高中数学必修一《函数及其表示》优秀教学设计

函数及其表示
导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，
了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、
列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用．
自主梳理
1．函数的基本概念
(1)函数定义：设A ，B 是非空的 ，如果按照某种确定的对应关系f ，
使对于集合A 中的 ,在集合B 中 ，称f ：A →B 为
从集合A 到集合B 的一个函数，x 的取值范围A 叫做函数的__________，
__________________叫做函数的值域。

(2)函数的三要素__________、________和____________．
(3)函数的表示法：常用方法有________、________、________.
(4)函数相等：如果两个函数的定义域和__________完全一致，则这两个函
数相等，这是判定两函数相等的依据．
(5)分段函数：在函数的________内，对于自变量x 的不同取值区间，有着
不同的____________，这样的函数通常叫做分段函数。

分段函数是一个函数，它
的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．
2．映射的概念
(1)映射的定义：设A 、B 是两个非空集合，如果按某个确定的对应关系f ，
使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有 确定的元素y
与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的 .
（2）由映射的定义可以看出，映射是 概念的推广，函数是一种
特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A 、B 必须是 数集.
自我检测
1．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，给出下列4个图形，其中能
表示集合M 到N 的函数关系的有( )
A ．0个
B ．1个
C ． 2个
D ．3个
2．函数y ＝1log 0.5(4x －3)
的定义域为( ) A ．(34，1) B ．(34，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．(34，1)∪(1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧
log 3x ，x>02x ， x ≤0，则f(f(19))等于( ) A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14
4．下列函数中，与函数y ＝x 相同的函数是( )
A．y＝x2
x B．y＝(x)
2C．y＝lg 10x D．y＝2log
2
x
5．已知一次函数的图象过点（1，3），（-1，-1），求一次函数的解析式。

6．函数y＝lg(ax2－ax＋1)的定义域是R，求a的取值范围．
例1下列对应关系是集合P上的函数的是________．
(1)P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；y＝|x|，x∈P，y∈Q；
（2）P={-1,1,-2,2}，Q={1，4}，对应关系:f:x→y=x2,x∈P,y∈Q;
(3)P={三角形}，Q={x|x>0}，对应关系f:对P中三角形求面积与集合Q中元
素对应.
变式迁移1 已知映射f：A→B。

其中A＝B＝R，对应关系f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是()
A．k>1 B．k≥1
C．k<1 D．k≤1
例2(1)求函数y＝x＋1＋(x－1)0
lg(2－x)
的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域．（3)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(2x＋1)的定义域．
变式迁移2已知函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，求g(x)＝
f(x2)
1＋lg(x＋1)
的定义域。

例3 (1)已知f(2x ＋1)＝lg x ，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x ＋1)－2f(x －1)＝2x ＋17，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x )＝3x ，求f(x)．
变式迁移3 给出下列两个条件： (1)f(x ＋1)＝x ＋2x ；
(2)f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x ＋2)－f(x)＝4x ＋2。

试分别求出f(x)的解析
式．
例4设函数f(x)＝⎩⎨⎧ x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x>0.
若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
变式迁移4已知函数f(x)＝⎩⎨⎧
x 2＋1，x ≥0，1， x<0，求f(f(-3))
1．与定义域有关的几类问题
第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量
的取值范围；
第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使
实际问题或几何问题有意义；
第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义
域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的定义域．
第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．
2．解析式的求法
求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法
和方程组法．
一、选择题
1．下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( )
(1)y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3
，y 2＝x －5； (2)y 1＝x ＋1x －1，y 2＝(x ＋1)(x －1)；
(3)f(x)＝x ，g(x)＝x 2；
(4)f(x)＝3x 4－x 3，F(x)＝x 3x －1；
(5)f 1(x)＝(2x －5)2，f 2(x)＝2x －5.
A ．(1)(2)
B ．(2)(3)
C ．(4)
D ．(3)(5)
2．函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的公共点数目是 ( )
A ．1
B ．0
C ．0或1
D ．1或2
3．已知f(x)＝⎩⎨⎧ x
＋2(x ≤－1)，x 2 (－1<x<2)，
2x (x ≥2)，
若f(x)＝3，则x 的值是 ( ) A ．1 B ．1或32 C ．1，32或±3 D. 3
4．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4
的定义域为 ( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]
5．设f ：x →x 2是从集合A 到集合B 的映射，如果B={1，2}，则A ∩B 为
A ．∅
B ．{1}
C ．∅或{2}
D ．∅或{1}
二、填空题
6．下列四个命题：(1)f(x)＝x －2＋1－x 有意义；(2)函数是其定义域到值
域的映射；(3)函数y ＝2x(x ∈N )的图象是一条直线；(4)函数y ＝⎩⎨⎧ x 2， x ≥0，－x 2，x<0
的图象是抛物线．其中正确的命题个数是________．
7．设f(x)＝⎩⎨⎧ 3x ＋1 (x ≥0)x 2 (x<0)，g(x)＝⎩
⎨⎧ 2－x 2(x ≤1)2 (x>1)，则f[g(3)]＝________，g[f(－12)]＝________.
8．已知函数f(x)＝⎩
⎨⎧
3x ＋2，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝______. 三、解答题9．(1)若f(x ＋1)＝2x 2＋1，求f(x)的表达式；
(2)若2f(x)－f(－x)＝x ＋1，求f(x)的表达式；。