第二学期第二次诊断性测试

彭湃中学2013—2014学年度第二学期第二次诊断性测试
高二年级数学科试题（理科）
一、选择题（单项选择，共8小题，共40分）
1．已知全集{}0,1,2,3,45U =，，集合{}{}1,2,35,2,4A B ==，，则
U C A B （）为（ ） A. {}0,2,3,5 B.{}2,3,5 C.{}1,2,4 D.{}0,2,4 2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则p ⌝是( )
A.R,sin 1x x ∃∈≥
B.R,sin 1x x ∀∈≥
C.R,sin 1x x ∃∈>
D.R,sin 1x x ∀∈>
3．复数
12i
i
+-表示复平面内的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
4. 已知向量p ()23=-，，q ()6x =，，且//p q ，则+p q 的值为( )
A ．5．13．5 D ．13 5．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为3则h 的值为（ ）
A ．333．
3
2
D ．33
6．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课
程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A. 42种
B.35种
C. 30种
D.48种 7.在△ABC 中，︒=∠30A ，3AB =1BC =，则△ABC 的面积等于（ ） A ．
23 B ．43 C ．23或3 D ．23或43
8．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14m n a a a =，则
14
m n +的最小值为（ ） A ．32 B ．53 C ．25
6
D ．不存在
二、填空题（6小题，共30分）
9. 双曲线
8222=-y x 的实轴长是_____。

10.曲线x
x y cos =
在点)02(，π
处的切线方程为______。

11.已知变量x ，y 满足约束条件2
11y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则z=3x+y 的最大值为_______。

12.7)21(x -的展开式中，第4项系数是 （用数字作答）。

13. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 （用数字作答）。

14. 已知两定点)0,1(-M ，)0,1(N ，若直线上存在点P ，使得4=+PN PM ，则该直线
为“A 型直线”．给出下列直线，其中是“A 型直线”的序号是 ．
①1+=x y ②2=y ③3+-=x y ④32+-=x y
三、解答题（6小题，共80分）
15.（本小题满分12分） 如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是单位圆上的两点， O 是坐标原点，6
π
=
∠AOP ，[)παα,0,∈=∠AOQ ．
（1）若34(,)55Q ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛
-6cos πα的值；
（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域．
16.（本小题满分12分）
某校高二年级某班的数学课外活动小组 有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X 表示其中男生的人数，
（1）请列出X 的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率
C
1
A 1
C
1
B
A
B
E
F 17．（本小题满分14分）
已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，
4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 中点 (Ⅰ) 求证：直线//AF 平面1BEC ；
（Ⅱ）求平面1BEC 和平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．
18.（本小题满分14分）
已知各项均为正数的数列}{n a 前n 项和为n S ，1a =2，且n n S a ,,2成等差数列。

（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若n n
n
b a =
，求数列{n b }的前n 项和n T ； 19．（本小题满分14分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为4，且点⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛23,1在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作斜率为2
1
的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：22||||PB PA +为定值．
20.（本小题满分14分）
已知函数 21
()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R ．
(Ⅰ）当 2m = 时，求函数 ()f x 的最小值； (Ⅱ）当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性；
(Ⅲ）求证：当 2m =-时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有
2121
()()
1f x f x x x ->--．。