江苏省泗阳县2015-2016学年高一下学期期中调研测试数

泗阳县2015—2016学年度第二学期高一年级期中调研测试
数学参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．
． 1.4 2.π 3. 45 4. 4 5.（-2,7） 6. 1
9
7. 8. 3
1
-
9. 765 10.
11. 424
712)12)(1(22-+-++++n n n n n n 12. (]1,0 13. 2+
14.21n
-
提示：112112(1)n n n n a a a a +++⇔++≥≥可推出21n n a -≥；
又21212(21)143n n n n a a a a +++++=+≥≥，而232n n n a a ++⋅≤，可推出21n n a -≤． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．
15.（本题满分14分）
解（1）由()()30a b c a b c bc ++--+=得22()30a b c bc -++=
即222b c a bc +-= …………………………2分
因为222cos 2b c a A bc
+-==1
22bc bc =， …………………………4分
又 0A π<< 所以3
A π
=
…………………………6分 （2）由2cos a c B =得2cos a
B c =，
根据正弦定理得sin sin a A c C =，则sin 2cos sin A
B C
=，即sin 2cos sin A B C =，………8分
又A B C ++=π，故sin()2cos sin B C B C π--=，
即sin()2cos sin B C B C +=， ………10分 因此sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=，即sin cos cos sin 0B C B C -=，
所以sin()0B C -=， ………12分 又(0)B ∈π，，(0)C ∈π，，则B C =， ………13分 由（1）得3
A π
=
，故ABC ∆为正三角形． ………14分 16．（本题满分14分） 解：（1） 点n P 在一次函数y kx b =+的图象上，
∴n n S ka b =+， …………………………2分 又11n n S ka b ++=+，
所以 11()n n n n S S k a a ++-=-，即1(1)n n k a ka +-=，…………………………4分 常数1k >且0n a ＞，
11
n n a k
a k +∴
=-（非零常数）， …………………………6分 ∴数列{}n a 是等比数列； …………………………7分 （2）由（1）得数列{}n a 的公比11
k
q k =>-；
因为1666a a +=，2516128a a a a ==
所以162,64a a == …………………………10分
所以55()3221k k ==-，所以21
k
k =-即2k = …………………………12分
又11S ka b =+
所以222b =⨯+即2b =- …………………………14分 17．（本题满分14分）
解：令3t απ=-，由(0)2απ∈，，则()36
t ππ
∈-，，
又5sin()313απ-=即5
sin 13
t =，
则12
cos 13t ==． …………………………2分
（1）cos cos()3t απ
=+ …………………………4分
cos cos sin sin 33t t ππ
=- …………………………6分
121513213=
⨯-=
…………………………7分 （2）sin(2)sin(2())sin(2)6362
t t αππππ
-=+-=+ …………………………10分
cos 2t =22cos sin t t =- …………………………12分
22
1251313⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
119
169=
…………………………14分
18．（本题满分16分） 解：（1）由sin sin tan cos cos A B C A B +=
+ 得 sin sin sin cos cos cos C A B
C B B
+=+， …………………2分
sin cos sin cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin cos C A C B C A C B C A C A B C C B
∴+=+∴-=-
sin()sin()C A B C ∴-=- ………………… 4分
所以在△ABC 中有：
2(C A B C C A B C C A B B A -=--+-=π=+=+π或即或舍），……… 6分 所以3
C π
=
； ………………… 7分
（2）在△ABC 中，由
sin sin sin a b c
A B C
==得：
2sin sin a b A B ===，
2sin 2sin a A b B ∴==，， ………………… 9分
又23
A B π
+=
， 22(sin sin )2[sin sin(
)]3
a b A B A A π
∴+=+=+- 222[sin sin
cos cos sin ]33
A A A ππ
=+- ………………… 11分
32(sin )
21
cos )
2
A A A A ==+
)6
A π
=+ ………………… 13分
2503666A A ππππ⎛⎫
⎛⎫∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，， ………………… 13分
1sin()162A π⎛⎤
∴+∈ ⎥⎝⎦
，，
)6
A π
∴+∈ ………………… 15分
所以a b +
的取值范围为． ………………… 16分
（2）法二、设AC x BC y ==，，
则229002cos60x y xy =+-︒，即22900xy x y +=+ ………………… 9分 则229002xy x y xy +=+≥，即900xy ≤，当且仅当x y =时取等号， 即当且仅当x y =时xy 有最大值为900； ………………… 11分
又ABC ∆
的面积11sin sin 6022S xy ACB xy =
∠=︒= ……… 12分
900= ……… 13分
因此当且仅当x y =时ABC ∆的面积最大，而此时60CAB ∠=︒，……… 15分
综上所述，当60CAB ∠=︒时，ABC ∆
的面积最大，最大值为2km ． … 16分 19．（本题满分16分）
解（1）证：设公比为q 则2b aq c aq ==，，
由a b c ，，为直角三角形的三边长，知22224a a q a q +=，
4210q q ∴--=，2q ∴， …………………………………1分
因为2a =，所以21c aq ==+ …………………………………2分 （2）（i ）a b c ，，为连续正整数，
12b a c a ∴=+=+，，
由222a b c +=知222(1)(2)a a a ++=+
345a b c ∴===，，； …………………………………4分
所以1
3462
S ∴=
⨯⨯= …………………5分 （ii ）设a b c ，，的公差为()d d ∈Z ，则222()(2)a a d a d ++=+，3a d ∴=，
∴三角形的三边长可设为345d d d ，
，，21
346()2
S d d d d ∴=⨯⨯=∈Z ， 26n a n ∴=，222226(11234(1))n n S n ∴=⋅-⋅+-+-- ， ……………8分
若n 为偶数，则2222226[(12)(34)((1))]n S n n =-++-+++--+
26(371121)33n n n =+++-=+ ， ……………10分
若n 为奇数，则22222226[(12)(43)(1)(2)]6n S n n n =-++--+----
226(371123)633n n n n =+++--=-- ………12分
2
||33n S n n ∴=+ || 3.2n
n S ∴＞即 2
2n
n n +＞即212
n n n
+＞，
令2()2n n n f n +=，则221(1)(1)(1)()22n n n n n n f n f n ++++++-=-
21
2
2n n n +-++=， 当12n =，时(1)()0f n f n +-≥即(3)(2)(1)f f f ≥＞，
3n ≥时(1)()0f n f n +-＜，()f n 递减， ………………14分
即()(1)(4)f n f n f -＜＜＜…， 由312(1)1(2)1(3)128f f f ==
=，＞，＞，2025
(4)1(5)11632
f f ==＞，＜， 知满足||32n n S >⋅的所有n 的值为234，，． ……………16分
20．（本题满分16分）
解：（1）对任意的x ∈R 不等式()2f x -≥恒成立即220x ax b +++≥对任意x ∈R 恒成立，
只要24(2)0a b ∆=-+≤即可， ………………… 2分
又22(4)4b a +-=，故24(4)4(2)0b b -++-+≤即2440b b ++≤， 即2(2)0b +≤，又2(2)0b +≥，故2b =-， ………………… 3分
此时20a =即0a =， 综上所述，02a b ==-，； ………………… 4分
（2）2()2x f x x =-＜得220x x --＞，则1x -＜或2x ＞．
因此2()2x f x x =-≥的解为12x -≤≤．
于是22212()212x x x x g x x x x ⎧++-⎪
=⎨---⎪⎩
，＜或＞，，≤≤， ………………… 6分
当1x -＜或2x ＞时，2()2g x x x =++在(1)-∞-，时单调递减， ()2g x >， ()g x 在(2)+∞，上单调递增，()8g x >，
因此1x -＜或2x ＞时，()2g x >． ………………… 8分
当12x -≤≤时，2()2g x x x =--在1[1]2-，上单调递减，在1
[2]2
，上单调递增，
所以 9
()04
g x -≤≤． ………………… 9分
综上所述，()g x 的值域是9
[0]4
-，(2)+∞ ，； ………………… 10分
（3）要求不等式()m f x n ≤≤解集即求()y f x =被直线y m =与y n =夹在中间部分x 的取
值范围，
若解集为[]m n ，，则min ()2m f x =-≤，且()()f m n f n n =⎧⎨
=⎩
，
，………………… 12分 由()f n n =得220n n --=得1n =-或2， ………………… 13分 当1n =-时，由()1f m =-可得21m =与2m -≤矛盾；………………… 14分 当2n =时，由()2f m =可得24m =，则2m =-，满足条件．………… 15分 综上所述，存在2m =-，满足条件． ………………… 16分。