水滴蒸发模型分析

把细水雾中的一个小水滴在灭火过程中简化成一个液滴在高温环境中的蒸发过程。

因为是简化成一个数学模型，所以要对复杂的过程做一些假设：
1 小液滴处于静止状态，只有斯蒂芬流
2 忽略高温堆液滴的辐射和离解
3 把蒸发过程看成一个准定常过程
这里介绍下斯蒂芬流：在液体或固体燃料燃烧过程中，气体与燃料的接触存在相界面（异相反应），燃料加热气化或燃烧过程中的气体为多组分气体，这些气体在燃料界面附近产生浓度梯度，形成各组分相互扩散的物质流，只要在相界面上存在物理或化学变化（如蒸发或燃烧过程），而且这种变化在不断产生或消耗物质流，这种物理或化学变化过程与气体组分的扩散过程的综合作用下，在相界面法线方向产生一股与扩散物质流有关的总质量流，是一股宏观物质流动。

由假设的条件可知，水滴的蒸发主要由通过扩散和斯蒂芬流完成。

写出相分界面上水滴的质量连续方程。

2
2Yf f s s s fs s r d m d D d Y d πρπρν=-+ 1
1 2
式中，1为扩散项，2为斯蒂芬流项
f m —水滴蒸发速率
D —扩散系数
不同界面上的质量连续方程为
22Yf
f f r d m d D d Y d πρπρν=-+ 2
相分界面上空气的质量连续方程
220as
s s s s as r d d D d Y d πρπρν+= 3
不同界面上的空气质量连续方程为
220a a r
d d D d Y d πρπρν+= 4 a s dY dY dr dr
= ∴ 2+4式得到()22f a f m d Y Y d ρνρν=+= 5
将5式代入2式得到2f
f f f dY m d D m Y dr πρ=-+
21141f f f
m dr D dY r Y πρ=-- 6 边界条件：
s r r = f fs Y Y =
r =∞ f f Y Y ∞=
积分得：21141Yf r f
f f rs Yfs m dr D dY r Y πρ∞
∞
=--⎰⎰ ()04ln 1f m r D B πρ=+ 7
式中，1fs f fs Y Y B Y ∞
-=-
假设小水滴的直径为d ，经过τ∆的时间后直径减小d ∆
212f t d m d πρτ
∆=-∆ 8 7式与8式联立得到
()4ln 1t
d D B d ρτρ∆=-+∆ 9 对9式从0d 到d 积分()004ln 1d d t d D dd B dt τ
ρρ-=
+⎰⎰ 10
以上分析是建立在液体和高温环境没有相对运动的基础上，而在实际的灭火过程中，水滴和高温烟气之间是有相对运动的，由此造成的对流传热不可忽视。

由此，引入“折算薄膜”的概念把对流传热转化成与其相等的导热和扩散问题。

()()2*10
000104d d Q r T T T T r r ππα∞∞=-=--
解得“折算薄膜”的半径
01*021r r d αλ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 令**0d Nu αλ=得到()
01*21r r Nu =- 11 将6式的边界条件改为
s r r = f fs Y Y =
1r r = 1f f Y Y =
在新的边界条件下积分得到
()01114ln 1f m D B r r πρ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭
12 将11式代入12式得到
()*0
02114ln 1f Nu m D B r r πρ⎛⎫- ⎪-=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ()*
4ln 12
f Nu m D B πρ=+ 13 将式13与式8联立得到
*
4ln(1B)2
t d D Nu d πρττρ∆=-+∆ 14 对式14从0d 到d 积分得到
*220
8ln(1B)2t D Nu d d ρτρ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 15 写出边界上的能量方程：
221dT d dt Cp r dr r dr dr ρυλ⎛⎫= ⎪⎝⎭
16 在16式两边乘以24r π
()24f d d dt m CpT r dr dr dr λ⎛⎫= ⎪⎝⎭
17
在边界上还有：00
04f m h dT h dr r λρνπ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 18 式中，h ——气化潜热
对17式由0r r =到r r =积分得到
()22044f wb s dT m Cp T T r r dr
πλ
π-=- 19 将18式代入19式得到 ()24f wb dT m Cp T T h r dr
πλ-+=⎡⎤⎣⎦ 20 对20式从0r r =到r r ∞=积分
()004ln 1f Cp T T r m Cp h πλ∞-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
21 ()04ln 1f m r D B πρ=+ 7
7式与21式相比得到
()11ln 1wb Cp T T Cp h D B λ
ρ∞-⎛⎫+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭ 22 21式中Cp
le D λ
ρ=,一般情况下刘易斯数等于1，由此可知()wb Cp T T B h
∞-= 23 将23式代入14式可以得到
()*
220
8ln(1)2wb t Cp T T D Nu d d h ρτρ∞-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ ()*
220
8ln(1)2wb t Cp T T Nu d d Cp h λτρ∞-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦ 小液滴蒸发完所用的时间
()*
208ln(1)2wb t Cp T T Nu d Cp h λτρ∞-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
式中，*0.50.3320.60Re Pr Nu =+=2.055
Re uD
υ=
下面计算下速度为25m/s 的100微米的水滴在1373K 的环境中从开始蒸发到完全蒸发完的
时间。

Re uD υ==6625
10010
85620.29210--⨯⨯=⨯ *0.50.3320.60Re Pr Nu =+=0.50.3320.608562 1.7568.78+⨯⨯=
()*
208ln(1)2wb t Cp T T Nu d Cp h λτρ∞-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
()2
62100108 2.481068.7842201000ln 11000422022257.1--⨯=⨯⨯⨯⎛⎫⨯+ ⎪⨯⎝⎭=4.4e-4
当液滴速度为25m/s 时，在环境温度为2173K 时，液滴初始直径分别为100m μ，200m μ，500m μ时的直径变化如下面三个图
当液滴速度为25m/s 时，在环境温度为1573K 时，液滴初始直径分别为100m μ，200m μ，500m μ时的直径变化如下面三个图
当液滴速度为25m/s 时，在环境温度为1173K 时，液滴初始直径分别为100m μ，200m μ，500m μ时的直径变化如下面三个图。