高三数学11月月考试题 理含解析 试题 2

一中2021届高三数学11月月考试题 理〔含解析〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
一、选择题〔本大题一一共12个小题，每个小题5分，一共60分，每个小题只有一个正确答案〕
1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第〔 〕象限.
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四 【答案】D
【解析】
【分析】
由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案.
【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，
∴点()sin100,cos 200
P ︒︒位于第四象限．
应选：D ． 【点睛】此题考察三角函数值的符号、诱导公式的应用，考察转化与化归思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能，属于根底题．
,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，那么p 是q 的〔 〕条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充
分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】
条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，那么22xz yz =即可
判断出．
【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；
反之，那么不成立；例如取0z =，那么22
xz yz =．
那么p 是q 的充分不必要条件．
应选：A ．
【点睛】此题考察充分条件与必要条件的断定、不等式的性质，考察逻辑推理才能和运算求解才能. m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A. 假设m α⊆，n β⊆，那么m ，n 为异面直线
B. 假设m α⊥，//n α，那么m n ⊥
C. 假设//m α，//m β，那么//αβ
D. 假设αβ⊥，m α⊆，n β⊆，那么m n ⊥
【答案】B
【解析】
【分析】
利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一断定，即可得到答案.
【详解】对A ，假设m ⊆α，n ⊆β，那么m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误； 对B ，假设m ⊥α，那么m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，假设m ∥α，m ∥β，那么α，β可能相交，平行．故C 错误；
对D ，假设α⊥β，m ⊆α，n ⊆
β，那么m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．
应选：B ．
【点睛】此题考察直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考察学生的空间想象才能.
a ，
b 满足1a b +=，那么
9a b ab +的最小值为〔 〕 A. 4
B. 6
C. 16
D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】 由可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭
，展开后利用根本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，
那么991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当
9b a a b =且1a b +=即13,44a b ==时获得最小值16． 应选：C ．
【点睛】此题主要考察利用根本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． ()1sin cos f x x x =+，那么以下说法中正确的选项是〔 〕
A. ()f x 为奇函数
B. ()f x 为增函数
C. ()f x 的最小正周期为2π
D. ()f x 图象的一条对称轴为4
πx =- 【答案】D
【解析】
【分析】
利用三角函数的倍角公式进展化简，结合三角函数的性质分别进展判断即可．
【详解】因为1()1sin cos 1sin 22
f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误；
对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误；
对C ，函数()f x 的周期22T ππ=
=，故C 错误； 利用排除法可得D 正确.
应选：D ．
【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质，利用倍角公式进展化简是解决此题的关键． {}n a 的前n 项之和为n S ，假设563S a S =+，那么{}n a 的公比q =〔 〕
A. 12
B. 1
C. 12
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式即可算出结果．
【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，
∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，
∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得12q =或者12
，
又∵0q >，∴q =应选：C ．
【点睛】此题主要考察等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考察运算求解才能．
M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，那么M N ⋃=〔 〕 A. (0,1] B. 1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (0,)+∞
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃． 【详解】∵12
210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭， ∵323x +>,∴22||0323x N y y y y ⎧
⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭
， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ．
应选：A ．
【点睛】此题考察并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考察运算求解才能． a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，那么||a b -=〔 〕
B.
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值．
【详解】∵||2a =，||3b =，180，
∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=，
∴23a b ⋅=，
∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=，
应选：C ．
【点睛】此题主要考察平面向量数量积的性质及其运算，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能．
9.某几何体的三视图如下图，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，那么该几何体的体积为〔 〕
A. 8π
B.
28π3 C. π
D. 7π6 【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可得几何体为34
个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去
14个球后所剩余局部，
如下图
∴该几何体的体积为3432834
V ππ=⨯⨯= 应选：A
【点睛】此题考察球的体积的求解，关键是可以利用三视图准确复原几何体，属于根底题.
10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的催促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师一共同组成.该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于老师人数，老师人数的两倍多于男学生人数.那么该QQ 群人数的最小值为〔 〕
A. 20
B. 22
C. 26
D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】
设老师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案．
【详解】设老师人数为x ，
∵家长人数多于老师人数，
∴家长人数≥1x +，
∵女学生人数多于家长人数，
∴女学生人数≥2x +，
∵男学生人数多于女学生人数，
∴男学生人数≥3x +，
∴总人数≥46x +，
∵老师人数的两倍多于男学生人数，
∴23x x >+，
∴3x >，
当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 应选：B ．
【点睛】此题考察集合的应用问题，考察逻辑推理才能和运算求解才能.
11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出以下判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角〔锐角〕的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有〔 〕
A. ①②
B. ③④
C. ①③
D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】 运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的断定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．
【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，那么1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，那么1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误；
对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，那么在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；
对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，那么平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角〔锐角〕的大小与点F 的位置有关，故③错误；
对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上挪动时，F 到平面11ABB A 的间隔 不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确．
应选：D ．
【点睛】此题考察线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考察空间想象才能和运算才能，属于中档题．
()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，那么189a a a ++=〔 〕
A. 6
B. 3
C. 34
D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】
对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得
1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =
．再利用等差数列的性质即可得出．
【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，
∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． ∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，
∴391a a +=，∴612
a =， ∵1891633(5)32
a a a a d a ++=+==
. 应选：D ． 【点睛】此题考察函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考察推理才能与计算才能，属于中档题．
二、填空题〔本大题一一共4个小题，每个小题5分，一共20分〕
x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，那么32x y +的最大值为________.
【答案】12
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目的函数得答案．
【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，作出可行域如图，
可得(4,0)A ，化目的函数32z x y =+为322
z y x =-+， 由图可知，当直线322
z
y x =-
+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．
故答案为：12．
【点睛】此题考察简单的线性规划，考察数形结合的解题思想方法，是中档题． 14.大衍数列，来源于我国的?乾坤谱?，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，那么大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】
分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151
,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．
【详解】奇数项为 222113151
,,,222---⋯,
根据此规律有：第41项为2411
8402
-=，
故答案为：840．
【点睛】此题考察观察分析猜测归纳求数列的通项公式的方法，考察推理才能与计算才能，属于中档题.
43，体积为323，那么其外接球的外表积为________.
【答案】100π 【解析】 【分析】
先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．
【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，
∵13V sh =
，∴113
3234343322
PD =⨯⨯⨯⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有
2sin AB
R C
=， 所以4AD R ==，
在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2
2
2
4(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球外表积24100S r ππ==， 故答案为：100π．
【点睛】此题考察正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考察空间想象才能和
运算求解才能．
2
(0)()(0)
x
e x
f x x
x ⎧≥=⎨<⎩，假设方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，那么12
x x +的最大值为________. 【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】
由题意，令2,0
(),0
x
e x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，那么函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，
显然()()2
2
112x x e g x e g x e λ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．
【详解】当0x ≥时，()1x
f x e
=，那么(())x
e f f x e =；
当0x <时，2
()0f x x =>，那么2
(())x f f x e =，
令2,0
(),0
x
e x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，那么函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，
即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如下图，
由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()2
2
112x x
e g x e g x e λ====， ∴22
1x
x e =，那么()212ln x x =-，
∴()12112ln x x x x +=+-，
令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，那么2
()1h x x
'
=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数， ∴max ()(2)2ln 22h x h =-=-． 故答案为：2ln 22-．
【点睛】此题考察函数零点与方程根的关系，考察转化思想及数形结合思想，运算求解才能及逻辑推理才能，属于中档题．
三、解答题〔本大题一一共6个小题，一共70分，将解答过程填写上在答题卡上的相应位置〕
17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，假设其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，那么称P 为ABC 的费马点.如下图，在ABC 中，45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足45PBA ∠=︒，
2PA =.
〔1〕求PAC 的面积； 〔2〕求PB 的长度.
【答案】〔13〔231. 【解析】 【分析】
〔1〕由利用三角形的内角和定理可得15PAB ︒∠=，30PAC ︒∠=，可得在PAC ∆中，
30PCA ︒∠=，可得2PA PC ==，利用三角形的面积公式即可求解PAC ∆的面积．
〔2〕利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin 45︒，sin15︒的值，在PAC ∆中，由正弦定理可得PB 的值．
【详解】〔1〕由1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒. 在PAC ∆中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.
所以PAC ∆的面积113
sin 223222
S PA PC PAC =
⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. 〔2〕在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒
=⇒=︒︒︒
〔*〕
而()232162
sin15sin 453022224
-︒=-=
⨯-⨯=
︒︒， 2
sin 452
=
°代入〔*〕式得31PB =-.
【点睛】此题考察三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考察转化与化归思想、函数与方程思想．
{}n a 满足1323n n n a a +=+⨯，13a =.
〔1〕证明：3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，并求{}n a 的通项公式；
〔2〕求数列{}n a 的前n 项之和为n S .
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3n
n S n =⋅.
【解析】 【分析】
〔1〕将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； 〔2〕运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．
【详解】〔1〕由11111
32322
3333333
n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等差数列，且公差为23，首项为11
13a =， 故
1
2211(1)(21)3333
n n n n a n n a n -+=+-=⇒=+. 〔2〕由0121335373(21)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+++，
故123
3335373(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯+
++，
相减得：(
)0
1
2
12332333(21)3n n n S n --=⨯++++-+，
即()103132332(21)32313
n n n n
S n n ---=⨯+⨯-+=-⋅-，
所以3n n S n =⋅.
【点睛】此题考察等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考察数列的错位相减法求和，化简运算才能，属于中档题．
P ABCD -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC ，CD 的中点分别为E ，
F ，点
G 在线段PA 上，如图.
〔1〕证明：EF GC ⊥；
〔2〕当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3
5
. 【解析】 【分析】 〔1〕设AC
BD O =，由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥EF ，再由ABCD 是
正方形结合EF 为△BCD 的中位线，可得EF ⊥AC ，得到EF ⊥平面PAC ，进一步得到EF ⊥GC ； 〔2〕分别以PB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出A ，P ，E ，F 的坐标，设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)G λλ--，设平面PEF 的一个法向量为
(,,)m a b c =，求得(0,2,1)m =，结合BG ∥平面PEF ，利用数量积为0求得λ，进一步得
到120,,33G ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．
【详解】〔1〕证明：由P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，
由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. 〔2〕分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，
此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭.
设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫
=-
- ⎪⎝⎭
，(1,0,0)EF =-， 由00
m EP m EF ⎧⋅=⎨
⋅=⎩解得(0,2,1)m =，
由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，
解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.
所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 那么003
sin |cos ,|5
||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>=
==⋅+.
【点睛】此题考察空间中直线与直线、直线与平面位置关系的断定及应用，考察空间想象才能与思维才能，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
()2ln f x x x =+.
〔1〕经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； 〔2〕设函数()()
()1x
g x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.
【答案】〔1〕32y x =-；〔2〕22ln 2-. 【解析】 【分析】
〔1〕设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；
〔2〕对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】〔1〕由于2
()1f x x
'=+
，设切点坐标为()00,x y ， 那么0002ln y x x =+，切线斜率()00
21k f x x '==+
； 另一方面00000
22ln 2
y x x k x x +++=
=， 故000000
2ln 221ln 013x x x x k x x +++
=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，
所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.
〔2〕由()22ln x
g x xe x x =--，故12()(1)21(1)x
x g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+
=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2
()x
h x e x
=-
在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞
=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，
当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln x
g x g x x e x x ==-+.
由于()0
000000
2
02ln ln 2x x h x e x e x x x =-
=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.
【点睛】此题考察导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考察函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考察逻辑推理才能和运算求解才能.
22
163
x y +=． 〔1〕设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值；
〔2〕设直线l 和圆2
2
2x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆2
2
2x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求1
2
S S 的取值范围．
【答案】〔1〕6；〔2
〕2,2⎡⎢⎣⎦
.
【解析】 【分析】
〔1〕设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出2
2
132
y x =-
，然后利用间隔 公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；
〔2〕分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得1
2
2S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直
线l 与圆22
2x y +=相切，得出(
)
2
2
21m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出
韦达定理，将1
2
S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.
【详解】〔1
〕由，(
))
12,F F ，设(),P x y ，
由
12PF x ⎫
=
=
=⎪⎪⎭，
同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭
，可得2
1216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，
(
))
2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-． 结合22163
x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；
〔2〕当直线l 的斜率不存在时，其方程为
x =
由对称性，不妨设x
，此时
()(),,1,1,1,1A B C D -，故12221
S S ==． 假设直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+
，
=()2221m k =+，
设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立，
得()222
214260k x kmx m +++-=， 由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621
m x x k -=+．
结合OC OD ==及22221122113,322
x y y x =-=-，
可知121sin 1212sin 2
OA OB AOB S OA OB S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=
⋅⋅∠
== 将根与系数的关系代入整理得：
12S S =
结合()2221m k =+
，得12S S =
设2211t k =+≥，(]10,1u t =∈， 那么221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣
⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】
此题考察直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考察了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考察计算才能，属于中等题.
请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程
C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩
，〔α为参数〕. 〔1〕假设点2M m ⎫⎪⎪⎝⎭
在曲线C 上，求m 的值；
〔2〕过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||
PA PB +的取值范围. 【答案】〔1〕62
±；〔2〕[2,22]. 【解析】
【分析】
〔1〕运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值；
〔2〕设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ
=+⎧⎨=⎩〔t 为参数，θ为倾斜角〕，联立圆的方程，运
用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围．
【详解】〔1〕曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα
=+⎧⎨=-⎩， 等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=，
所以等价于2222
()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=.
整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，
将,2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
代入解得2m =±. 〔2〕设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩
〔t 为参数，θ为倾斜角〕， 与22
2x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=，
由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-. 由于1t ，2t 异号，故
211212
1111||||t t PA PB t t t t -+=+==， 将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈
，
得11[2,||||
PA PB +=. 【点睛】此题考察参数方程和普通方程的转化，考察直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考察化简运算才能．
选修4-5：不等式选讲
a ，
b 满足()lg lg lg a b a b +=+.
〔1〕证明：228a b +≥；
〔2〕证明：()()
2211254
a b a b ++≥+. 【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析.
【解析】
【分析】
〔1〕由得ab a b =+，再利用根本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥； 〔2〕用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．
【详解】证明：〔1〕由ab a b =+，
均值不等式24ab a b ab =+≥⇒
≥⇒≥，
由均值不等式222a b ab +≥，
结合4ab ≥，
可知228a b +≥. 〔2〕欲证
()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()
()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2
224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦
++++， 即证()()()22
42125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣
⎦， 结合a b ab +=，
只需证()()22
42125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦
， 即()2
83340ab ab -+≥，
即证()()4810ab ab -⋅-≥，
因为4ab ≥，从而原不等式得证.
【点睛】此题主要考察对数的运算性质，以及利用根本不等式证明不等式，是中档题．
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。