠BOE，
∵ ∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOB＝∠AOE+∠BOE＝120∘。