第四章 内积和正交矩阵

T s s 1 T s 1 s 1
s 1 .
25
T T T 3 =(1,0,1) , =(1,1,0) , =(0,1,1) R 例设 1 为 2 3 的一组基，将其化为标准正交基。
解 先正交化， 1 (1,0,1),
T 2 1 1 1 1 2 2 T 1 (1,1,0) (1,0,1) ( ,1, ), 1 1 2 2 2 T T 3 1 3 2 3 3 T 1 T 2 1 1 2 2
T
(4) . 三角(形)不等式
8
(3)的证明.如果有一个向量是零向量,两端为 零,现在设 o ,考虑二次函数
f ( x ) x
T T
2
( x )T ( x )
2 2 T 2
( x )( x ) x 2
b
A


a

B
c
给定向量 x ( x1 , x2 ), y ( y1 , y2 ), 的向量是 y x ( y1 x1 , y2 是
x2 ). 于
4
x 到y
cos
( x x ) ( y y ) (( y1 x1 ) ( y2 x2 ) )
(2)( k ) k ;
T T
(3)( ) ;
T T T
(4) 0, 0 o.
T T
前三个都是矩阵乘法的性质,自然直接验 证也易如反掌.至于(4), 2 2 T a12 a2 an 0.
2 T a12 a2 2 an 0 ai2 0, i 1,
5
定义 两个实向量
a1 b1 a b2 2 , an bn
的内积是
a1b1 a2b2
T
anbn .
T
例 例
(4,2, 3,1) , (2,6,4,3) ,
17
经典标架绕z轴旋转
1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1), 1 (cos ,sin ,0) 2 (sin ,cos ,0) 3 (0,0,1).
cos Q sin 0 sin cos 0 0 T 0 , QQ E 1
T T T T 2 1 ( 2 k 1 ) 1 2 1 k 1 1 0, k T . 1 1 T 2 1 取 2 2 T 1 . 一般地,令 1 1
24
1 1 , T 2 1 , 2 1 T 2 1 1 T T 3 1 3 2 3 3 T 1 T 2 , 1 1 2 2 T T s 1 s 2 s s T 1 T 2 1 1 2 2
1 q111 q212 q q 1n 1 2n 2 1
T i
ij j (q1i qij q2 i q2 j
q11 q12 qn1n , q q 21 22 ,Q qnnn qn1 qn 2
12
正交的性质 (1)零向量与任何向量正交; (2)与自己正交的向量必是零向量; (3)正交向量组是线性无关向量组; (4)向量 , 正交,则有商高定理
2


2
.
2
(3)的证明.设 1 , 果 k1 , , ks 使得
, s 是正交向量组.如
k11
kii
ks s o
20
定义 如果 Q Q 则称Q为正交矩阵.
a11 a 12 T Q Q a1n 1 0 0 1 0 0
1 T Q Q , 对于正交矩阵 Q, QT Q QQT E.
所以有
a1 n a2 n ann
a21 a22 a2 n 0 0 E. 1
11
1
三、实向量正交 在平面上两个非零向量 , 夹角余弦 T cos .
T 垂直 , / 2,cos 0, 0. ,
定义 如果两个向量的内积等于零,则说 这两个向量正交,或垂直.
如果非零向量组中的向量两两正交,则 称这个向量组为正交向量组.
16
2

2
1
1
1 (cos ,sin ),2 ( sin ,cos )
cos sin Q , sin cos cos sin cos T QQ sin cos sin
sin 1 0 cos 0 1
T 1 T 2
2 1 2 1 2 ( , , ), 2 6 6 6 3 1 1 1 3 ( , , ). 3 3 3 3
27
a x2 y2 , a x2 y2 .
2
y
a
x
3
如何计算向量的夹角呢?我们利用三角学里的 余弦定理.如果三角形三边长度为 a, b, c 长度 为阿a和b的两边夹角为 则
c a b 2ab cos .
2 2 2
C
a b c cos . 2ab
2 2 2
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
26
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
( PQ) Q P Q P ( PQ) .
T T T
23
1
1
1
施密特(Schmit)正交化方法 定理 对于一个线性无关的向量组,可以求得一 个等价的正交向量组,并且过渡矩阵为三角矩阵. 证明 设 1 , , s是线性无关向量组,取 1 1 . 取 2 2 k 1 与 1 正交,即
18
我们知道一个标准正交基必定是一个线性无 关的向量组,而n+1个n维向量必定线性相关, 故每个n维向量必定可以用标准正交基线性 表示 x x x .
1 1 n n
设 1 (a11 ,
, a1n ),
,n (an1 ,
, ann )
是一个标准正交基,组成行列式 a1n a11 a12 a a a 21 22 2n Q . ann a n1 a n 2
T
T 4 2 2 6 (3) 4 1 3 8 12 24 3 11.
a (a1 , a2 , a a1 a2 ,
T
, an ) , (1,1,
T
,1) ,
6
T
an .
内积的性质
(1) ;
T T
第四章 内积和正交矩阵
§1 内积 §2 正交矩阵
1
§1 内积 一、实向量内积 二、实向量长度 三、实向量正交
2
一、实向量内积
我们引进了n 维向量的概念，3维向量 有长度和夹角，这些概念如何推广到n 维 向量呢？我们回忆一下二维向量的长度和 夹角如何通过其坐标计算.
向量 a ( x, y),根据商高定理,
an1 a11 a12 an 2 a21 a22 ann an1 an 2
正交矩阵等价定义
行向量组是标准正交基
QQT E
Q1 QT
QT Q E
列向量组是标准正交基
21
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵
设 1 , ,n 和 1 , ,n 是 R n 的两个标准正 交基,并且有关系
19
a11 a 21 T QQ a n1
a12 a22 an 2
1 0 0 1 0 0
1 T
a1n a11 a21 a n1 a2 n a12 a22 an 2 ann a1n a2 n ann 0 0 1 T E .Q Q . 1
T T T T T 2
2 2 .
2 2



10

非零向量的单位化.设 是非零向量,则
1


是单位向量.

例如
1

1.
1 5 7 7 (5,6,7) (5,6,7) ( , , ) 2 2 2 110 110 110 110 5 6 7
, n.
7
二、实向量长度 作为商高定理的推广,对于n维实向量 T (a1 , , an ) , 定义其长度
a a a a
T 2 1
a .
2 n
长度的性质
(1) 0. 0 o; (2) k | k | ; (3) | | ; 柯西-布涅可夫斯基不等式
2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
2 x x
2 1 2 2
2 2
y y
2 1 2 2 2 1
2 2
2( x1 y1 x2 y2 ) 2 x x
2 1
y y
2 1
2 2

x1 y1 x2 y2 x x
2 1
y y
2 2
向量长度的平方是其分量的平方和,为了计 算夹角的余弦,只需计算分子就可以了.我 们给分子起了一个专门的名称,叫向量的内 积.它等于向量对应坐标相乘,再把乘积相 加.于是引进线性代数的一个重要概念“内 积”.
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题和其它有时需要 旋转这个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量 仍然正交,并且长度为1.这样的向量组称为标 准正交基. 定义 R n 中的n个向量 1 , , n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
13
用 i 和等式两端做内积,由于正交性,只留 T T 下第i项 :ks 0, 而 0, 故 ki 0.
14

§2 正交矩阵
n R 一、 的标准正交基和正交矩阵
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、标准正交基的求法
15
n R 一、 的标准正交基和正交矩阵
其判别式
0,
4 | | 4
T 2
2

2
0,
| |
T T 2
2
,
n n
2
| | .
分量形式
| ai bi |
i 1
n
a b
i 1 2 i i 1
2 i
.
9
性质(4)的证明

T 2
2
( ) ( ) ( )( )
qni qnj )
q1n q2 n qnn
Q 的列向量正交,Q为正交矩阵. 定理 两组标准正交基之间的过渡矩阵为 正交矩阵
22
三、正交矩阵的性质
定理 正交矩阵的行列式等于±1.
证明 QQT E ,| QQT || Q || QT || Q |2 | E | 1, | Q | 1. 定理 正交矩阵P,Q的乘积PQ是正交矩阵. 证明